Мысленный расчет

Эта статья содержит инструкции, советы или практические советы . Цель Википедии - представить факты, а не тренировать. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , переписав содержание с практическими рекомендациями или переместив ее в Викиверситет , Викиучебники или Викигид . ( Февраль 2017 г. )

Мысленные вычисления состоят из арифметических вычислений с использованием только человеческого мозга , без помощи каких-либо принадлежностей (таких как карандаш и бумага) или таких устройств, как калькулятор . Люди используют мысленный расчет, когда вычислительные инструменты недоступны, когда он быстрее, чем другие средства расчета (например, традиционные методы учебных заведений), или даже в условиях конкуренции . Мысленный расчет часто включает использование определенных методов, разработанных для конкретных типов задач. ^[1] Людей с необычно высокой способностью к мысленным вычислениям называют мысленными калькуляторами или молниеносными калькуляторами .

Многие из этих методов используют десятичную систему счисления или полагаются на нее. Обычно выбор метода счисления определяет, какой метод или методы использовать.

Методы и приемы [ править ]

Изгнание девяток [ править ]

После применения арифметической операции к двум операндам и получения результата можно использовать следующую процедуру для повышения уверенности в правильности результата:

1. Суммируйте цифры первого операнда; любые 9 (или наборы цифр, которые добавляют к 9) могут быть засчитаны как 0.
2. Если итоговая сумма состоит из двух или более цифр, просуммируйте эти цифры, как на первом шаге; повторяйте этот шаг, пока в полученной сумме не будет только одна цифра.
3. Повторите шаги один и два со вторым операндом. Есть два однозначных числа, одно из которых состоит из первого операнда, а другое из второго операнда. (Эти однозначные числа также являются остатками, полученными в результате деления исходных операндов на 9; математически говоря, это исходные операнды по модулю 9.)
4. Примените первоначально заданную операцию к двум сжатым операндам, а затем примените процедуру суммирования цифр к результату операции.
5. Просуммируйте цифры результата, которые были изначально получены для первоначального расчета.
6. Если результат шага 4 не совпадает с результатом шага 5, то исходный ответ неверен. Если два результата совпадают, то исходный ответ может быть правильным, хотя это не гарантируется.

Пример

• Предположим, что результаты расчета 6338 × 79 равны 500702

1. Суммируйте цифры 6338: (6 + 3 = 9, поэтому посчитайте это как 0) + 3 + 8 = 11
2. Итерируйте по мере необходимости: 1 + 1 = 2
3. Суммируйте цифры 79: 7 + (9 считается как 0) = 7
4. Выполните исходную операцию над сжатыми операндами и цифрами суммы: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
5. Суммируйте цифры 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9, что считается 0) = 5
6. 5 = 5, так что есть большая вероятность, что предсказание, что 6338 × 79 равно 500702, верно.

Эту же процедуру можно использовать для нескольких операций, повторяя шаги 1 и 2 для каждой операции.

Оценка [ править ]

Проверяя мысленный расчет, полезно думать о нем с точки зрения масштабирования. Например, при работе с большими числами, скажем, 1 531 × 19 625, оценка указывает, что нужно знать количество цифр, ожидаемых для окончательного значения. Полезный способ проверки - это оценка. 1 531 - это около 1 500, а 19 625 - около 20 000, поэтому результат около 20 000 × 1 500 (30 000 000) будет хорошей оценкой для фактического ответа (30 045 875). Значит, если в ответе слишком много цифр, произошла ошибка.

Факторы [ править ]

При умножении полезно помнить, что множители операндов по-прежнему остаются. Например, утверждать, что 14 × 15 равно 201, было бы неразумно. Поскольку 15 кратно 5, произведение должно быть таким же. Аналогично, 14 кратно 2, поэтому произведение должно быть четным. Кроме того, любое число, кратное 5 и 2, обязательно кратно 10, а в десятичной системе будет заканчиваться на 0. Правильный ответ - 210. Оно кратно 10, 7 (другой простой множитель. из 14) и 3 (другой простой множитель 15).

Расчет разницы: a - b [ править ]

Прямой расчет [ править ]

Когда все цифры b меньше, чем соответствующие цифры a , вычисление может выполняться цифра за цифрой. Например, оцените 872–41, просто вычтя 1 из 2 в разряде единиц и 4 из 7 в разряде десятков: 831.

Косвенный расчет [ править ]

Когда описанная выше ситуация не применима, существует другой метод, известный как косвенный расчет.

Метод упреждающего заимствования [ править ]

Этот метод можно использовать для вычитания чисел слева направо, и если все, что требуется, - это прочитать результат вслух, он требует небольшой памяти пользователя даже для вычитания чисел произвольного размера.

Обрабатывается одно место слева направо.

Пример: 4075 - 1844 г. ------Тысячи: 4 - 1 = 3, посмотрите направо, 075 <844, нужно занять. 3 - 1 = 2, скажем «Две тысячи». Один из них выполняет 3 - 1, а не 4 - 1, потому что столбец справа собираюсь взять в долг из тысяч мест.Сотни: 0-8 = отрицательные числа здесь не допускаются. Это место собираются увеличить, используя номер один, заимствованный из столбец слева. Следовательно: 10 - 8 = 2. Это 10, а не 0, потому что один заимствован у тысяч место. 75> 44, так что брать взаймы не нужно, скажи "двести"Десятки: 7-4 = 3, 5> 4, поэтому 5-4 = 1

Следовательно, результат 2231.

Расчет продуктов: a × b [ править ]

Многие из этих методов работают из-за свойства распределения .

Умножение любых двух чисел путем присоединения, вычитания и направления [ править ]

Артем Чепрасов открыл метод умножения, который позволяет пользователю использовать 3 шага для быстрого умножения чисел любого размера друг на друга тремя уникальными способами. ^{[2] [3]}

Во-первых, этот метод позволяет пользователю прикреплять числа друг к другу, а не складывать или вычитать их на промежуточных этапах, чтобы ускорить умножение. Например, вместо добавления или вычитания промежуточных результатов, таких как 357 и 84, пользователь может просто сложить числа вместе (35784), чтобы упростить и ускорить задачу умножения. Прикрепление чисел друг к другу помогает обойти ненужные шаги, которые можно найти в традиционных методах умножения.

Во-вторых, в этом методе по мере необходимости используются отрицательные числа, даже при умножении двух положительных целых чисел, чтобы увеличить скорость умножения за счет вычитания. Это означает, что два положительных целых числа можно перемножить, чтобы получить отрицательные промежуточные шаги, но в итоге получить правильный положительный ответ. Эти отрицательные числа фактически автоматически выводятся из самих шагов умножения и, таким образом, уникальны для конкретной задачи. Опять же, такие отрицательные промежуточные шаги призваны ускорить умственную математику.

Наконец, еще одним уникальным аспектом использования этого метода является то, что пользователь может выбрать один из нескольких различных «путей умножения» к конкретной задаче умножения на основе своих субъективных предпочтений или сильных и слабых сторон с конкретными целыми числами.

Несмотря на одинаковые начальные целые числа, разные маршруты умножения дают разные промежуточные числа, которые автоматически выводятся для пользователя по мере их умножения. Некоторые из этих посредников могут быть проще, чем другие (например, некоторые пользователи могут найти маршрут, в котором используется отрицательное 7, в то время как другой маршрут использует 5 или 0, с которыми обычно легче работать мысленно для большинства людей, но не во всех случаях. ).

Если один «маршрут» кажется более сложным для одного ученика по сравнению с другим маршрутом и его промежуточными числами, этот ученик может просто выбрать для себя другой более простой путь умножения, даже если это та же самая исходная задача.

Формула "Концы пяти" [ править ]

Для любой задачи умножения 2 цифр на 2 цифры, если оба числа оканчиваются на пять, можно использовать следующий алгоритм для быстрого их умножения: ^[2]

${\ displaystyle Пример: 35 \ times 75}$

В качестве предварительного шага просто округлите меньшее число в меньшую сторону и большее в большую сторону до ближайшего числа, кратного десяти. В таком случае:

${\ textstyle 35-5 = 30 = X}$

${\ displaystyle 75 + 5 = 80 = Y}$

Алгоритм гласит:

${\displaystyle (X\times Y)+50(t_{1}-t_{2})+25}$

Где t ₁ - это единица десятков исходного большего числа (75), а t ₂ - единица десятков исходного меньшего числа (35).

${\displaystyle =30\times 80+50(7-3)+25=2625}$

Автор также описывает другой похожий алгоритм, если кто-то хочет вместо этого округлить исходное большее число в меньшую сторону, а исходное меньшее число в большую сторону.

Формула «заемщика» [ править ]

Если два числа равноудалены от ближайшего кратного 100, то для поиска продукта можно использовать простой алгоритм. ^[2]

В качестве простого примера:

${\displaystyle 33\times 67}$

Оба числа находятся на одинаковом расстоянии (33) от ближайшего кратного 100 (0 и 100 соответственно).

В качестве предварительного шага просто округлите меньшее число в меньшую сторону и большее в большую сторону до ближайшего числа, кратного десяти. В таком случае:

${\textstyle 33-3=30=X}$

${\displaystyle 67+3=70=Y}$

Алгоритм гласит:

${\displaystyle (X\times Y)+u_{1}\times u_{2}+u_{2}(T_{1}-T_{2})}$

Где u ₁ - это цифра единиц (67) исходного большего числа, а u ₂ - цифра единиц (33) исходного меньшего числа. T ₁ - это цифра десятков исходного большего числа, а T ₂ - цифра десятков исходного большего числа, умноженная на их соответствующую степень (в данном случае на 10 для разряда десятков).

И другие:

${\displaystyle (30\times 70)+7\times 3+3(60-30)=2100+21+90=2211}$

Умножение любых двухзначных чисел [ править ]

Чтобы легко перемножить любые двузначные числа вместе, простой алгоритм выглядит следующим образом (где a - это цифра десятков первого числа, b - цифра единиц первого числа, c - цифра десятков второго числа, а d - цифра. единица цифры второго числа):

${\displaystyle (10a+b)\cdot (10c+d)}$

${\displaystyle =100(a\cdot c)+10(b\cdot c)+10(a\cdot d)+b\cdot d}$

Например,

${\displaystyle 23\cdot 47=100(2\cdot 4)+10(3\cdot 4)+10(2\cdot 7)+3\cdot 7}$

 800 +120 +140 + 21----- 1081

Обратите внимание, что это то же самое, что и обычная сумма частичных произведений, но только для краткости. Чтобы свести к минимуму количество элементов, сохраняемых в памяти, может быть удобно сначала вычислить сумму «перекрестного» произведения умножения, а затем сложить два других элемента:

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10}$

${\displaystyle {}+b\cdot d}$ [из которых только цифры десятков будут мешать первому члену]

${\displaystyle {}+a\cdot c\cdot 100}$

т.е. в этом примере

(12 + 14) = 26, 26 × 10 = 260,

к которому легко добавить 21: 281, а затем 800: 1081

Легко запомнить это слово FOIL . F означает первый, O означает внешний, I означает внутренний, а L означает последний. Например:

${\displaystyle 75\cdot 23}$

а также

${\displaystyle ab\cdot cd}$

где 7 - это a , 5 - это b , 2 - c и 3 - d .

Рассмотреть возможность

${\displaystyle a\cdot c\cdot 100+(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10+b\cdot d}$

это выражение аналогично любому числу в базе 10 с разрядами сотен, десятков и единиц. FOIL также можно рассматривать как число, где F - это сотни, OI - десятки, а L - единицы.

${\displaystyle a\cdot c}$- произведение первой цифры каждого из двух чисел; Ф.

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)}$сложение внешних цифр и внутренних цифр; OI.

${\displaystyle b\cdot d}$- произведение последней цифры каждого из двух чисел; Л.

Умножение на 2 или другие маленькие числа [ править ]

Если одно умножаемое число достаточно мало, чтобы его можно было легко умножить на любую отдельную цифру, произведение можно легко вычислить цифра за цифрой справа налево. Это особенно легко умножить на 2, поскольку цифра переноса не может быть больше 1.

Например, чтобы вычислить 2 × 167: 2 × 7 = 14, поэтому последняя цифра - 4 , с переносом 1 и добавлением к 2 × 6 = 12, чтобы получить 13, поэтому следующая цифра - 3 с переносом 1 и добавляем к 2 × 1 = 2, чтобы получить 3 . Таким образом, получается произведение 334.

Умножение на 5 [ править ]

Чтобы умножить число на 5,

1. Сначала умножьте это число на 10, затем разделите на 2. Эти два шага взаимозаменяемы, то есть можно уменьшить число вдвое, а затем умножить его.

Следующий алгоритм - быстрый способ получить такой результат:

2. Добавьте ноль справа от нужного числа. (A.) 3. Затем, начиная с крайней левой цифры, разделите на 2 (B) и добавьте каждый результат в соответствующем порядке, чтобы получить новое число (дробные ответы следует округлить до ближайшего целого числа).

ПРИМЕР: Умножьте 176 на 5. A. Добавьте ноль к 176, чтобы получить 1760. B. Разделите на 2, начиная слева. 1. Разделите 1 на 2, чтобы получить 0,5 с округлением до нуля. 2. Разделите 7 на 2, чтобы получить 3,5 с округлением до 3 в меньшую сторону. 3. Разделите 6 на 2, чтобы получить 3. Ноль, разделенный на два, просто равен нулю.

В результате получается число 0330. (Это не окончательный ответ, это первое приближение, которое будет скорректировано на следующем шаге :)

 C. Добавьте 5 к числу, которое следует за любой отдельной цифрой. в этом новом числе, которое было нечетным до деления на два;

ПРИМЕР: 176 (В ПЕРВОМ, ВТОРОМ ТРЕТЬЕМ МЕСТАХ):

 1. ПЕРВОЕ место - 1, что нечетно. ДОБАВИТЬ 5 к числу после первое место в новом номере (0330) - 3; 3 + 5 = 8.  2. Число на втором месте 176, 7 тоже нечетное. В соответствующее число (0 8 3 0) также увеличивается на 5; 3 + 5 = 8. 3. Цифра на третьем месте 176, 6 четная, поэтому окончательное число, ноль, в ответе не меняется. Что окончательный ответ - 0880. Крайний левый ноль можно опустить, оставив 880. Итак, 176 умноженное на 5 равно 880.

ПРИМЕР: умножьте 288 на 5.

A. Разделите 288 на 2. Можно разделить каждую цифру по отдельности, чтобы получить 144 (проще разделить меньшее число).

Б. Умножьте на 10. Добавьте ноль, чтобы получить результат 1440.

Умножение на 9 [ править ]

Поскольку 9 = 10-1, чтобы умножить число на девять, умножьте его на 10, а затем вычтите исходное число из результата. Например, 9 × 27 = 270 - 27 = 243.

Этот метод можно настроить для умножения на восемь вместо девяти, удвоив вычитаемое число; 8 × 27 = 270 - (2 × 27) = 270 - 54 = 216.

Точно так же, добавляя вместо вычитания, те же методы можно использовать для умножения на 11 и 12 соответственно (хотя существуют более простые методы умножения на 11).

Используя руки: 1–10 умножить на 9 [ править ]

Чтобы использовать этот метод, нужно положить руки перед собой ладонями к себе. Назначьте левый большой палец равным 1, левый указательный - 2, и так далее до большого пальца правой руки - десять. Каждый "|" символизирует поднятый палец, а «-» представляет согнутый палец.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10| | | | | | | | | |левая рука правая рука

Согните палец, который представляет число, которое нужно умножить на девять, вниз.

Пример: 6 × 9 будет

| | | | | - | | | |

Правый мизинец опущен. Возьмите количество пальцев, все еще поднятых слева от согнутого пальца, и присоедините его к количеству пальцев справа.

Пример: пять пальцев слева от мизинца правой руки и четыре справа от мизинца правой руки. Итак, 6 × 9 = 54.

 5 4| | | | | - | | | |

Умножение на 10 (и степень десяти) [ править ]

Чтобы умножить целое число на 10, просто добавьте дополнительный 0 в конец числа. Чтобы умножить нецелое число на 10, переместите десятичную запятую на одну цифру вправо.

Как правило, для десятичного основания, чтобы умножить на 10 ⁿ (где n - целое число), переместите десятичную запятую на n цифр вправо. Если n отрицательно, переместите десятичный знак | п | цифры слева.

Умножение на 11 [ править ]

Для однозначных чисел просто скопируйте число в разряд десятков, например: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, вплоть до 9 × 11 = 99.

Произведение для любого большего ненулевого целого числа может быть найдено серией добавлений к каждой его цифре справа налево, по два за раз.

Сначала возьмите единичную цифру и скопируйте ее во временный результат. Затем, начиная с разряда единиц множителя, прибавьте каждую цифру к цифре слева от нее. Каждая сумма затем добавляется слева от результата перед всеми остальными. Если сумма равна 10 или больше, возьмите цифру десятков, которая всегда будет 1, и перенесите ее в следующее сложение. Наконец, скопируйте крайнюю левую (наивысшую) цифру множителя в начало результата, добавив переносимый 1, если необходимо, чтобы получить конечный результат.

В случае отрицательного числа 11, множитель или оба знака применяют знак к конечному продукту как при обычном умножении двух чисел.

Пошаговый пример 759 × 11:

1. Единичная цифра множителя 9 копируется во временный результат.
   • результат: 9
2. Складываем 5 + 9 = 14, так что 4 помещается слева от результата и переносим 1.
   • результат: 49
3. Точно так же сложите 7 + 5 = 12, затем добавьте перенесенную 1, чтобы получить 13. Добавьте 3 к результату и перенесите 1.
   • результат: 349
4. Добавьте перенесенную 1 к самой высокой цифре множителя, 7 + 1 = 8, и скопируйте результат для завершения.
   • Конечный продукт 759 × 11: 8349

Дополнительные примеры:

• −54 × −11 = 5 5 + 4 (9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9 + 1 (10) 9 + 9 + 1 (9) 9 + 9 (8) 9 = 10989
  • Обратите внимание на обработку 9 + 1 как самой высокой цифры.
• −3478 × 11 = 3 3 + 4 + 1 (8) 4 + 7 + 1 (2) 7 + 8 (5) 8 = −38258
• 62473 × 11 = 6 6 + 2 (8) 2 + 4 + 1 (7) 4 + 7 + 1 (2) 7 + 3 (0) 3 = 687203

Другой способ - просто умножить число на 10 и прибавить исходное число к результату.

Например:

17 × 11

 17 × 10 = 170

170 + 17 = 187

17 × 11 = 187

Последний простой способ:

Если у кого-то есть двузначное число, возьмите его, сложите два числа и поместите полученную сумму в середину, и вы сможете получить ответ.

Например: 24 x 11 = 264, потому что 2 + 4 = 6, а 6 находится между 2 и 4.

Второй пример: 87 x 11 = 957, потому что 8 + 7 = 15, поэтому 5 идет между 8 и 7, а 1 переносится на 8. Таким образом, это в основном 857 + 100 = 957.

Или, если 43 x 11 равно первому 4 + 3 = 7 (для разряда десятков), то 4 для сотен и 3 для десятков. И ответ 473

Умножение двух двузначных чисел от 11 до 19 [ править ]

Чтобы легко перемножить двухзначные числа между 11 и 19, простой алгоритм выглядит следующим образом (где a - это единица первого числа, а b - единица второго числа):

(10 + а) × (10 + б)100 + 10 × (а + б) + а × бкоторые можно представить в виде трех добавляемых частей:1хх ггНапример:17 × 161 = 10013 (7 + 6) = 10 × (а + б) 42 (7 × 6) = а × б272 (всего)

Используя руки: 6–10, умноженное на другое число 6–10 [ править ]

Этот метод позволяет умножить число от 6 до 10 на другое число от 6 до 10.

Назначьте 6 на мизинец, 7 на безымянный палец, 8 на средний палец, 9 на указательный палец и 10 на большой палец. Соедините два желаемых числа вместе. Точка соприкосновения и ниже считается «нижней» частью, а все, что находится выше двух соприкасающихся пальцев, является частью «верхней» части. Ответ формируется путем прибавления десятикратного общего количества «нижних» пальцев к произведению количества «верхних» пальцев левой и правой руки.

Например, 9 × 6 будет выглядеть так, когда левый указательный палец касается мизинца правой:

 = 10 ==: большой палец правой руки (вверху) == 9 ==: указательный палец правой руки (вверху) == 8 ==: средний палец правой руки (вверху) большой палец левой руки: = 10 == == 7 ==: безымянный палец правой руки (вверху)  левый указательный палец: --9 ---> <--- 6--: правый мизинец (НИЖНИЙ) левый средний палец: -8- (НИЖНИЙ) левый безымянный палец: --7-- (НИЖНИЙ)левый мизинец: --6-- (НИЖНИЙ)

В этом примере есть 5 «нижних» пальцев (левый указательный, средний, безымянный и мизинец, плюс правый мизинец), 1 левый «верхний» палец (большой палец левой руки) и 4 правых «верхних» пальца. (большой, указательный, средний и безымянный палец правой руки). Таким образом, вычисление происходит следующим образом: 9 × 6 = (10 × 5) + (1 × 4) = 54.

Рассмотрим другой пример, 8 × 7:

 = 10 ==: большой палец правой руки (вверху) большой палец левой руки: = 10 == == 9 ==: указательный палец правой руки (вверху) левый указательный палец: == 9 == == 8 ==: правый средний палец (вверху)средний палец левой руки: --8 ---> <--- 7--: безымянный палец правой руки (НИЖНИЙ) левый безымянный палец: --7-- --6--: мизинец правой руки (НИЖНИЙ)левый мизинец: --6-- (НИЖНИЙ)

Пять нижних пальцев составляют 5 десятков или 50. Два верхних левых пальца и три верхних правых пальца образуют произведение 6. Суммирование этих пальцев дает ответ 56.

Другой пример, на этот раз с использованием 6 × 8:

 --8 ---> <--- 6-- --7-- --6--

Четыре десятки (внизу) плюс два умноженных на четыре (вверху) дают 40 + 2 × 4 = 48.

Вот как это работает: каждый палец представляет собой число от 6 до 10. Когда соединяешь пальцы, представляющие x и y , на левой руке будет 10 - x «верхних» пальцев и x - 5 «нижних» пальцев; правая рука будет иметь 10 - Y «сверху» пальцев и у - 5 «нижних» пальцев.

Позволять

${\displaystyle \,t_{L}=10-x\,}$ (количество «верхних» пальцев левой руки)

${\displaystyle \,t_{R}=10-y\,}$ (количество «верхних» пальцев правой руки)

${\displaystyle \,b_{L}=x-5\,}$ (количество "нижних" пальцев левой руки)

${\displaystyle \,b_{R}=y-5\,}$ (количество "нижних" пальцев правой руки)

Затем, следуя приведенным выше инструкциям, вы получите

${\displaystyle \,10(b_{L}+b_{R})+t_{L}t_{R}}$

${\displaystyle \,=10[(x-5)+(y-5)]+(10-x)(10-y)}$

${\displaystyle \,=10(x+y-10)+(100-10x-10y+xy)}$

${\displaystyle \,=[10(x+y)-100]+[100-10(x+y)+xy]}$

${\displaystyle \,=[10(x+y)-10(x+y)]+[100-100]+xy}$

${\displaystyle \,=xy}$

который является желаемым продуктом.

Умножение двух чисел, близких и меньших 100 [ править ]

Этот метод позволяет легко умножать числа, близкие и меньшие 100. (90-99) ^[4] Переменными будут два числа, которые умножаются.

Произведение двух переменных в диапазоне от 90 до 99 даст 4-значное число. Первый шаг - найти разряд единиц и десятков.

Вычтите обе переменные из 100, что даст 2 однозначных числа. Произведение двух однозначных чисел будет последними двумя цифрами конечного продукта.

Затем вычтите одну из двух переменных из 100. Затем вычтите разницу из другой переменной. Этой разницей будут первые две цифры конечного продукта, а полученное 4-значное число будет конечным продуктом.

Пример:

 95 х 97 ----Последние две цифры: 100-95 = 5 (вычтите первое число из 100) 100-97 = 3 (вычесть второе число из 100) 5 * 3 = 15 (умножьте две разности) Конечный продукт- yx15Первые две цифры: 100-95 = 5 (вычтите первое число уравнения из 100) 97-5 = 92 (вычтите этот ответ из второго числа уравнения) Теперь разница будет в первых двух цифрах.  Конечный продукт - 9215Заменить первые две цифры 5 + 3 = 8 (сложите две одиночные цифры, полученные при вычислении "последних двух цифр" на предыдущем шаге) 100-8 = 92 (вычтите этот ответ из 100) Теперь разница будет в первых двух цифрах.  Конечный продукт - 9215

Использование квадратных чисел [ править ]

Произведения малых чисел можно вычислить, используя квадраты целых чисел; Например, чтобы вычислить 13 × 17, можно отметить, что 15 является средним из двух факторов, и представить его как (15 - 2) × (15 + 2), то есть 15 ²  - 2 ² . Зная, что 15 ² равно 225, а 2 ² равно 4, простое вычитание показывает, что 225-4 = 221, что является искомым произведением.

Этот метод требует знания наизусть определенного количества квадратов:

Возведение чисел в квадрат [ править ]

Может быть полезно знать, что разница между двумя последовательными квадратными числами - это сумма их соответствующих квадратных корней. Следовательно, если кто-то знает, что 12 × 12 = 144, и желает знать 13 × 13, вычислите 144 + 12 + 13 = 169.

Это потому, что ( x  + 1) ²  -  x ² = x ²  + 2 x  + 1 -  x ² = x  + ( x  + 1)

х ² = ( х  - 1) ² + (2 х  - 1)

Возведение любого числа в квадрат [ править ]

Возьмите заданное число и добавьте и вычтите к нему определенное значение, которое упростит умножение. Например:

492 ²

492 близко к 500, что легко умножить на. Сложите и вычтите 8 (разница между 500 и 492), чтобы получить

492 -> 484, 500

Умножьте эти числа вместе, чтобы получить 242 000 (это можно эффективно сделать, разделив 484 на 2 = 242 и умножив на 1000). Наконец, добавьте к результату разность (8) в квадрате (8 ² = 64):

492 ² = 242 064

Доказательство следует:

${\displaystyle n^{2}=n^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-an+an-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n-a)(n+a)+a^{2}}$

Возведение в квадрат любого 2-значного целого числа [ править ]

Этот метод требует запоминания квадратов однозначных чисел от 1 до 9.

Квадрат mn , где mn - двузначное целое число, можно вычислить как

10 × м ( mn + n ) + n ²

Значение квадрата mn можно найти, прибавив n к mn , умножив на m , прибавив 0 в конце и, наконец, добавив квадрат n .

Например, 23 ² :

23 ²

= 10 × 2 (23 + 3) + 3 ²

= 10 × 2 (26) + 9

= 520 + 9

= 529

Итак, 23 ² = 529.

Возведение числа, заканчивающегося на 5, в квадрат [ править ]

1. Возьмите цифру (а), предшествующую пятерке: abc5 , где a, b и c - цифры
2. Умножьте это число на себя плюс один: abc ( abc + 1)
3. Возьмите результат выше и приложите к концу 25
   • Пример: 85 × 85
     1. 8
     2. 8 × 9 = 72
     3. Итак, 85 ² = 7,225
   • Пример: 125 ²
     1. 12
     2. 12 × 13 = 156
     3. Итак, 125 ² = 15,625
   • Математическое объяснение

Возведение чисел в квадрат очень близко к 50 [ править ]

Предположим, нужно возвести в квадрат число n около 50.

Число может быть выражено как n  = 50 -  a, поэтому его квадрат равен (50− a ) ² = 50 ² - 100 a + a ² . Известно , что 50 ² является 2500. Так один вычитает 100 от 2500, а затем добавить к ² .

Например, предположим, что кто-то хочет возвести в квадрат 48, что составляет 50-2. Вычитаем 200 из 2500 и прибавляем 4, и получаем n ² = 2304. Для чисел больше 50 ( n  = 50 +  a ) прибавляем 100 × a вместо вычитая это.

Возведение в квадрат целого числа от 26 до 74 [ править ]

Этот метод требует запоминания квадратов от 1 до 24.

Квадрат n (проще всего вычислить, когда n находится в диапазоне от 26 до 74 включительно):

(50 - n ) ² + 100 ( n - 25)

Другими словами, квадрат числа - это квадрат его разницы от пятидесяти, добавленной к сотне разности числа и двадцати пяти. Например, в квадрат 62:

(−12) ² + [(62-25) × 100]

= 144 + 3700

= 3 844

Возведение в квадрат целого числа около 100 (например, от 76 до 124) [ править ]

Этот метод требует запоминания квадратов от 1 до a, где a - абсолютная разница между n и 100. Например, учащиеся, запомнившие свои квадраты от 1 до 24, могут применить этот метод к любому целому числу от 76 до 124.

Квадрат n (т.е. 100 ± a ) равен

100 (100 ± 2 а ) + а ²

Другими словами, квадрат числа - это квадрат его разницы от 100, добавленной к произведению ста и разницы в сто и произведения двух и разницы в сто и числа. Например, в квадрат 93:

100 (100 - 2 (7)) + 7 ²

= 100 × 86 + 49

= 8 600 + 49

= 8 649

Другой способ взглянуть на это было бы так:

93 ² =? (равно −7 из 100)

93-7 = 86 (это дает первые две цифры)

(−7) ² = 49 (это вторые две цифры)

93 ² = 8649

Другой пример:

82 2 =? (составляет -18 из 100) 82 - 18 = 64 (вычесть первые цифры.) (−18) 2 = 324 (вторая пара цифр. Одна должна нести цифру 3.) 82 2 = 6724

Возведение в квадрат любого целого числа около 10 ⁿ (например, от 976 до 1024, от 9976 до 10024 и т. Д.) [ Править ]

Этот метод является прямым расширением приведенного выше объяснения возведения в квадрат целого числа около 100.

1012 2 =? (1012 это +12 из 1000) (+12) 2 = 144 ( n конечных цифр) 1012 + 12 = 1024 (ведущие цифры) 1012 2 = 1024144

9997 2 =? (9997 это -3 из 10000) (-3) 2 = 0009 ( n конечных цифр) 9997 - 3 = 9994 (ведущие цифры) 9997 2 = 99940009

Возведение в квадрат любого целого числа около m × 10 ⁿ (например, от 276 до 324, от 4976 до 5024, от 79976 до 80024) [ править ]

Этот метод является прямым расширением объяснения, данного выше для целых чисел около 10 ⁿ .

407 2 =? (407 это +7 из 400) (+7) 2 = 49 ( n конечных цифр) 407 + 7 = 414 414 × 4 = 1656 (начальные цифры; обратите внимание, что это умножение на m не требовалось для целых чисел от 76 до 124, потому что их m = 1) 407 2 = 165649

79991 2 =? (79991 это -9 из 80000) (-9) 2 = 0081 ( n конечных цифр) 79991 - 9 79982 × 8 = 639856 (ведущие цифры) 79991 2 = 6398560081

Поиск корней [ править ]

Приближение квадратного корня [ править ]

Самый простой способ найти квадратный корень из числа - использовать следующее уравнение:

${\displaystyle {\text{root }}\simeq {\text{ known square root}}-{\frac {{\text{known square}}-{\text{unknown square}}}{2\times {\text{known square root}}}}\,}$

Чем ближе известный квадрат к неизвестному, тем точнее приближение. Например, чтобы оценить квадратный корень из 15, можно было бы начать с знания, что ближайший полный квадрат равен 16 (4 ² ).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{root}}&\simeq 4-{\frac {16-15}{2\times 4}}\\&\simeq 4-0.125\\&\simeq 3.875\\\end{aligned}}\,\!}$

Таким образом, предполагаемый квадратный корень из 15 равен 3,875. Фактический квадратный корень из 15 равен 3,872983 ... Следует отметить, что независимо от того, каким было исходное предположение, расчетный ответ всегда будет больше фактического ответа из-за неравенства средних арифметических и геометрических . Таким образом, следует попробовать округлить предполагаемый ответ в меньшую сторону.

Обратите внимание, что если n ² - ближайший полный квадрат к желаемому квадрату x, а d = x - n ² - их разность, удобнее выразить это приближение в виде смешанной дроби как . Таким образом, в предыдущем примере квадратный корень 15 равен. В другом примере квадратный корень 41 равен, а фактическое значение - 6,4031 ...${\displaystyle n{\tfrac {d}{2n}}}$${\displaystyle 4{\tfrac {-1}{8}}.}$${\displaystyle 6{\tfrac {5}{12}}=6.416}$

Вывод [ править ]

По определению, если r - квадратный корень из x, то

${\displaystyle \mathrm {r} ^{2}=x\,\!}$

Затем переопределяют корень

${\displaystyle \mathrm {r} =a-b\,\!}$

где a - известный корень (4 из приведенного выше примера), а b - разница между известным корнем и искомым ответом.

${\displaystyle (a-b)^{2}=x\,\!}$

Увеличение урожайности

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=x\,\!}$

Если «a» близко к цели, «b» будет достаточно маленьким числом, чтобы элемент уравнения был незначительным. Таким образом, можно исключить и переписать уравнение к${\displaystyle {}+b^{2}\,}$${\displaystyle {}+b^{2}\,}$

${\displaystyle b\simeq {\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

и поэтому

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq a-{\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

что можно свести к

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq {\frac {a^{2}+x}{2a}}\,\!}$

Извлечение корней совершенных сил [ править ]

Часто практикуется извлечение корней совершенной силы . Сложность задачи зависит не от количества цифр абсолютной степени, а от точности, то есть количества цифр корня. Кроме того, это также зависит от порядка корня; найти идеальные корни, где порядок корня взаимно прост с 10, несколько проще, поскольку цифры шифруются согласованным образом, как в следующем разделе.

Извлечение кубических корней [ править ]

Простая задача для новичка - извлечь кубические корни из кубиков двухзначных чисел. Например, учитывая 74088, определите, какое двузначное число при умножении на само себя один раз и последующем умножении на это число снова дает 74088. Тот, кто знает метод, быстро узнает, что ответ 42, так как 42 ³ = 74088.

Перед разучиванием процедуры требуется, чтобы исполнитель запомнил кубики цифр 1-10:

Обратите внимание, что в самой правой цифре есть образец: сложение и вычитание с 1 или 3. Начиная с нуля:

• 0 ³ = 0
• 1 ³ = 1 вверх 1
• 2 ³ = 8 вниз 3
• 3 ³ = 2 7 вниз 1
• 4 ³ = 6 4 вниз 3
• 5 ³ = 12 5 вверх 1
• 6 ³ = 21 6 вверх 1
• 7 ³ = 34 3 вниз 3
• 8 ³ = 51 2 вниз 1
• 9 ³ = 72 9 вниз 3
• 10 ³ = 100 0 вверх 1

Есть два шага для извлечения кубического корня из куба двузначного числа. Например, извлечение кубического корня из 29791. Определите единицу (единицы) двузначного числа. Поскольку куб оканчивается на 1, как показано выше, он должен быть равен 1.

• Если идеальный куб оканчивается на 0, его кубический корень должен заканчиваться на 0.
• Если идеальный куб оканчивается на 1, его кубический корень должен заканчиваться на 1.
• Если идеальный куб оканчивается на 2, его кубический корень должен заканчиваться на 8.
• Если идеальный куб оканчивается на 3, кубический корень его должен заканчиваться на 7.
• Если идеальный куб оканчивается на 4, кубический корень его должен заканчиваться на 4.
• Если идеальный куб оканчивается на 5, кубический корень из него должен заканчиваться на 5.
• Если идеальный куб оканчивается на 6, кубический корень из него должен заканчиваться на 6.
• Если идеальный куб оканчивается на 7, кубический корень из него должен заканчиваться на 3.
• Если идеальный куб оканчивается на 8, его кубический корень должен заканчиваться на 2.
• Если идеальный куб оканчивается на 9, кубический корень его должен заканчиваться на 9.

Обратите внимание, что каждая цифра соответствует самой себе, за исключением 2, 3, 7 и 8, которые просто вычитаются из десяти, чтобы получить соответствующую цифру.

Второй шаг - определить первую цифру двузначного корня куба, посмотрев на величину данного куба. Для этого удалите последние три цифры данного куба (29791 → 29) и найдите наибольший куб, которого он больше (здесь необходимо знать кубики с числами 1-10). Здесь 29 больше 1 куба, больше 2 кубов, больше 3 кубов, но не больше 4 кубов. Наибольший куб больше 3, поэтому первая цифра двузначного куба должна быть 3.

Следовательно, кубический корень из 29791 равен 31.

Другой пример:

• Найдите кубический корень из 456533.
• Кубический корень заканчивается на 7.
• После удаления последних трех цифр остается 456.
• 456 больше, чем все кубики до 7 кубов.
• Первая цифра кубического корня - 7.
• Корень кубический из 456533 равен 77.

Этот процесс можно расширить, чтобы найти корни куба, состоящие из 3 цифр, с помощью арифметики по модулю 11. ^[5]

Эти типы уловок можно использовать в любом корне, где порядок корня взаимно прост с 10; таким образом, он не может работать с квадратным корнем, так как степень 2 делится на 10. 3 не делит 10, поэтому кубические корни работают.

Приближение десятичных логарифмов (логарифм по основанию 10) [ править ]

Чтобы аппроксимировать десятичный логарифм (по крайней мере с точностью до одной десятичной точки), требуется несколько правил логарифмирования и запоминание нескольких логарифмов. Надо знать:

• журнал (a × b) = журнал (a) + журнал (b)
• журнал (a / b) = журнал (a) - журнал (b)
• журнал (0) не существует
• журнал (1) = 0
• журнал (2) ~ .30
• журнал (3) ~ 0,48
• журнал (7) ~ 0,85

Из этой информации можно найти логарифм любого числа от 1 до 9.

• журнал (1) = 0
• журнал (2) ~ .30
• журнал (3) ~ 0,48
• журнал (4) = журнал (2 × 2) = журнал (2) + журнал (2) ~ 0,60
• журнал (5) = журнал (10/2) = журнал (10) - журнал (2) ~ 0,70
• журнал (6) = журнал (2 × 3) = журнал (2) + журнал (3) ~ 0,78
• журнал (7) ~ 0,85
• журнал (8) = журнал (2 × 2 × 2) = журнал (2) + журнал (2) + журнал (2) ~ 0,90
• журнал (9) = журнал (3 × 3) = журнал (3) + журнал (3) ~ 0,96
• журнал (10) = 1 + журнал (1) = 1

Первый шаг в приближении десятичного логарифма - ввести число, указанное в экспоненциальной нотации. Например, число 45 в экспоненциальном представлении равно 4,5 × 10 ¹ , но его назовем a × 10 ^b.. Затем найдите логарифм числа a, которое находится между 1 и 10. Начните с поиска логарифма 4, который равен 0,60, а затем логарифма 5, который равен 0,70, потому что 4,5 находится между этими двумя. Затем, и навыки в этом отношении приходят с практикой, поставьте 5 по логарифмической шкале между 0,6 и 0,7, где-то около 0,653 (ПРИМЕЧАНИЕ: фактическая ценность дополнительных мест всегда будет больше, чем если бы они были размещены на обычном т. е. можно было бы ожидать, что она будет равна 0,650, потому что она находится на полпути, но вместо этого она будет немного больше, в данном случае 0,653) После того, как вы получили логарифм a, просто добавьте к нему b, чтобы получить приближение десятичного логарифма. В этом случае a + b = 0,653 + 1 = 1,653. Фактическое значение log (45) ~ 1,65321.

Тот же процесс применяется для чисел от 0 до 1. Например, 0,045 будет записано как 4,5 × 10 ^-2 . Единственная разница в том, что b теперь отрицательное, поэтому при добавлении единицы действительно происходит вычитание. Это даст результат 0,653 - 2 или -1,347.

Ментальная арифметика как психологический навык [ править ]

Физические нагрузки должного уровня могут улучшить выполнение умственной задачи , например, выполнение мысленных вычислений, выполняемых впоследствии. ^[6] Было показано, что высокий уровень физической активности отрицательно сказывается на выполнении умственных задач. ^[7] Это означает, что слишком большая физическая работа может снизить точность и производительность умственных математических вычислений. Было показано, что физиологические измерения, в частности ЭЭГ , полезны для определения умственной нагрузки . ^[8]Использование ЭЭГ в качестве меры умственной нагрузки после различных уровней физической активности может помочь определить уровень физических нагрузок, который будет наиболее благоприятным для умственной работоспособности. Предыдущая работа, выполненная Ранджаной Мехта в Технологическом университете Мичигана , включает недавнее исследование, в котором участники одновременно выполняли умственные и физические задачи. ^{[9] В} этом исследовании изучалось влияние умственных нагрузок на физическую работоспособность при различных уровнях физической нагрузки и в конечном итоге было обнаружено снижение физической работоспособности, когда умственные задачи выполнялись одновременно, с более значительным эффектом при более высоком уровне физической нагрузки. Процедура Брауна-Петерсонашироко известная задача с использованием ментальной арифметики. Эта процедура, в основном используемая в когнитивных экспериментах, предполагает, что мысленное вычитание полезно для проверки влияния поддерживающей репетиции на продолжительность кратковременной памяти .

Чемпионат мира по ментальным вычислениям [ править ]

Первый чемпионат мира по ментальным вычислениям прошел в 1997 году. Это событие повторяется каждый год. Он состоит из ряда различных задач, таких как сложение десяти десятизначных чисел, умножение двух восьмизначных чисел, вычисление квадратных корней, вычисление дней недели для заданных дат, вычисление кубических корней и некоторые неожиданные разные задачи.

Чемпионат мира по ментальным вычислениям [ править ]

Первый чемпионат мира по ментальным вычислениям ( Кубок мира по ментальным вычислениям ) ^[10] состоялся в 2004 году. Они повторяются каждые два года. Он состоит из шести различных задач: сложение десяти десятизначных чисел, умножение двух восьмизначных чисел, вычисление квадратных корней и вычисление дней недели для заданных дат, вычисление кубических корней плюс несколько неожиданных разных задач.

Memoriad - Всемирная олимпиада памяти, умственного расчета и скорочтения [ править ]

Memoriad ^[11] - первая платформа, объединяющая соревнования «мысленный расчет», «память» и «чтение фотографий». Игры и соревнования проводятся в год Олимпийских игр каждые четыре года. Первая Мемориада прошла в Стамбуле , Турция , в 2008 году. Вторая Мемориада прошла в Анталии , Турция, 24–25 ноября 2012 года. В ней приняли участие 89 участников из 20 стран. Всего награды и денежные призы были вручены по 10 номинациям; из которых 5 категорий касались ментальных вычислений (ментальное сложение, ментальное умножение, ментальные квадратные корни (нецелые числа), вычисление дат в ментальном календаре и Flash Anzan).

См. Также [ править ]

• Правило судного дня для расчета дня недели
• Психические счеты
• Психологический калькулятор
• Соробан

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Кубок мира по ментальному счету
• Memoriad - Всемирная интеллектуальная олимпиада
• Цурио-Мазойер, Натали; Песенти, Мауро; Заго, Лауре; Кривелло, Фабрис; Меллет, Эммануэль; Самсон, Дана; Дуру, Бруно; Серон, Ксавье; Мазойер, Бернар (2001). «Психический расчет вундеркинда поддерживается правой префронтальной и медиальной височными областями». Природа Неврологии . 4 (1): 103–7. DOI : 10.1038 / 82831 . PMID  11135652 .
• Ривера, С.М. Reiss, AL; Эккерт, Массачусетс; Менон, V (2005). «Изменения в развитии ментальной арифметики: доказательства увеличения функциональной специализации левой нижней теменной коры» . Кора головного мозга . 15 (11): 1779–90. DOI : 10.1093 / cercor / bhi055 . PMID  15716474 .