Треугольная матрица

Эта статья имеет нечеткий стиль цитирования . Используемые ссылки можно сделать более ясными с помощью другого или последовательного стиля цитирования и сносок . ( Октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической дисциплине линейной алгебры , треугольная матрица представляет собой особый вид квадратной матрицы . Квадратная матрица называется нижней треугольной , если все элементы выше на главной диагонали , равны нулю. Точно так же, квадратная матрица называется верхней треугольной , если все элементы ниже на главной диагонали равны нулю.

Поскольку матричные уравнения с треугольными матрицами легче решать, они очень важны для численного анализа . С помощью алгоритма разложения LU обратимая матрица может быть записана как произведение нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U тогда и только тогда, когда все ее ведущие главные миноры отличны от нуля.

Описание [ править ]

Матрица вида

${\ displaystyle L = {\ begin {bmatrix} \ ell _ {1,1} &&&& 0 \\\ ell _ {2,1} & \ ell _ {2,2} &&& \\\ ell _ {3,1} & \ ell _ {3,2} & \ ddots && \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \\\ ell _ {n, 1} & \ ell _ {n, 2} & \ ldots & \ ell _ {n, n-1} & \ ell _ {n, n} \ end {bmatrix}}}$

называется нижнетреугольной матрицей или левотреугольной матрицей , и аналогично матрицей вида

${\ displaystyle U = {\ begin {bmatrix} u_ {1,1} & u_ {1,2} & u_ {1,3} & \ ldots & u_ {1, n} \\ & u_ {2,2} & u_ {2, 3} & \ ldots & u_ {2, n} \\ && \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ &&& \ ddots & u_ {n-1, n} \\ 0 &&&& u_ {n, n} \ end {bmatrix}}}$

называется верхнетреугольной матрицей или право-треугольной матрицей . Более низкая или слева треугольная матрица обычно обозначаются с переменной L , и верхняя или правая треугольная матрица обычно обозначаются с переменной U или R .

Матрица, имеющая одновременно верхний и нижний треугольники, диагональна . Матрицы, похожие на треугольные, называются треугольными .

Неквадратная (а иногда и любая) матрица с нулями над (под) диагональю называется нижней (верхней) трапецеидальной матрицей. Ненулевые записи образуют форму трапеции .

Примеры [ править ]

Эта матрица

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 0 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}}$

верхнетреугольная, и эта матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}}$

нижнетреугольная.

Прямая и обратная подстановка [ править ]

Матричное уравнение в форме или очень легко решить с помощью итеративного процесса, называемого прямой заменой для нижнетреугольных матриц и аналогичным образом обратной заменой для верхнетреугольных матриц. Процесс так называемый , потому что для нижних треугольных матриц, одна сначала вычисляет , затем заменители , что вперед в следующее уравнение для решения для и повторяет через к . В верхней треугольной матрице каждый работает в обратном направлении, сначала вычисляя , затем подставляя это обратно в предыдущее уравнение для решения и повторяя его до конца .${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n-1}}$${\displaystyle x_{1}}$

Обратите внимание, что это не требует инвертирования матрицы.

Прямая замена [ править ]

Матричное уравнение L x = b можно записать в виде системы линейных уравнений

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

Обратите внимание, что первое уравнение ( ) включает только , и, следовательно, можно решить напрямую. Второе уравнение включает только и , поэтому может быть решено после замены уже решенного значения на . Продолжая таким образом, -ое уравнение включает только , и можно решить, используя ранее решенные значения для .${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$

В результате получаются следующие формулы:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

Матричное уравнение с верхнетреугольной матрицей U может быть решено аналогичным образом, только в обратном направлении.

Приложения [ править ]

Форвардное замещение используется в финансовом бутстрэппинге для построения кривой доходности .

Свойства [ править ]

Транспонирования из верхней треугольной матрицы является нижней треугольной матрицей , и наоборот.

Матрица, которая одновременно является симметричной и треугольной, является диагональной. Аналогичным образом, матрица, которая является как нормальной (что означает A ^* A = AA ^* , где A ^* - сопряженное транспонирование ), так и треугольной, также является диагональной. Это можно увидеть, посмотрев на диагональные входы A ^* A и AA ^* .

Детерминант и перманентный треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, так как могут быть проверены прямым вычислением.

На самом деле верно больше: собственные значения треугольной матрицы - это в точности ее диагональные элементы. Кроме того, каждый собственный происходит ровно к раз по диагонали, где к является его алгебраической кратностью , то есть, его кратность как корень из характеристического полинома из А . Другими словами, характеристический многочлен треугольной матрицы A размера n × n в точности равен${\displaystyle p_{A}(x)=\operatorname {det} (xI-A)}$

${\displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$,

то есть единственный полином степени n , корни которого являются диагональными элементами матрицы A (с кратностями). Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что он также является треугольным, и, следовательно, его определитель является произведением его диагональных элементов . ^[1]${\displaystyle xI-A}$${\displaystyle \operatorname {det} (xI-A)}$${\displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$

Специальные формы [ править ]

Унитреугольная матрица [ править ]

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 1, матрица называется (верхней или нижней) унитреугольной .

Другие названия, используемые для этих матриц, - единичный (верхний или нижний) треугольный или очень редко нормированный (верхний или нижний) треугольник . Однако единичная треугольная матрица - это не то же самое, что единичная матрица , а нормированная треугольная матрица не имеет ничего общего с понятием нормы матрицы .

Все унитреугольные матрицы унипотентны .

Строго треугольная матрица [ править ]

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 0, матрица называется строго (верхней или нижней) треугольной .

Все строго треугольные матрицы нильпотентны .

Атомная треугольная матрица [ править ]

Атомарный (верхняя или нижняя) треугольная матрица представляет собой особую форму унитреугольной матрицы, где все недиагональные элементы равны нулю, для записи в одном столбце , за исключением. Такая матрица также называется матрица Фробениуса , А матрица Гаусса , или матрица преобразования Гаусса .

Треугольность [ править ]

Матрица, которая похожа на треугольную матрицу, называется треугольной . Абстрактно это эквивалентно стабилизации флага : верхнетреугольные матрицы - это в точности те, которые сохраняют стандартный флаг , который задается стандартным упорядоченным базисом и результирующим флагом. Все флаги сопряжены (поскольку общая линейная группа действует транзитивно на базисах), поэтому любая матрица, стабилизирующая флаг, аналогична матрице, стабилизирующей стандартный флаг.${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Любая комплексная квадратная матрица треугольная. ^[1] Фактически, матрица A над полем, содержащая все собственные значения A (например, любая матрица над алгебраически замкнутым полем ), подобна треугольной матрице. Это можно доказать с помощью индукции по тому факту, что A имеет собственный вектор, взяв фактор-пространство по собственному вектору и проведя индукцию, чтобы показать, что A стабилизирует флаг и, таким образом, является треугольным относительно базиса для этого флага.

Более точное утверждение дается теоремой Жордана о нормальной форме , которая утверждает, что в этой ситуации A подобна верхнетреугольной матрице очень конкретной формы. Однако более простого результата триангуляризации часто бывает достаточно, и в любом случае он используется при доказательстве теоремы Жордана о нормальной форме. ^{[1] [2]}

В случае комплексных матриц можно сказать больше о триангуляризации, а именно, что любая квадратная матрица A имеет разложение Шура . Это означает, что A унитарно эквивалентна (т. Е. Подобна, используя унитарную матрицу в качестве замены базиса) верхней треугольной матрице; это следует путем взятия эрмитовой основы флага.

Одновременная треугольная возможность [ править ]

Набор матриц называется одновременно треугольным, если существует базис, при котором все они являются верхнетреугольными; эквивалентно, если они являются верхне-триангулируемыми с помощью одной матрицы подобия P. Такой набор матриц легче понять, рассматривая алгебру матриц, которую он порождает, а именно все многочлены в обозначенной одновременной треугольной изменяемости означает, что эта алгебра сопряжена в подалгебру Ли верхнетреугольных матриц, и эквивалентно тому, что эта алгебра является подалгеброй Ли борелевской подалгебры .${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$${\displaystyle A_{i},}$${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$

Основной результат состоит в том, что (над алгебраически замкнутым полем) коммутирующие матрицы или, в более общем смысле , одновременно являются треугольными. Это можно доказать, сначала показав, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, а затем проведя индукцию по размерности, как и раньше. Это было доказано Фробениусом, начиная с 1878 г. для коммутирующей пары, как обсуждалось при коммутирующих матрицах . Что касается единственной матрицы, по комплексным числам они могут быть треугольными с помощью унитарных матриц.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

Тот факт, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, можно интерпретировать как результат Nullstellensatz Гильберта : коммутирующие матрицы образуют коммутативную алгебру, над которой можно интерпретировать как многообразие в k -мерном аффинном пространстве, и существование (общего) собственного значения ( и, следовательно, общий собственный вектор) соответствует этому разнообразию, имеющему точку (непустую), которая является содержанием (слабого) Nullstellensatz. В алгебраических терминах эти операторы соответствуют представлению алгебры полиномов от k переменных.${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$

Это обобщается теоремой Ли , которая показывает, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно является верхним триангулируемым, причем случай коммутирующих матриц является случаем абелевой алгебры Ли , причем абелева является разрешимой тем более.

В более общем смысле и точно, множество матриц одновременно triangularisable тогда и только тогда , когда матрица является нильпотентное для всех полиномов р в K Non -commuting переменные, где это коммутатор ; для коммутации коммутатор обращается в нуль, значит, это верно. Это было доказано в ( Drazin, Dungey & Gruenberg 1951 ); краткое доказательство приведено в ( Прасолов 1994 , с. 178–179 ). Одно из направлений ясны: если матрицы одновременно triangularisable, то это строго верхняя triangularizable (отсюда нильпотентная), которая сохраняется умножением на любом${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$${\displaystyle A_{k}}$ или их комбинация - у него по-прежнему будут нули по диагонали в основе треугольника.

Алгебры треугольных матриц [ править ]

Верхнюю треугольность сохраняют многие операции:

• Сумма двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной.
• Произведение двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольным.
• Матрица, обратная верхнетреугольной матрице, если существует, является верхнетреугольной.
• Произведение верхнетреугольной матрицы и скаляра является верхнетреугольным.

Вместе эти факты означают , что верхние треугольные матрицы образуют алгебру в ассоциативной алгебре квадратных матриц для заданного размера. Кроме того, это также показывает, что верхнетреугольные матрицы можно рассматривать как подалгебру Ли в алгебре квадратных матриц фиксированного размера, где скобка Ли [ a , b ] задается коммутатором ab - ba . Алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц является разрешимой алгеброй Ли . Ее часто называют борелевской подалгеброй алгебры Ли всех квадратных матриц.

Все эти результаты остаются в силе, если верхний треугольник полностью заменен на нижний ; в частности, нижнетреугольные матрицы также образуют алгебру Ли. Однако операции смешивания верхних и нижних треугольных матриц, как правило, не дают треугольных матриц. Например, сумма верхней и нижней треугольных матриц может быть любой матрицей; произведение нижнего треугольника на верхнюю треугольную матрицу также не обязательно треугольное.

Набор унитреугольных матриц образует группу Ли .

Множество строго верхний (или нижний) треугольные матрицы образуют нильпотентную алгебра Ли , обозначаемое Эта алгебра является производной алгеброй Ли из , алгебры Ли все верхних треугольных матриц; в символах, Кроме того, это алгебра Ли группы Ли унитреугольных матриц.${\displaystyle {\mathfrak {n}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Фактически, по теореме Энгеля любая конечномерная нильпотентная алгебра Ли сопряжена с подалгеброй строго верхнетреугольных матриц, то есть конечномерная нильпотентная алгебра Ли одновременно строго верхнетреугольной алгебры.

Алгебры верхнетреугольных матриц имеют естественное обобщение в функциональном анализе, которое дает алгебры гнезд на гильбертовых пространствах .

Борелевские подгруппы и борелевские подалгебры [ править ]

Множество обратимых треугольных матриц данного вида (верхних или нижних) образует группу , в действительности группу Ли , которая является подгруппой общей линейной группы всех обратимых матриц. Треугольная матрица обратима в точности тогда, когда ее диагональные элементы обратимы (ненулевые).

В случае вещественных чисел эта группа отключена и имеет компоненты соответственно, поскольку каждая диагональная запись является положительной или отрицательной. Компонент единицы - это обратимые треугольные матрицы с положительными элементами на диагонали, а группа всех обратимых треугольных матриц является полупрямым произведением этой группы и группы диагональных матриц с на диагонали, соответствующих компонентам.${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \pm 1}$

Алгебра Ли группы Ли обратимых верхних треугольных матриц является множество всех верхних треугольных матриц, не обязательно обратимых, и это разрешимая алгебра Ли . Это, соответственно, стандартная борелевская подгруппа B группы Ли GL _n и стандартная борелевская подалгебра алгебры Ли gl _n .${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Верхнетреугольные матрицы - это как раз те, которые стабилизируют стандартный флаг . Обратимые среди них образуют подгруппу общей линейной группы, сопряженные подгруппы которой определены как стабилизатор некоторого (другого) полного флага. Эти подгруппы являются борелевскими . Группа обратимых нижнетреугольных матриц является такой подгруппой, так как она является стабилизатором стандартного флага, связанного со стандартным базисом в обратном порядке.

Стабилизатор частичного флага, полученный забыванием некоторых частей стандартного флага, можно описать как набор блочных верхнетреугольных матриц (но не все его элементы являются треугольными матрицами). Сопряженные с такой группой подгруппы определены как стабилизатор некоторого частичного флага. Эти подгруппы называются параболическими подгруппами .

Примеры [ править ]

Группа 2 на 2 верхних унитреугольных матриц изоморфна к аддитивной группе поля скаляров; в случае комплексных чисел это соответствует группе параболических преобразований Мёбиуса ; верхние унитреугольные матрицы 3 на 3 образуют группу Гейзенберга .

См. Также [ править ]

• Гауссово исключение
• QR-разложение
• Разложение Холецкого
• Матрица Гессенберга
• Трехдиагональная матрица
• Инвариантное подпространство

Ссылки [ править ]