Мономиальный базис

В математике мономиальный базис из кольца многочленов является его основой (как векторного пространства или свободного модуля над полем или кольцом коэффициентов) , который состоит из множества всех одночленов . Мономы образуют базис, потому что каждый многочлен может быть однозначно записан как конечная линейная комбинация одночленов (это непосредственное следствие определения многочлена).

Один неопределенный [ править ]

Кольцо многочленов К [ х ] от однофакторного многочлена над полем К является К -векторному пространству, которое имеет

${\ Displaystyle 1, х, х ^ {2}, х ^ {3}, \ ldots}$

как (бесконечный) базис. В более общем смысле, если K - кольцо , K [ x ] - свободный модуль , имеющий тот же базис.

Многочлены степени не выше d образуют также векторное пространство (или свободный модуль в случае кольца коэффициентов), которое имеет

${\ Displaystyle 1, х, х ^ {2}, \ ldots}$

в качестве основы

Канонический вид полинома является его выражением на этой основе:

${\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ ldots + a_ {d} x ^ {d},}$

или, используя более короткую сигма-нотацию :

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {d} a_ {i} x ^ {i}.}$

Мономиальный базис естественно тотально упорядочен либо по возрастанию степеней

${\ Displaystyle 1 <х <х ^ {2} <\ cdots,}$

или по убыванию градуса

${\displaystyle 1>x>x^{2}>\cdots .}$

Несколько индетерминатов [ править ]

В случае нескольких неопределенных одночлен является произведением${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

${\displaystyle x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}},}$

где являются неотрицательными целыми числами . Поскольку показатель степени, равный нулю, означает, что соответствующая неопределенная величина не входит в одночлен; в частности, является мономом.${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{0}=1,}$${\displaystyle 1=x_{1}^{0}x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}}$

Подобно случаю одномерных многочленов, многочлены в форме векторного пространства (если коэффициенты принадлежат полю) или свободного модуля (если коэффициенты принадлежат кольцу), в основе которого лежит набор всех одночленов, называемый мономиальный базис${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

Эти однородные многочлены степени образуют подпространство , которое имеет мономы степени в качестве основы. Размерность этого подпространства - это количество одночленов степени , равное ${\displaystyle d}$${\displaystyle d=d_{1}+\cdots +d_{n}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{d}}={\frac {n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!}},}$

где обозначает биномиальный коэффициент .${\displaystyle {\binom {d+n-1}{d}}}$

Многочлены степени не выше также образуют подпространство, в основе которого лежат одночлены степени не выше . Число этих одночленов и есть размерность этого подпространства, равная${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\binom {d+n}{d}}={\binom {d+n}{n}}={\frac {(d+1)\cdots (d+n)}{n!}}.}$

Несмотря на одномерный случай, естественного полного порядка мономиального базиса не существует. Для задач, которые требуют выбора полного порядка, таких как вычисления базиса Грёбнера , обычно выбирают допустимый мономиальный порядок , то есть полный порядок на множестве мономов, такой что

${\displaystyle m<n\Leftrightarrow mq<nq}$

и

${\displaystyle 1\leq m}$

для каждого одночлена ${\displaystyle m,n,q.}$

См. Также [ править ]

• Метод Хорнера
• Полиномиальная последовательность
• Полином Ньютона
• Полином Лагранжа
• Полином Лежандра
• Форма Бернштейна
• Чебышевская форма