Вращательная симметрия

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Вращательная симметрия»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Трискелион появляться на острове Мэн флаг имеет осевую симметрию , так как она та же при повороте на одну треть полного оборота вокруг центра. Поскольку его внешний вид идентичен в трех различных ориентациях, его вращательная симметрия тройная.

Вращательная симметрия , также известная как радиальная симметрия в биологии, - это свойство формы, когда она выглядит одинаково после некоторого поворота на частичный поворот. Степень вращательной симметрии объекта - это количество различных ориентаций, при которых он выглядит одинаково при каждом повороте.

Официальное обращение [ править ]

Формально вращательная симметрия - это симметрия относительно некоторых или всех вращений в m -мерном евклидовом пространстве . Вращения - это прямые изометрии , т. Е. Изометрии, сохраняющие ориентацию . Следовательно, группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой E ⁺ ( m ) (см. Евклидова группа ).

Симметрия относительно всех вращений вокруг всех точек подразумевает трансляционную симметрию относительно всех трансляций, поэтому пространство однородно, а группа симметрии - это все E ( m ). С модифицированным понятием симметрии для векторных полей группа симметрии также может быть E ⁺ ( m ).

Для симметрии относительно вращений вокруг точки мы можем принять эту точку за начало координат. Эти вращения образуют специальную ортогональную группу SO ( m ), группу ортогональных матриц размера m × m с определителем 1. При m = 3 это группа вращений SO (3) .

В другом определении слова группа вращения объекта - это группа симметрии внутри E ⁺ ( n ), группа прямых изометрий  ; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для киральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

Законы физики являются SO (3) -инвариантными, если они не различают разные направления в пространстве. Из теоремы Нётер , вращательная симметрия физической системы эквивалентно угловой момент закона сохранения.

Дискретная вращательная симметрия [ править ]

Вращательная симметрия n-го порядка  , также называемая n- кратной вращательной симметрией или дискретной вращательной симметрией n- го порядка , относительно конкретной точки (в 2D) или оси (в 3D) означает, что вращение на угол 360 ° / н (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51 ³ / ₇ ° и т.д.) не изменяет объект. «Односторонняя» симметрия - это не симметрия (все объекты выглядят одинаково после поворота на 360 °).

Обозначения для п - кратного симметрии С _п или просто « п ». Фактическая группа симметрии определяется точкой или осью симметрии вместе с буквой n . Для каждой точки или оси симметрии тип абстрактной группы - это циклическая группа порядка  n , Z _n . Хотя для последнего также используется обозначение C _n , следует различать геометрическое и абстрактное C _n : существуют другие группы симметрии того же типа абстрактной группы, которые геометрически различны, см. Группы циклической симметрии в 3D .

Фундаментальная область представляет собой сектор 360 ° / л.

Примеры без дополнительной симметрии отражения :

• n = 2, 180 °: диада ; буквы Z, N, S; очертания, хотя и не цвета, символа инь и янь ; Флаг Союза (разделенный вдоль флага диагонали и вращаются вокруг центральной точки флага)
• n = 3, 120 °: триада , трискелион , кольца Борромео ; иногда используется термин трехсторонняя симметрия ;
• n = 4, 90 °: тетрада , свастика
• n = 6, 60 °: гексада , Звезда Давида
• n = 8, 45 °: октад , восьмиугольные мукарны , компьютерная графика (CG), потолок

C _n - это группа вращения правильного n- стороннего многоугольника в 2D и правильной n- сторонней пирамиды в 3D.

Если имеется, например, вращательная симметрия относительно угла 100 °, то также относительно одного из 20 °, наибольшего общего делителя 100 ° и 360 °.

Типичный трехмерный объект с вращательной симметрией (возможно, также с перпендикулярными осями), но без зеркальной симметрии - это пропеллер .

Примеры [ править ]

Несколько осей симметрии через одну и ту же точку [ править ]

Для дискретной симметрии с несколькими осями симметрии, проходящими через одну и ту же точку, существуют следующие возможности:

• В дополнении к п -кратной оси, п перпендикулярных 2-кратным осям: при двугранных группах D _н 2 - го порядка п ( п ≥ 2 ). Это группа вращения правильной призмы или правильной бипирамиды . Хотя используются те же обозначения, следует различать геометрическую и абстрактную D _n : существуют другие группы симметрии того же типа абстрактной группы, которые геометрически отличаются, см. Группы симметрии диэдра в 3D .
• Оси 4 × 3 и 3 × 2 кратности: группа вращений T порядка 12 правильного тетраэдра . Группа изоморфна к знакопеременной группе А ₄ .
• 3 × 4-кратные, 4 × 3-кратные и 6 × 2-кратные оси: группа вращения  O порядка 24 куба и правильный октаэдр . Группа изоморфна симметрической группе S ₄ .
• Оси 6 × 5, 10 × 3 и 15 × 2: группа вращения  I порядка 60 додекаэдра и икосаэдра . Группа изоморфна знакопеременной группе  A ₅ . Группа содержит 10 версий D ₃ и 6 версий D ₅ (симметрии вращения, такие как призмы и антипризмы).

В случае Платоновых тел оси 2-го порядка проходят через середины противоположных ребер, и их количество составляет половину числа ребер. Другие оси проходят через противоположные вершины и центры противоположных граней, за исключением случая тетраэдра, где каждая из трех осей проходит через одну вершину и центр одной грани.

Вращательная симметрия относительно любого угла [ править ]

Вращательная симметрия относительно любого угла есть в двух измерениях круговая симметрия . Основная область - это полупрямая линия .

В трех измерениях мы можем различать цилиндрическую симметрию и сферическую симметрию (без изменений при вращении вокруг одной оси или при любом вращении). То есть нет зависимости от угла с использованием цилиндрических координат и никакой зависимости от любого угла с использованием сферических координат . Основная область представляет собой полуплоскость, проходящую через ось, и радиальную полуось соответственно. Осесимметричный или осесимметричный - это прилагательные, которые относятся к объекту, имеющему цилиндрическую симметрию или осесимметрию (то есть вращательную симметрию относительно центральной оси), например бублик ( тор). Примером приблизительной сферической симметрии является Земля (по плотности и другим физическим и химическим свойствам).

В 4D непрерывная или дискретная симметрия вращения относительно плоскости соответствует соответствующей двумерной симметрии вращения в каждой перпендикулярной плоскости относительно точки пересечения. Объект также может иметь вращательную симметрию относительно двух перпендикулярных плоскостей, например, если это декартово произведение двух двумерных фигур с вращательной симметрией, как, например, в случае дуоцилиндра и различных регулярных дуопризм .

Вращательная симметрия с трансляционной симметрией [ править ]

2-кратная вращательная симметрия вместе с одинарной трансляционной симметрией составляет одну из групп Frieze . На одну примитивную ячейку приходится два ротоцентра .

Вместе с двойной поступательной симметрией группы вращения представляют собой следующие группы обоев с осями на примитивную ячейку:

• p2 (2222): 4 × 2 раза; группа вращения параллелограммной , прямоугольной и ромбической решеток .
• p3 (333): 3 × 3 раза; не группа вращений какой-либо решетки (каждая решетка в перевернутом виде одинакова, но это не относится к этой симметрии); это, например, группа вращения правильной треугольной мозаики с попеременно окрашенными равносторонними треугольниками.
• p4 (442): 2х4 раза, 2х2 раза; группа вращения квадратной решетки.
• p6 (632): 1 × 6, 2 × 3, 3 × 2; группа вращения гексагональной решетки.
• 2-кратные ротоцентры (включая возможные 4-кратные и 6-кратные), если они вообще присутствуют, образуют транслят решетки, равный трансляционной решетке, масштабированной в 1/2 раза. В случае трансляционной симметрии в одном измерении применяется аналогичное свойство, хотя термин «решетка» не применяется.
• 3-кратные ротоцентры (включая возможные 6-кратные), если они вообще есть, образуют правильную гексагональную решетку, равную поступательной решетке, повернутую на 30 ° (или эквивалентно 90 °) и масштабируемую с коэффициентом ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}}}$
• 4-кратные ротоцентры, если они вообще есть, образуют правильную квадратную решетку, равную трансляционной решетке, повернутую на 45 ° и масштабируемую в раз. ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2}}}$
• 6-кратные ротоцентры, если они вообще присутствуют, образуют правильную гексагональную решетку, которая является трансляцией поступательной решетки.

При масштабировании решетки количество точек на единицу площади делится на квадрат масштабного коэффициента. Следовательно, количество 2-, 3-, 4- и 6-кратных ротоцентров на одну примитивную ячейку равно 4, 3, 2 и 1, соответственно, снова включая 4-кратный как частный случай 2-кратного и т. Д.

Трехкратная симметрия вращения в одной точке и двукратная в другой (или то же самое в 3D по отношению к параллельным осям) подразумевает группу вращения p6, то есть двойную трансляционную симметрию и шестикратную симметрию вращения в некоторой точке (или, в 3D, параллельная ось). Расстояние перемещения для симметрии, создаваемой одной такой парой ротоцентров, умножено на их расстояние.${\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Вейль, Герман (1982) [1952]. Симметрия . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с вращательной симметрией на Викискладе?
• Примеры симметрии вращения из Math Is Fun