Трапеция

Трапеция (AmE) Трапеция (BrE)
Трапеция или трапеция
Тип	четырехугольник
Ребра и вершины	4
Площадь	${\ displaystyle {\ tfrac {a + b} {2}} h}$
Характеристики	выпуклый

В евклидовой геометрии , A выпуклая четырехугольная с , по меньшей мере , одну пару параллельных сторон, называется как трапеции ( / т г ə р я г я ə м / ) на английском языке за пределами Северной Америки, но как трапеции ^{[1] [2 ]} ( / т г æ р ə г ɔɪ д / ) в американском и канадском английском . Параллельные стороны называются основаниямитрапеции и две другие стороны называются ножками или боковыми сторонами (если они не параллельны; в противном случае есть две пары оснований). Неравносторонним трапеции представляет собой трапецию без каких - либо сторон равной меры, ^[3] , в отличие от особых случаев ниже.

Этимология [ править ]

Термин трапеция используется в английском языке с 1570 года, от позднего латинского trapezium , от греческого τραπέζιον ( trapézion ), буквально «маленький столик», уменьшительное от τράπεζα ( trápeza ), «стол», само от τετράς ( tetrás ) , «четверка» + πέζα ( песа ), «ступня; конец, граница, край». ^[4]

Первое записанное использование греческого слова, переведенного как трапеция (τραπεζοειδή, trapezoeidé , «подобный столу»), было Маринусом Проклом ^{[ сомнительно - обсудить ]} (412–485 гг. Н.э.) в его Комментарии к первой книге Элементов Евклида . ^[5]

В этой статье термин трапеция используется в том смысле, который используется в Соединенных Штатах и ​​Канаде. Во многих языках также используется слово, производное от греческого, используемая форма является наиболее близкой к трапеции , а не к трапеции (например, французская трапеция , итальянская трапеция , португальская трапеция , испанская трапеция , немецкая трапеция , украинское «трапеція»).

Трапеция против трапеции [ править ]

Термин трапеция когда-то определялся как четырехугольник без каких-либо параллельных сторон в Великобритании и других странах. Оксфордский словарь английского языка (КДИ) говорит , что «часто называют английскими писателями в 19 веке». ^[6] Согласно OED, смысл фигуры без параллельных сторон - это значение, для которого Прокл ввел термин «трапеция». Это сохраняется во французском trapézoïde , ^[7] немецком Trapezoid и других языках. Однако именно этот смысл считается устаревшим.

Трапеции в смысле Прокла четырехугольник , имеющий одну пару противоположных сторон параллельны друг другу. Это было особое значение в Англии в 17 и 18 веках, и снова преобладающее в недавнем употреблении за пределами Северной Америки. Трапеция, как и любой четырехугольник, более общий, чем параллелограмм, - это смысл термина Евклида .

Что сбивает с толку, слово трапеция иногда использовалось в Англии с ок. 1800 до с. 1875 г., чтобы обозначить неправильный четырехугольник, у которого стороны не параллельны. Сейчас это устарело в Англии, но продолжается в Северной Америке. Однако эту форму чаще (и менее запутанно) называют неправильным четырехугольником. ^{[8] [9]}

Инклюзивное и эксклюзивное определение [ править ]

Есть некоторые разногласия по поводу того , следует ли рассматривать параллелограммы с двумя парами параллельных сторон как трапеции. Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон (исключительное определение), тем самым исключая параллелограммы. ^[10] Другие ^[11] определяют трапецию как четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон (включающее определение ^[12] ), делая параллелограмм особым типом трапеции. Последнее определение согласуется с его использованием в высшей математике, такой как исчисление.. В этой статье используется инклюзивное определение и параллелограммы рассматриваются как частные случаи трапеции. Это также поддерживается в таксономии четырехугольников .

Согласно инклюзивному определению все параллелограммы (включая ромбы , прямоугольники и квадраты ) являются трапециями. Прямоугольники имеют зеркальную симметрию по средним краям; ромбы имеют зеркальную симметрию по вершинам, а квадраты имеют зеркальную симметрию как по средним краям, так и по вершинам.

Особые случаи [ править ]

Прямая трапеция (также прямоугольная трапеция ) имеет два смежных прямых угла . ^[11] Правые трапеции используются в правиле трапеций для оценки площадей под кривой.

Острой трапеции имеет две смежные углы острые на его более длинной базовой кромке, в то время как тупые трапеции имеет один острый и один тупой угол на каждой базе .

Равнобедренной трапеции является трапецией , где углы основания имеют одинаковую меру. Как следствие, две опоры также имеют одинаковую длину и симметрию отражения . Это возможно для острых трапеций или прямых трапеций (прямоугольников).

Параллелограмм является трапеция с двумя парами параллельных сторон. Параллелограмм имеет центральную 2-кратную вращательную симметрию (или точечную симметрию отражения ). Возможны тупые трапеции или прямые трапеции (прямоугольники).

Тангенциальная трапеция является трапеция , которая имеет вписанный .

Саккери четырехугольник похож на трапецию в гиперболической плоскости, с двумя соседними прямыми углами, в то время как он представляет собой прямоугольник , в евклидовой плоскости. Ламберт четырехугольник в гиперболической плоскости имеет 3 прямых углов.

Условия существования [ править ]

Четыре длины a , c , b , d могут составлять следующие друг за другом стороны непараллелограммной трапеции, причем a и b параллельны только тогда, когда ^[13]

${\ displaystyle \ displaystyle | dc | <| ba | <d + c.}$

Четырехугольник - это параллелограмм, когда , но экс-тангенциальный четырехугольник (который не является трапецией), когда . ^{[14] : с. 35 год}${\ displaystyle dc = ba = 0}$${\ displaystyle | dc | = | ba | \ neq 0}$

Характеристики [ править ]

Для выпуклого четырехугольника следующие свойства эквивалентны, и каждое из них подразумевает, что четырехугольник является трапецией:

• Он имеет два смежных угла, которые являются дополнительными , то есть в сумме они составляют 180 градусов .
• Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и той же диагональю.
• В диагоналях рубят друг друг во взаимно же соотношении (это отношение такого же , как между длинами параллельных сторон).
• Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, из которых одна противоположная пара похожа .
• Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, из которых одна противоположная пара имеет равные площади. ^{[14] : Предложение 5}
• Произведение площадей двух треугольников, образованных одной диагональю, равно произведению площадей двух треугольников, образованных другой диагональю. ^{[14] : Thm.6}
• Площади S и T некоторых двух противоположных треугольников из четырех треугольников, образованных диагоналями, удовлетворяют уравнению

${\ displaystyle {\ sqrt {K}} = {\ sqrt {S}} + {\ sqrt {T}},}$

где K - площадь четырехугольника. ^{[14] : Thm.8}

• Середины двух противоположных сторон и пересечение диагоналей лежат на одной прямой . ^{[14] : Thm.15}
• Углы в четырехугольнике ABCD удовлетворяют ^{[14] : с. 25}${\ Displaystyle \ грех А \ грех С = \ грех В \ грех D.}$
• Сумма косинусов двух соседних углов равна 0, как и косинусы двух других углов. ^{[14] : с. 25}
• Сумма котангенсов двух соседних углов равна 0, как и котангенсы двух других смежных углов. ^{[14] : с. 26}
• Один бимедиан делит четырехугольник на два четырехугольника равной площади. ^{[14] : с. 26}
• Удвоенная длина бимедиана, соединяющего середины двух противоположных сторон, равна сумме длин других сторон. ^{[14] : с. 31 год}

Кроме того, следующие свойства эквивалентны, и каждое подразумевает, что противоположные стороны a и b параллельны:

• Последовательные стороны a , c , b , d и диагонали p , q удовлетворяют уравнению ^{[14] : Cor.11}

${\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} = c ^ {2} + d ^ {2} + 2ab.}$

• Расстояние v между серединами диагоналей удовлетворяет уравнению ^{[14] : Теорема.12}

${\displaystyle v={\frac {|a-b|}{2}}.}$

Середина и высота [ править ]

Midsegment (также называемый средней или срединный) трапеции является сегментом , который присоединяется к срединным ножкам. Параллельно базам. Его длина m равна средней из длин оснований a и b трапеции, ^[11]

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

Средний сегмент трапеции является одним из двух бимедианов (другой бимедиан делит трапецию на равные области).

Высота (или высота) является перпендикулярным расстоянием между основаниями. В случае, если два основания имеют разную длину ( a ≠ b ), высоту трапеции h можно определить по длине ее четырех сторон по формуле ^[11]

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|b-a|}}}$

где c и d - длины ног.

Площадь [ править ]

Площадь K трапеции определяется выражением ^[11]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

где a и b - длины параллельных сторон, h - высота (перпендикулярное расстояние между этими сторонами), а m - среднее арифметическое длин двух параллельных сторон. В 499 AD Aryabhata , великий математик - астроном из классического возраста индийской математики и индийской астрономии , использовал этот метод в Aryabhatiya (раздел 2.8). Это дает как частный случай хорошо известную формулу для площади треугольника, рассматривая треугольник как вырожденную трапецию, в которой одна из параллельных сторон сжалась до точки.

Индийский математик 7-го века Бхаскара I вывел следующую формулу для площади трапеции с последовательными сторонами a , c , b , d :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((b-a)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}\right)^{2}}}}$

где a и b параллельны и b > a . ^[15] Эта формула может быть преобразована в более симметричный вариант ^[11]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|b-a|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}.}$

Когда одна из параллельных сторон сузилась до точки (скажем, a = 0), эта формула сводится к формуле Герона для площади треугольника.

Другой эквивалентной формулой для площади, которая больше напоминает формулу Герона, является ^[11]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}},}$

где - полупериметр трапеции. (Эта формула похожа на формулу Брахмагупты , но отличается от нее тем, что трапеция может не быть циклической (вписанной в круг). Формула также является частным случаем формулы Бретшнайдера для общего четырехугольника ).${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

Из формулы Бретшнейдера следует, что

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{(2(b-a))^{2}}}-\left({\frac {b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

Линия, соединяющая середины параллельных сторон, делит площадь пополам.

Диагонали [ править ]

Длины диагоналей ^[11]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}}$

где a - короткое основание, b - длинное основание, а c и d - ножки трапеции.

Если трапеция разделена на четыре треугольника своими диагоналями AC и BD (как показано справа), пересекающимися в точке O , то площадь AOD равна площади BOC , а произведение площадей AOD и BOC равно к AOB и COD . Соотношение площадей каждой пары смежных треугольников такое же, как и между длинами параллельных сторон. ^[11]${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$

Пусть трапеция имеет последовательно вершины A , B , C и D и параллельные стороны AB и DC . Пусть E - пересечение диагоналей, и пусть F находится на стороне DA, а G - на стороне BC , так что FEG параллелен AB и CD . Тогда FG - это среднее гармоническое для AB и DC : ^[16]

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).}$

Линия, проходящая как через точку пересечения вытянутых непараллельных сторон, так и через точку пересечения диагоналей, делит каждую основу пополам. ^[17]

Другие свойства [ править ]

Центр площади (центр масс для однородной пластинки ) лежит вдоль отрезка прямой, соединяющего середины параллельных сторон, на перпендикулярном расстоянии x от длинной стороны b, определяемом формулой ^[18]

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

Центр области делит этот отрезок в соотношении (если брать от короткой стороны к длинной) ^{[19] : с. 862}

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

Если биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P , а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке Q , то ^[17]

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

Приложения [ править ]

Архитектура [ править ]

В архитектуре это слово используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных шире у основания, сужаясь к вершине в египетском стиле. Если у них прямые стороны и острые угловые углы, их форма обычно представляет собой равнобедренные трапеции . Это был стандартный стиль дверей и окон инков . ^[20]

Геометрия [ править ]

Задача о скрещенных лестницах - это задача нахождения расстояния между параллельными сторонами прямой трапеции с учетом длины диагонали и расстояния от перпендикулярной опоры до диагонального пересечения.

Биология [ править ]

В морфологии , систематике и других описательных дисциплинах , в которых термин для таких форм необходим, термины , таких как трапециевидные или трапециевидные обычно являются полезными в описаниях конкретных органов или форм. ^[21]

Компьютерная инженерия [ править ]

В компьютерной инженерии, особенно в цифровой логике и компьютерной архитектуре, трапеции обычно используются для обозначения мультиплексоров . Мультиплексоры - это логические элементы, которые выбирают между несколькими элементами и выдают один выходной сигнал на основе сигнала выбора. В типичных конструкциях используются трапеции без специального указания, что они являются мультиплексорами, поскольку они универсально эквивалентны.

См. Также [ править ]

• Вежливое число , также известное как трапециевидное число.
• Клин , многогранник, образованный двумя треугольниками и тремя гранями трапеции.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Д. Фрайвер, А. Сиглер и М. Ступель: Общие свойства трапеций и выпуклых четырехугольников

Внешние ссылки [ править ]

• Трапеция в энциклопедии математики .
• Вайсштейн, Эрик В. "Правая трапеция" . MathWorld .
• Определение   трапеции Площадь трапеции   Медиана трапеции С интерактивной анимацией
• Трапеция (Северная Америка) на elsy.at: Анимированный курс (конструкция, окружность, площадь)
• Правило трапеции для численных методов для студентов бакалавриата
• Аутар Кау и Э. Эрик Калу, Численные методы с приложениями , (2008)