- Разделенные разности симметричны: если перестановка, то
- где находится в открытом интервале, определяемом наименьшим и наибольшим из с.
Матричная форма
Схема разделенных разностей может быть помещена в верхнюю треугольную матрицу . Позволять.
Тогда он держит
- Это следует из правила Лейбница. Это означает, что умножение таких матриц коммутативно . Таким образом, матрицы схем разделенных разностей относительно одного и того же набора узлов образуют коммутативное кольцо .
- С - треугольная матрица, ее собственные значения , очевидно, равны.
- Позволять - дельта- функция Кронекера , т. е.
- Очевидно , таким образом является собственной функцией поточечного умножения функций. Это каким-то образом "собственная матрица " : . Однако все столбцы кратны друг друга, матрицы ранга из равно 1. Таким образом, вы можете составить матрицу всех собственных векторов из -й столбец каждого . Обозначим матрицу собственных векторов через . Пример
- Диагонализация из можно записать как
- .
Расширенная форма
С помощью полиномиальной функции с участием это можно записать как
В качестве альтернативы мы можем разрешить отсчет в обратном порядке от начала последовательности, определив в любое время или же . Это определение позволяет интерпретироваться как , интерпретироваться как , интерпретироваться как и т. д. Таким образом, расширенная форма разделенной разницы становится
Еще одна характеристика использует ограничения:
Неполные фракции
Вы можете представить частичные дроби, используя развернутую форму разделенных разностей. (Это не упрощает вычисления, но интересно само по себе.) Если а также - полиномиальные функции , где а также дается в терминах линейных факторов как, то из разложения на частную дробь следует, что
Если пределы разделенных разностей приняты, то эта связь также сохраняется, если некоторые из совпадают.
Если является полиномиальной функцией произвольной степени и разлагается на используя деление многочленов из от , тогда
Форма Пеано
Разделенные различия могут быть выражены как
где является B-сплайном степени для точек данных а также это -я производная функции.
Это называется формой Пеано разделенных различий иназывается ядром Пеано из- за разделенных различий, оба названы в честь Джузеппе Пеано .
Форма Тейлора
Первый заказ
Если узлы накапливаются, то численное вычисление разделенных разностей неточно, потому что вы делите почти два нуля, каждый из которых с высокой относительной ошибкой из-за разностей схожих значений . Однако мы знаем, что коэффициенты разности аппроксимируют производную и наоборот:
- для
Это приближение можно превратить в тождество всякий раз, когда применима теорема Тейлора .
Вы можете устранить нечетные возможности путем расширения ряда Тейлора в центре между а также :
- , это
Более высокого порядка
Ряд Тейлора или любое другое представление с функциональным рядом в принципе можно использовать для аппроксимации разделенных разностей. Ряды Тейлора представляют собой бесконечные суммы степенных функций . Отображение из функции к разделенной разнице - линейный функционал . Мы также можем применить этот функционал к слагаемым функциям.
Выразите обозначение мощности с помощью обычной функции:
Регулярный ряд Тейлора представляет собой взвешенную сумму степенных функций:
Ряд Тейлора для разделенных разностей:
Мы знаем, что первый члены исчезают, потому что у нас более высокий порядок разности, чем полиномиальный порядок, и в следующем члене разделенная разность равна единице:
Отсюда следует, что ряд Тейлора для разделенной разности по существу начинается с что также является простой аппроксимацией разделенной разности в соответствии с теоремой о среднем значении для разделенных разностей .
Если бы нам пришлось вычислять разделенные разности для степенных функций обычным способом, мы бы столкнулись с теми же числовыми проблемами, что и при вычислении разделенной разности . Приятно то, что есть способ попроще. Он держит
Следовательно, мы можем вычислить разделенные разности путем разделения на формальных степенных рядов . Посмотрите, как это сводится к последовательному вычислению степеней, когда мы вычисляем для нескольких .
Если вам нужно вычислить всю схему разделенных разностей относительно ряда Тейлора, см. Раздел о разделенных разностях степенных рядов .
Разделенные разности многочленов особенно интересны, потому что они могут извлечь выгоду из правила Лейбница. Матрица с участием
содержит схему разделенных разностей для функции идентичности относительно узлов, таким образом содержит разделенные разности для степенной функции с показателем . Следовательно, вы можете получить разделенные разности для полиномиальной функции относительно полинома применяя (точнее: соответствующая ей матричная полиномиальная функция ) к матрице .
Это известно как формула Опица . [2] [3]
Теперь рассмотрим увеличение степени до бесконечности, т.е. превратить многочлен Тейлора в ряд Тейлора . Позволять- функция, соответствующая степенному ряду . Вы можете вычислить схему разделенных разностей, вычислив соответствующий матричный ряд, применяемый к. Если узлы все равны, то является жордановым блоком, и вычисления сводятся к обобщению скалярной функции на матричную функцию с использованием разложения Жордана .
Когда точки данных распределены равноудаленно, мы получаем особый случай, называемый прямыми разностями . Их легче вычислить, чем более общие разделенные разности.
Обратите внимание, что «разделенная часть» из прямой разделенной разности все же должна быть вычислена, чтобы восстановить прямую разделенную разницу из прямой разницы .
Определение
Учитывая n точек данных
с участием
разделенные разницы можно рассчитать с помощью форвардных разниц, определяемых как
Связь между разделенными разностями и прямыми разностями [4]
Пример