Полиномиальное деление в столбик

В алгебре , полиномиальное деление долго является алгоритмом для деления многочлена на другой многочлен той же или меньшей степени , обобщенной версии знакомой арифметической техники , называемой длиной деления . Это можно легко сделать вручную, потому что в противном случае сложная задача разделения разделяется на более мелкие. Иногда использование сокращенной версии, называемой синтетическим делением, выполняется быстрее, с меньшим количеством записей и меньшим количеством вычислений. Другой сокращенный метод - полиномиальное короткое деление (метод Бломквиста).

Полиномиальное деление в столбик - это алгоритм, который реализует евклидово деление многочленов , которое, начиная с двух многочленов A ( делимое ) и B ( делитель ), дает, если B не равно нулю, частное Q и остаток R такие, что

А = BQ + R ,

и либо R = 0 или степень R ниже , чем степень B . Эти условия однозначно определяют Q и R , что означает, что Q и R не зависят от метода, используемого для их вычисления.

Результат R = 0 имеет место тогда и только тогда , когда многочлен имеет B в качестве фактора . Таким образом, деление в столбик - это средство проверки того, есть ли у одного многочлена другой фактор, и, если да, то для его разложения. Например, если известен корень r из A , его можно вывести, разделив A на ( x  -  r ).

Пример [ править ]

Полиномиальное деление в столбик [ править ]

Найти частное и остаток от деления на дивиденды , по к делителю .${\ displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} -4,}$${\ displaystyle x-3,}$

Дивиденд сначала переписывается так:

${\ displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} + 0x-4.}$

Затем частное и остаток можно определить следующим образом:

1. Разделите первый член дивиденда на самый высокий член делителя (имеется в виду тот, у которого самая высокая степень x , которая в данном случае равна x ). Поместите результат над полосой ( x ³ ÷ x = x ² ).

   ${\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ color {White} x-3) x ^ {3} -2} x ^ {2} \\ x-3 {\ overline {) x ^ {3} -2x ^ {2} + 0x-4}} \ end {массив}}}$

2. Умножьте делитель на только что полученный результат (первый член возможного частного). Запишите результат под первыми двумя членами делимого ( x ² · ( x - 3) = x ³ - 3 x ² ).

   ${\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ color {White} x-3) x ^ {3} -2} x ^ {2} \\ x-3 {\ overline {) x ^ {3} -2x ^ {2} + 0x-4}} \\ {\ color {Белый} x-3)} x ^ {3} -3x ^ {2} \ end {array}}}$

3. Вычтите только что полученное произведение из соответствующих членов исходного дивиденда (будьте осторожны, вычитание чего-то со знаком минус эквивалентно добавлению чего-то со знаком плюс) и запишите результат под ( ( x ³ - 2 x ² ) - ( х ³ - 3 х ² ) = −2 х ² + 3 х ² = х ² ). Затем «сбейте» следующий член из дивиденда.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3)x^{3}-2}x^{2}\\x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3)}{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\{\color {White}x-3)0x^{3}}+{\color {White}}x^{2}+0x\end{array}}}$

4. Повторите предыдущие три шага, но на этот раз используйте только что записанные два члена в качестве дивиденда.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x{\color {White}{}+3}\\x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\\end{array}}}$

5. Повторите шаг 4. На этот раз «потянуть» нечего.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x+3\\x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\{\underline {+3x-9}}\\+5\end{array}}}$

Многочлен над чертой - это частное q ( x ), а оставшееся число (5) - это остаток r ( x ).

${\displaystyle {x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}}$

Долго деление алгоритм арифметики очень похожа на приведенный выше алгоритм, в котором переменные й заменяются конкретный номером 10.

Полиномиальное короткое деление [ править ]

Метод Бломквиста ^[1] - это сокращенная версия длинного деления, описанного выше. Этот метод с использованием ручки и бумаги использует тот же алгоритм, что и полиномиальное деление в столбик, но для определения остатков используется мысленный расчет . Это требует меньшего количества записей и, следовательно, может быть более быстрым методом после освоения.

Деление сначала записывается аналогично длинному умножению с делимым вверху и делителем под ним. Частное должно быть написано под полосой слева направо.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}+{0x}-4\\{\underline {\div \quad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\end{matrix}}}$

Разделите первый член дивиденда на самый высокий член делителя ( x ³ ÷ x = x ² ). Поместите результат под полоску. x ³ был разделен без остатка и поэтому может быть помечен как используемый с помощью обратной косой черты. Затем результат x ² умножается на второй член в делителе −3 = −3 x ² . Определите частичный остаток, вычитая −2 x ² - (−3 x ² ) = x ² . Отметьте −2 x ² как использованное и поместите новый остаток x ² над ним.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad x^{2}\\\qquad \quad {\bcancel {x}}^{3}+{\bcancel {-2}}x^{2}+{0x}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}\qquad \qquad \end{matrix}}}$

Разделите самый высокий член остатка на самый высокий член делителя ( x ² ÷ x = x ). Поместите результат (+ x) под полосой. x ² был разделен без остатка и поэтому может быть отмечен как использованный. Затем результат x умножается на второй член в делителе −3 = −3 x . Определите частичный остаток, вычитая 0 x - (−3 x ) = 3 x . Отметьте 0x как использованный и поместите новый остаток в 3 раза выше него.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad \quad {\bcancel {x}}^{2}\quad 3x\\\qquad \quad {\bcancel {x}}^{3}+{\bcancel {-2}}x^{2}+{\bcancel {0x}}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x\qquad \end{matrix}}}$

Разделите самый высокий член остатка на самый высокий член делителя (3x ÷ x = 3). Поместите результат (+3) под полосой. 3x было разделено без остатка и поэтому может быть помечено как использованное. Результат 3 затем умножается на второй член в делителе −3 = −9. Определите частичный остаток, вычитая −4 - (−9) = 5. Отметьте −4 как использованный и поместите новый остаток 5 над ним.

${\displaystyle {\begin{matrix}\quad \qquad \qquad \qquad {\bcancel {x}}^{2}\quad {\bcancel {3x}}\quad 5\\\qquad \quad {\bcancel {x}}^{3}+{\bcancel {-2}}x^{2}+{\bcancel {0x}}{\bcancel {-4}}\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x+3\qquad \end{matrix}}}$

Многочлен под чертой - это частное q ( x ), а оставшееся число (5) - это остаток r ( x ).

Псевдокод [ править ]

Алгоритм может быть представлен в псевдокоде следующим образом, где +, - и × представляют полиномиальную арифметику, а / представляет собой простое деление двух членов:

Функция н / д является требуется d ≠ 0 q ← 0 r ← n // На каждом шаге n = d × q + r в то время как r ≠ 0 и степень (r) ≥ степень (d) делают t ← lead (r) / lead (d) // Разделите ведущие члены q ← q + t г ← г - т × д возврат (q, r)

Обратите внимание, что это работает одинаково хорошо, когда степень ( n ) <степень ( d ); в этом случае результат будет просто тривиальным (0, n ).

Этот алгоритм точно описывает вышеуказанный метод бумаги и карандаша: d написано слева от ")"; q пишется член за членом над горизонтальной линией, причем последний член является значением t ; область под горизонтальной линией используется для вычисления и записи последовательных значений r .

Евклидово деление [ править ]

Для каждой пары полиномов ( A , B ) такой, что B ≠ 0, деление полиномов дает частное Q и остаток R такие, что

${\displaystyle A=BQ+R,}$

и либо R = 0, либо степень ( R ) <степень ( B ). Более того, ( Q , R ) - единственная пара многочленов, обладающих этим свойством.

Процесс получения однозначно определенных многочленов Q и R из A и B называется евклидовым делением (иногда преобразованием деления ). Таким образом, полиномиальное деление в столбик является алгоритмом евклидова деления. ^[2]

Приложения [ править ]

Факторинговые полиномы [ править ]

Иногда известен один или несколько корней многочлена, возможно, найденные с помощью теоремы о рациональном корне . Если известен один корень r полинома P ( x ) степени n, то можно использовать полиномиальное деление в столбик, чтобы разложить P ( x ) на множители ( x - r ) ( Q ( x )), где Q ( x ) - многочлен степени n - 1. Q ( x ) - это просто частное, полученное в процессе деления; так как гизвестно, что это корень P ( x ), известно, что остаток должен быть равен нулю.

Аналогичным образом, если известно более одного корня, линейный множитель ( x - r ) в одном из них ( r ) может быть разделен, чтобы получить Q ( x ), а затем линейный член в другом корне, s , может быть разделен из Q ( x ) и т. д. В качестве альтернативы, все они могут быть разделены сразу: например, линейные множители x - r и x - s можно умножить вместе, чтобы получить квадратичный множитель x ² - ( r + s ) x + rs, который затем можно разделить на исходный многочлен P ( x ), чтобы получить частное степени n - 2.

Таким способом иногда могут быть получены все корни многочлена степени больше четырех, хотя это не всегда возможно. Например, если теорема о рациональном корне может быть использована для получения единственного (рационального) корня многочлена пятой степени , ее можно выделить для получения частного четвертого порядка (четвертой степени); Явная формула для корней полинома четвертой степени может быть использована для нахождения остальных четырех корней полинома пятой степени.

Нахождение касательных к полиномиальным функциям [ править ]

Полином долго деление может быть использовано , чтобы найти уравнение линии , которая является касательной к графике функции , определенной на многочлен Р ( х ) в определенной точке х = г . ^[3] Если R ( x ) - остаток от деления P ( x ) на ( x - r ) ² , то уравнение касательной прямой в точке x = r к графику функции y = P ( x )есть y = R ( x ), независимо от того, является ли r корнем многочлена.

Пример [ править ]

Найдите уравнение прямой, касающейся следующей кривой в точке :${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle y=x^{3}-12x^{2}-42.}$

Начните с деления полинома на :${\displaystyle (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1}$

${\displaystyle {\begin{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}}$

Касательная линия ${\displaystyle y=-21x-32.}$

Циклический контроль избыточности [ править ]

Циклический контроль избыточности использует остаток от деления полинома для обнаружения ошибок в передаваемых сообщениях.

См. Также [ править ]

• Теорема о полиномиальном остатке
• Синтетическое деление , более краткий метод выполнения полиномиального деления Евклида
• Правило Руффини
• Евклидова область
• Основа Грёбнера
• Наибольший общий делитель двух многочленов

Ссылки [ править ]