Полином Ньютона

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Полином Ньютона»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математической области численного анализа , Ньютон многочлен , названный в честь его изобретателя Исаака Ньютона , ^[1] является интерполяционным полиномом для заданного набора точек данных. Полином Ньютона иногда называют интерполяционным полиномом разделенных разностей Ньютона, потому что коэффициенты полинома вычисляются с использованием метода разделенных разностей Ньютона .

Определение [ править ]

Учитывая набор из k  + 1 точек данных

${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (x_ {j}, y_ {j}), \ ldots, (x_ {k}, y_ {k})}$

где никакие два х _J не являются одинаковыми, интерполяционный полином Ньютона является линейной комбинацией из Ньютона базисных полиномов

${\ Displaystyle N (x): = \ сумма _ {j = 0} ^ {k} a_ {j} n_ {j} (x)}$

с базисными полиномами Ньютона, определенными как

${\ displaystyle n_ {j} (x): = \ prod _ {i = 0} ^ {j-1} (x-x_ {i})}$

для j > 0 и .${\ Displaystyle п_ {0} (х) \ эквив 1}$

Коэффициенты определяются как

${\ displaystyle a_ {j}: = [y_ {0}, \ ldots, y_ {j}]}$

куда

${\ displaystyle [y_ {0}, \ ldots, y_ {j}]}$

- обозначение разделенных разностей .

Таким образом, многочлен Ньютона можно записать как

${\ displaystyle N (x) = [y_ {0}] + [y_ {0}, y_ {1}] (x-x_ {0}) + \ cdots + [y_ {0}, \ ldots, y_ {k }] (x-x_ {0}) (x-x_ {1}) \ cdots (x-x_ {k-1}).}$

Формула деленной разности Ньютона [ править ]

Многочлен Ньютона можно выразить в упрощенной форме, если они расположены последовательно с одинаковым интервалом. Вводя обозначения для каждого и , разницу можно записать как . Таким образом, полином Ньютона становится${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {k}}$${\ displaystyle h = x_ {i + 1} -x_ {i}}$${\ Displaystyle я = 0,1, \ точки, k-1}$${\displaystyle x=x_{0}+sh}$${\displaystyle x-x_{i}}$${\displaystyle (s-i)h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}]s(s-1)\cdots (s-k+1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}s(s-1)\cdots (s-i+1){h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}]\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}i!{h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}].\end{aligned}}}$

Это называется формулой прямой разделенной разности Ньютона ^{[ необходима цитата ]} .

Формула обратной разделенной разности Ньютона [ править ]

Если узлы переупорядочены как , полином Ньютона становится${\displaystyle {x}_{k},{x}_{k-1},\dots ,{x}_{0}}$

${\displaystyle N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})\cdots (x-{x}_{1}).}$

Если они расположены на одинаковом расстоянии от и для i = 0, 1, ..., k , то,${\displaystyle {x}_{k},\;{x}_{k-1},\;\dots ,\;{x}_{0}}$${\displaystyle x={x}_{k}+sh}$${\displaystyle {x}_{i}={x}_{k}-(k-i)h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}]s(s+1)\cdots (s+k-1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots ,{y}_{k-i}].\end{aligned}}}$

называется формулой обратной разделенной разности Ньютона ^{[ необходима цитата ]} .

Значение [ править ]

Формула Ньютона представляет интерес, потому что это прямая и естественная версия полинома Тейлора с разностями. Многочлен Тейлора сообщает, куда пойдет функция, на основе ее значения y и ее производных (скорости ее изменения, скорости изменения скорости изменения и т. Д.) При одном конкретном значении x . Формула Ньютона - это полином Тейлора, основанный на конечных разностях, а не на мгновенных скоростях изменения.

Добавление новых точек [ править ]

Как и в случае с другими формулами разности, степень интерполяционного полинома Ньютона может быть увеличена путем добавления дополнительных членов и точек, не отбрасывая существующие. Форма Ньютона проста в том, что новые точки всегда добавляются на одном конце: прямая формула Ньютона может добавлять новые точки справа, а обратная формула Ньютона может добавлять новые точки слева.

Точность полиномиальной интерполяции зависит от того, насколько близко интерполированная точка находится к середине значений x используемого набора точек. Очевидно, что по мере того, как на одном конце добавляются новые точки, эта середина становится все дальше и дальше от первой точки данных. Следовательно, если неизвестно, сколько точек потребуется для желаемой точности, середина значений x может быть далеко от того места, где выполняется интерполяция.

Гаусс, Стирлинг и Бессель разработали формулы для решения этой проблемы. ^[2]

Формула Гаусса поочередно добавляет новые точки на левом и правом концах, тем самым сохраняя центр набора точек в одном и том же месте (рядом с оцененной точкой). При этом используются термины из формулы Ньютона с переименованием точек данных и значений x в соответствии с вашим выбором, какая точка данных обозначена как точка данных x ₀ .

Формула Стирлинга по-прежнему сосредоточена вокруг конкретной точки данных для использования, когда оцененная точка находится ближе к точке данных, чем к середине из двух точек данных.

Формула Бесселя по-прежнему сосредоточена вокруг определенной середины между двумя точками данных для использования, когда оцененная точка находится ближе к середине, чем к точке данных.

Бессель и Стирлинг достигают этого, иногда используя среднее значение двух разностей, а иногда используя среднее значение двух произведений биномов по x , тогда как для значений Ньютона или Гаусса используется только одно различие или произведение. Стирлинг использует среднюю разницу в нечетных выражениях (для разницы используется четное число точек данных); Бессель использует среднюю разницу в четных градусах (для разницы используется нечетное количество точек данных).

Сильные и слабые стороны различных формул [ править ]

Для любого заданного конечного набора точек данных существует только один полином наименьшей возможной степени, который проходит через все из них. Таким образом, уместно говорить о «форме Ньютона» или форме Лагранжа и т. Д. Интерполяционного полинома. Однако имеет значение способ получения полинома. Есть несколько подобных методов, например, Гаусса, Бесселя и Стирлинга. Они могут быть получены из Ньютона путем переименования значений x точек данных, но на практике они важны.

Бессель против Стирлинга [ править ]

Выбор между Бесселем и Стирлингом зависит от того, находится ли интерполированная точка ближе к точке данных или ближе к середине между двумя точками данных.

Ошибка полиномиальной интерполяции приближается к нулю, когда точка интерполяции приближается к точке данных. Таким образом, формула Стирлинга обеспечивает повышение точности там, где это меньше всего необходимо, а Бессель обеспечивает повышение точности там, где это необходимо больше всего.

Таким образом, формулу Бесселя можно назвать наиболее точной разностной формулой и, в целом, наиболее точной из известных формул полиномиальной интерполяции.

Методы разделенных разностей против Лагранжа [ править ]

Иногда говорят, что Лагранж требует меньше работы, и иногда его рекомендуют для задач, в которых заранее известно из предыдущего опыта, сколько терминов необходимо для достаточной точности.

Преимущество методов разделенных разностей состоит в том, что можно добавить больше точек данных для повышения точности. Термины, основанные на предыдущих точках данных, можно продолжать использовать. С обычной формулой Лагранжа, чтобы решить проблему с большим количеством точек данных, потребовалось бы заново выполнить всю задачу.

Существует «барицентрическая» версия Лагранжа, которая избавляет от необходимости заново выполнять все вычисления при добавлении новой точки данных. Но это требует, чтобы значения каждого термина были записаны.

Но способность Гаусса, Бесселя и Стирлинга удерживать точки данных в центре близко к интерполированной точке дает им преимущество перед Лагранжем, когда заранее неизвестно, сколько точек данных потребуется.

Кроме того, предположим, что кто-то хочет выяснить, достаточно ли точна линейная интерполяция для некоторого конкретного типа задачи. Это можно определить, оценив квадратичный член формулы разделенной разности. Если квадратичный член пренебрежимо мал - это означает, что линейный член достаточно точен без добавления квадратичного члена, - тогда линейная интерполяция достаточно точна. Если проблема достаточно важна или если квадратичный член почти достаточно велик, чтобы иметь значение, то можно было бы определить, достаточно ли велика _ сумма_ квадратичных и кубических членов, чтобы иметь значение в проблеме.

Конечно, для такого определения можно использовать только метод разделенных разностей.

Для этой цели следует выбрать формулу разделенной разности и / или ее точку x _0, чтобы формула использовала в качестве своего линейного члена две точки данных, между которыми будет выполняться интересующая линейная интерполяция.

Формулы разделенных разностей более универсальны и полезны для решения большего числа задач.

Формула Лагранжа наиболее эффективна, когда вся интерполяция будет выполняться при одном значении x , при этом только значения y точек данных меняются от одной задачи к другой, и когда из прошлого опыта известно, сколько терминов необходимо для достаточная точность.

С формой Ньютона интерполяционного многочлена существует компактный и эффективный алгоритм для объединения членов, чтобы найти коэффициенты многочлена. ^[3]

Точность [ править ]

Когда в терминах Стирлинга или Бесселя последний использованный термин включает в себя среднее значение двух разностей, тогда используется на одну точку больше, чем при интерполяции Ньютона или других полиномов для той же степени полинома. Таким образом, в этом случае методы Стирлинга или Бесселя не помещают полином степени N −1 через N точек, а вместо этого торгуют эквивалентностью с полиномом Ньютона для лучшего центрирования и точности, что дает этим методам иногда потенциально большую точность для данной степени полинома. , чем другие полиномиальные интерполяции.

Общий случай [ править ]

Для особого случая x _i = i существует тесно связанный набор многочленов, также называемых многочленами Ньютона, которые являются просто биномиальными коэффициентами для общего аргумента. То есть, есть также многочлены Ньютона, заданные формулой${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}}$

В этой форме полиномы Ньютона порождают ряды Ньютона . Это, в свою очередь, частный случай общих разностных полиномов, которые позволяют представлять аналитические функции через обобщенные разностные уравнения.

Основная идея [ править ]

Решение интерполяционной задачи приводит к проблеме линейной алгебры, в которой мы должны решить систему линейных уравнений. Используя стандартный мономиальный базис для нашего интерполяционного полинома, мы получаем очень сложную матрицу Вандермонда . Выбирая другой базис, базис Ньютона, мы получаем систему линейных уравнений с гораздо более простой нижнетреугольной матрицей, которую можно решить быстрее.

Для k  + 1 точек данных мы строим базис Ньютона как

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j=1,\ldots ,k.}$

Используя эти многочлены в качестве основы, мы должны решить${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&\ldots &&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\\vdots \\\\a_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots \\\\y_{k}\end{bmatrix}}}$

для решения задачи полиномиальной интерполяции.

Эта система уравнений может быть решена итеративно путем решения

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j}a_{i}n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\dots ,k.}$

Вывод [ править ]

Хотя формулу интерполяции можно найти, решив линейную систему уравнений, есть потеря интуиции в том, что показывает формула, и почему формула интерполяции Ньютона работает не сразу. Для начала нам понадобится следующий результат:

${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n}]=[y_{n},\ldots ,y_{1}]}$. Это равенство означает, что реверсирование членов разделенной разницы не влияет на конечный результат. Докажем этот результат по индукции.

Основа :${\textstyle [y_{1},y_{2}]={\frac {[y_{2}]-[y_{1}]}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {[y_{1}]-[y_{2}]}{x_{1}-x_{2}}}=[y_{2},y_{1}]}$

Индукция : предположим, что результат верен для разделенной разницы, содержащей меньше членов. Используя предположение индукции, видим, что где предположение индукции использовалось при 2-м равенстве.${\displaystyle n+1}$${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n+1}]={\frac {[y_{2},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{1},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{1}}}={\frac {[y_{n},\ldots ,y_{1}]-[y_{n+1},\ldots ,y_{2}]}{x_{1}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},\ldots ,y_{1}]}$

Чтобы вывести формулу интерполяции, мы теперь будем использовать следующий результат, который также будет доказан с помощью индукции:

${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})}$где - единственный полином степени (не выше), проходящий через точки . Благодаря этому результату мы теперь можем точно количественно оценить ошибку между полиномом интерполяции at и истинным значением .${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle y_{n}}$

Основание : где - единственный проходящий полином нулевой степени .${\displaystyle [y_{1},y_{2}](x_{2}-x_{1})={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x_{2}-x_{1})=y_{2}-y_{1}=y_{2}-P(x_{2})}$${\displaystyle P(x)=y_{1}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

Индукция : предположим, что результат верен, когда очков меньше, чем . Пусть - многочлен степени (не выше), проходящей через${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&={\frac {[y_{2},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{1},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{1}}}(x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=\left([y_{2},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{1},\ldots ,y_{n}]\right)(x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=[y_{2},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=y_{n+1}-(Q(x_{n+1})+[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n}))\end{aligned}}}$

где - единственный полином степени (не выше), проходящий через точки . Предпоследнее равенство исходит из гипотезы индукции, поскольку включает точки и, следовательно . Приближаясь к желаемому результату, мы теперь утверждаем, что, поскольку оба многочлена проходят и имеют степень (не выше) . Оба эти критерия однозначно определяют полином. Тот факт, что левая сторона проходит, легко понять по определению «как быть». Чтобы продемонстрировать прохождение левой части , мы будем использовать первый доказанный выше результат вместе с предположением индукции: ${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle (x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle [y_{2},\ldots ,y_{n+1}]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [y_{2},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-Q(x_{n+1})}$${\displaystyle Q(x)+[y_{1},\ldots ,y_{n}](x-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})=P(x)}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Q(x_{1})+[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{1}-x_{n})\\&=Q(x_{1})+[y_{n},\ldots ,y_{1}](x_{1}-x_{n})\cdot \ldots \cdot (x_{1}-x_{2})\\&=Q(x_{1})+y_{1}-Q(x_{1})\\&=y_{1}\\&=P(x_{1})\\\end{aligned}}}$

где 2-е равенство следует из того, что проходящий многочлен степени (не выше) удовлетворяет предположению индукции. Продолжая шаг индукции выше, мы теперь видим, что где - многочлен степени, проходящей через. Таким образом, доказательство завершено.${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle (x_{n},y_{n}),\ldots ,(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-P(x_{n+1})}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}).}$

Вся эта работа теперь ведет к тому, откуда взялась формула интерполяции Ньютона. Преобразуя результат выше, мы отмечаем, что это полином степени (не выше), проходящей через , и, таким образом, мы видим, что «расширение» полинома до следующей точки требует добавления члена, дающего нам формулу интерполяции Ньютона.${\displaystyle P(x)+[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n+1},y_{n+1})}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle (x_{n+1},y_{n+1})}$${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})}$

Полином Тейлора [ править ]

Предел полинома Ньютона, если все узлы совпадают, является полиномом Тейлора , потому что разделенные разности становятся производными.

${\displaystyle \lim _{(x_{0},\dots ,x_{n})\to (z,\dots ,z)}f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot (\xi -x_{0})+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot (\xi -x_{0})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n-1})=}$

${\displaystyle =f(z)+f'(z)\cdot (\xi -z)+\dots +{\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}\cdot (\xi -z)^{n}}$

Заявление [ править ]

Как видно из определения разделенных разностей, новые точки данных могут быть добавлены к набору данных для создания нового полинома интерполяции без пересчета старых коэффициентов. И когда точка данных изменяется, нам обычно не нужно пересчитывать все коэффициенты. Кроме того, если x _i распределены равноудаленно, вычисление разделенных разностей становится значительно проще. Поэтому для практических целей обычно предпочтительнее формулы разделенных разностей, чем формы Лагранжа .

Примеры [ править ]

Разделенные различия можно записать в виде таблицы. Например, функция f должна быть интерполирована по точкам . Написать${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&f(x_{0})&&\\&&{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}}&\\x_{1}&f(x_{1})&&{{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}-{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}} \over x_{2}-x_{0}}\\&&{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&f(x_{2})&&\vdots \\&&\vdots &\\\vdots &&&\vdots \\&&\vdots &\\x_{n}&f(x_{n})&&\\\end{matrix}}}$

Затем интерполирующий полином формируется, как указано выше, с использованием самых верхних записей в каждом столбце в качестве коэффициентов.

Например, предположим, что мы должны построить интерполирующий полином к f ( x ) = tan ( x ) с использованием разделенных разностей в точках

${\displaystyle x_{0}=-{\tfrac {3}{2}}}$	${\displaystyle x_{1}=-{\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle x_{2}=0}$	${\displaystyle x_{3}={\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle x_{4}={\tfrac {3}{2}}}$
${\displaystyle f(x_{0})=-14.1014}$	${\displaystyle f(x_{1})=-0.931596}$	${\displaystyle f(x_{2})=0}$	${\displaystyle f(x_{3})=0.931596}$	${\displaystyle f(x_{4})=14.1014}$

Используя шестизначную точность, строим таблицу

${\displaystyle {\begin{matrix}-{\tfrac {3}{2}}&-14.1014&&&&\\&&17.5597&&&\\-{\tfrac {3}{4}}&-0.931596&&-10.8784&&\\&&1.24213&&4.83484&\\0&0&&0&&0\\&&1.24213&&4.83484&\\{\tfrac {3}{4}}&0.931596&&10.8784&&\\&&17.5597&&&\\{\tfrac {3}{2}}&14.1014&&&&\\\end{matrix}}}$

Таким образом, интерполирующий полином равен

${\displaystyle -14.1014+17.5597(x+{\tfrac {3}{2}})-10.8784(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})+4.83484(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)(x-{\tfrac {3}{4}})=}$

${\displaystyle =-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}}$

Если в таблице будет больше цифр точности, первый и третий коэффициенты окажутся равными нулю.

Другой пример:

Последовательность такая, что и , т. Е. От до .${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2}$${\displaystyle f_{0}(4)=5}$${\displaystyle 6,9,2,5}$${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{3}=4}$

Вы получаете наклон порядка следующим образом:${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1})={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {9-6}{2-1}}=3}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {2-9}{3-2}}=-7}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{2},x_{3})={\frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={\frac {5-2}{4-3}}=3}$

Поскольку у нас есть порядок уклонов , можно получить следующий порядок:${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-7-3}{3-1}}=-5}$
• ${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {3-(-7)}{4-2}}=5}$

Наконец, мы определяем наклон порядка :${\displaystyle 3}$

• ${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5-(-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}}$

Как только у нас есть наклон, мы можем определить следующие многочлены:

• ${\displaystyle p_{0}(x)=6}$.
• ${\displaystyle p_{1}(x)=6+3(x-1)}$
• ${\displaystyle p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)}$.
• ${\displaystyle p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3)}$

См. Также [ править ]

• De numeris triangularibus et inde de progressionibus arithmeticis: Magisteria magna , работа Томаса Харриота, описывающая аналогичные методы интерполяции, написанная на 50 лет раньше, чем работа Ньютона, но не опубликованная до 2009 г.
• Серия Ньютон
• Схема Невилла
• Полиномиальная интерполяция
• Форма Лагранжа интерполяционного полинома
• Форма Бернштейна интерполяционного полинома
• Эрмита интерполяция
• Теорема Карлсона
• Таблица ньютоновских рядов

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Модуль для полинома Ньютона Джона Х. Мэтьюза