Детерминант

В линейной алгебре , то определитель является скалярным значением , которое может быть вычислено из элементов квадратной матрицы и кодирует определенные свойства линейного преобразования , описываемое матрица. Определитель матрицы A обозначается det ( A ) , det A или | А | . Геометрический, его можно рассматривать как объем коэффициент масштабирования линейного преобразования , описываемое матрицей. Это также знаковый объем n -мерного параллелепипеда.охватывается векторами-столбцами или строками матрицы. Детерминанта является положительной или отрицательным в зависимости от того линейных преобразований заповедников или переворачивают ориентацию из реального векторного пространства .

В случае матрицы 2 × 2 определитель может быть определен как

${\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}$

Аналогично, для матрицы A 3 × 3 ее определитель равен

${\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\[3pt]&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}$

Каждый определитель 2 × 2 матрицы в этом уравнении называется минор матрицы A . Эту процедуру можно расширить, чтобы дать рекурсивное определение определителя матрицы размера n × n , известное как разложение Лапласа .

Детерминанты встречаются во всей математике. Например, матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений , а определитель может использоваться для решения этих уравнений, хотя другие методы решения гораздо более эффективны с точки зрения вычислений. В линейной алгебре матрица (с элементами в поле ) сингулярна (не обратима ) тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Это приводит к использованию определителей при определении характеристического полинома матрицы, корни которой являются собственными значениями . В аналитической геометрии определители выражают знак n-мерные объемы n -мерных параллелепипедов. Это приводит к использованию определителей в исчислении , определителя Якоби в правиле замены переменных для интегралов от функций многих переменных. Детерминанты часто появляются в алгебраических тождествах, таких как тождество Вандермонда .

Определители обладают многими алгебраическими свойствами. Один из них - мультипликативность, а именно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей. Специальные типы матриц имеют специальные определители; например, определитель ортогональной матрицы всегда равен плюс или минус один, а определитель комплексной эрмитовой матрицы всегда действительный .

Геометрическое значение [ править ]

Если вещественная матрица A размера n × n записана в терминах ее векторов-столбцов , то${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{array}}\right]}$

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{1},\quad A{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{2},\quad \ldots ,\quad A{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{n}.}$

Это означает, что отображает единичный n -куб в n -мерный параллелоэдр, определяемый векторами области${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n},}$${\displaystyle P=\left\{c_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {a} _{n}\mid 0\leq c_{i}\leq 1\ \forall i\right\}.}$

Определитель дает подписанный п - мерный объем этого параллелепипеда, и , следовательно , в более общем случае описывает в п - мерный объемный коэффициент масштабирования от линейного преобразования создаваемого A . ^[1] (Знак показывает, сохраняет ли преобразование ориентацию или меняет ее на противоположное .) В частности, если определитель равен нулю, то этот параллелогран имеет нулевой объем и не является полностью n -мерным, что указывает на то, что размерность изображения A равна меньше чем n . Это означает, что A производит линейное преобразование, которое ни${\displaystyle \det(A)=\pm {\text{vol}}(P),}$на ни один-к-одному , и поэтому не является обратимым.

Определение [ править ]

Существуют различные эквивалентные способы определения определителя квадратной матрицы A , т.е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов. Возможно, самый простой способ выразить определитель - рассмотреть элементы в верхнем ряду и соответствующие миноры ; начиная слева, умножьте элемент на второстепенный, затем вычтите произведение следующего элемента и его второстепенного и чередуйте добавление и вычитание таких произведений, пока не будут исчерпаны все элементы в верхней строке. Например, вот результат для матрицы 4 × 4:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{vmatrix}}=a\,{\begin{vmatrix}f&g&h\\j&k&l\\n&o&p\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}e&g&h\\i&k&l\\m&o&p\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}e&f&h\\i&j&l\\m&n&p\end{vmatrix}}-d\,{\begin{vmatrix}e&f&g\\i&j&k\\m&n&o\end{vmatrix}}.}$

Другой способ определения определителя выражается в столбцах матрицы. Если мы запишем матрицу A размера n × n через ее векторы-столбцы

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$

где - векторы размера n , то определитель A определяется так, что${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &ba_{j}+cv&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}&=b\det(A)+c\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &v&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}\\\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{j}&a_{j+1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}&=-\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{j+1}&a_{j}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}\\\det(I)&=1\end{aligned}}}$

где b и c - скаляры, v - любой вектор размера n, а I - единичная матрица размера n . Эти уравнения говорят, что определитель является линейной функцией каждого столбца, что при перестановке соседних столбцов знак определителя меняется на противоположный, и что определитель единичной матрицы равен 1. Эти свойства означают, что определитель является переменной полилинейной функцией столбцов. который отображает единичную матрицу на базовый единичный скаляр. Этого достаточно, чтобы однозначно вычислить определитель любой квадратной матрицы. При условии, что лежащие в основе скаляры образуют поле (в более общем смысле, коммутативное кольцо), приведенное ниже определение показывает, что такая функция существует, и можно показать, что она уникальна. ^[2]

Эквивалентно, определитель может быть выражен как сумма произведений элементов матрицы, где каждое произведение имеет n членов, а коэффициент каждого произведения равен -1, 1 или 0 в соответствии с заданным правилом: это полиномиальное выражение матрицы записи. Это выражение быстро растет с размером матрицы (матрица n × n имеет n ! Членов), поэтому сначала оно будет явно дано для случая матриц 2 × 2 и матриц 3 × 3 , а затем будет следовать правило для произвольного размера матрицы, которая включает эти два случая.

Предположим, что A - квадратная матрица с n строками и n столбцами, так что ее можно записать как

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\end{bmatrix}}.}$

Записи могут быть числами или выражениями (как это происходит, когда определитель используется для определения характеристического полинома ); определение определителя зависит только от того факта, что их можно складывать и умножать вместе коммутативным способом.

Определитель A обозначается как det ( A ), или он может быть обозначен непосредственно в терминах элементов матрицы, написав закрывающие черты вместо скобок:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\end{vmatrix}}.}$

Матрицы 2 × 2 [ править ]

Формула Лейбница для определителя матрицы 2 × 2 имеет вид

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.}$

Если матричные элементы являются действительными числами, то матрица может быть использовано для представления два линейных карт : один , который отображает стандартные базисные векторы в строки А , и один , который отображает их в столбцы A . В любом случае изображения базисных векторов образуют параллелограмм, который представляет собой изображение единичного квадрата под отображением. Параллелограмм, определяемый строками указанной выше матрицы, - это параллелограмм с вершинами в точках (0, 0) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) , И ( с , d ) , какпоказано на прилагаемом рисунке.

Абсолютное значение объявления - Ьс есть площадь параллелограмма, и , таким образом , представляет собой масштабный коэффициент , с помощью которого участки трансформированного A . (Параллелограмм, образованный столбцами A , в общем случае представляет собой другой параллелограмм, но поскольку определитель симметричен относительно строк и столбцов, площадь будет такой же.)

Модуль определителя вместе со знаком становится ориентированной областью параллелограмма. Ориентированная область такая же, как и обычная область , за исключением того, что она отрицательна, когда угол от первого ко второму вектору, определяющему параллелограмм, поворачивается по часовой стрелке (что противоположно направлению, которое можно получить для единичной матрицы ).

Чтобы показать, что ad - bc является областью со знаком, можно рассмотреть матрицу, содержащую два вектора u ≡ ( a , b ) и v ≡ ( c , d ), представляющие стороны параллелограмма. Подписанная область может быть выражена как | u | | v | sin  θ для угла θ между векторами, который является просто основанием, умноженным на высоту, длину одного вектора, умноженную на перпендикулярную составляющую другого. Из-за синуса это уже подписанная область, но ее можно выразить более удобно, используякосинус дополнительного угла к перпендикулярному вектору, например u ^⊥ = (- b , a ) , так что | u ^⊥ | | v | cos  θ ′ , который можно определить по образцу скалярного произведения как равный ad - bc :

${\displaystyle {\text{Signed area}}=|{\boldsymbol {u}}|\,|{\boldsymbol {v}}|\,\sin \,\theta =\left|{\boldsymbol {u}}^{\perp }\right|\,\left|{\boldsymbol {v}}\right|\,\cos \,\theta '={\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}=ad-bc.}$

Таким образом , определитель дает коэффициент масштабирования и ориентацию , индуцированное отображение , представленному А . Когда определитель равен единице, линейное отображение, определяемое матрицей, является равноплощадным и сохраняет ориентацию.

С этими идеями связан объект, известный как бивектор . В 2D, это может быть интерпретировано как ориентированный сегмент плоскости , образованным представляя два вектора , каждые с началом (0, 0) , и координатами ( , б ) и ( гр , д ) . Величина бивектора (обозначается ( a , b ) ∧ ( c , d ) ) - это площадь со знаком , которая также является определителем ad - bc . ^[3]

Матрицы 3 × 3 [ править ]

Формула Лапласа [ править ]

Формула Лапласа для определителя матрицы 3 × 3 :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}}$

это можно расширить, чтобы получить формулу Лейбница.

Формула Лейбница [ править ]

Формула Лейбница для определителя матрицы 3 × 3 :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}$

Схема Сарруса [ править ]

Правило саррюса мнемонический для 3 × 3 матрицы определителя: сумма произведений три диагональных северо-запада на юго-востоке линии матричных элементов, минус сумма произведений три диагональных юго-запада на северо - восточные строки элементов, когда рядом с ней написаны копии первых двух столбцов матрицы, как на рисунке:

${\displaystyle {\begin{aligned}~~~~~~{\begin{vmatrix}a&b&c\\e&f&g\\h&i&j\end{vmatrix}}=\end{aligned}}}$${\displaystyle \qquad =\color {red}{afj+bgh+cei}\color {blue}{-hfc-iga-jeb}}$

Эта схема вычисления определителя матрицы 3 × 3 не переносится на более высокие измерения.

n × n матриц [ править ]

Определитель матрицы произвольного размера может быть определен формулой Лейбница или формулой Лапласа .

Формула Лейбница для определителя матрицы A размера n × n имеет вид

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\right).}$

Здесь сумма вычисляется по всем перестановкам σ множества {1, 2, ..., n }. Перестановка - это функция, которая переупорядочивает этот набор целых чисел. Значение в i- й позиции после переупорядочения σ обозначается σ _i . Например, для n = 3 исходная последовательность 1, 2, 3 может быть переупорядочена в σ = [2, 3, 1] , где σ ₁ = 2 , σ ₂ = 3 и σ ₃ = 1 . Множество всех таких перестановок (также известное как симметрическая группана n элементах) обозначается S _n . Для каждой перестановки сга , SGN ( σ ) обозначает подпись из сга , значение , которое равно +1 , когда переупорядочивание данных через а может быть достигнута путем последовательной перестановки две записей четного числа раз, и -1 , всякий раз , когда это может быть достигнуто путем нечетное количество таких развязок.

В любом из слагаемых член${\displaystyle n!}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}}$

- это обозначение произведения записей в позициях ( i , σ _i ) , где i изменяется от 1 до n :

${\displaystyle a_{1,\sigma _{1}}\cdot a_{2,\sigma _{2}}\cdots a_{n,\sigma _{n}}.}$

Например, определитель матрицы 3 × 3 A ( n = 3 ) равен

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\\={}&\operatorname {sgn}([1,2,3])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,2,3]_{i}}+\operatorname {sgn}([1,3,2])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,3,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([2,1,3])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,1,3]_{i}}+{}\\&\operatorname {sgn}([2,3,1])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,3,1]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,1,2])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,1,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,2,1])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,2,1]_{i}}\\={}&\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,2,3]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,3,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,1,3]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,3,1]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,1,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,2,1]_{i}}\\[2pt]={}&a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.\end{aligned}}}$

Символ Леви-Чивита [ править ]

Иногда полезно расширить формулу Лейбница до суммирования, в котором происходят не только перестановки, но и все последовательности из n индексов в диапазоне 1, ..., n , гарантируя, что вклад последовательности будет равен нулю, если он не обозначает перестановка. Таким образом, полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты расширяет сигнатуру перестановки, устанавливая для любой перестановки σ числа n , и когда не существует такой перестановки σ , что для (или, что эквивалентно, когда некоторые пары индексов равны). Тогда определитель для матрицы n × n можно выразить с помощью n${\displaystyle \varepsilon _{i_{1},\cdots ,i_{n}}}$${\displaystyle \varepsilon _{\sigma (1),\cdots ,\sigma (n)}=\operatorname {sgn} (\sigma )}$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1},\cdots ,i_{n}}=0}$${\displaystyle \sigma (j)=i_{j}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$-кратное суммирование как

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1,i_{1}}\cdots a_{n,i_{n}},}$

или используя два символа epsilon как

${\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}\sum \varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},}$

где теперь каждый i _r и каждый j _r должны быть суммированы по 1, ..., n .

Тем не менее, за счет использования тензорной записи и подавление символа суммирования (суммирование конференц - Эйнштейна), можно получить гораздо более компактное выражение определителя системы второго порядка по размерам, ;${\displaystyle n=3}$${\displaystyle a_{n}^{m}}$

${\displaystyle \det(a_{n}^{m})e_{rst}=e_{ijk}a_{r}^{i}a_{s}^{j}a_{t}^{k}}$

где и представляют собой «электронные системы», которые принимают значения 0, +1 и -1 с учетом количества перестановок и . Более конкретно, равно 0, когда есть повторяющийся индекс в ; +1, когда присутствует четное количество перестановок ; −1, когда присутствует нечетное количество перестановок . Количество индексов, присутствующих в электронных системах, равно и поэтому может быть обобщено таким образом. ^[4]${\displaystyle e_{rst}}$${\displaystyle e_{ijk}}$${\displaystyle ijk}$${\displaystyle rst}$${\displaystyle e_{ijk}}$${\displaystyle ijk}$${\displaystyle ijk}$${\displaystyle ijk}$${\displaystyle n}$

Свойства определителя [ править ]

Определитель имеет много свойств. Некоторые основные свойства определителей:

1. ${\displaystyle \det \left(I\right)=1}$, где - единичная матрица .${\displaystyle I}$
2. ${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$, Где обозначает транспонирование о .${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A}$
3. ${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}.}$
4. Для квадратных матриц и одинакового размера,${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

   ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\times \det(B).}$

5. ${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$, для матрицы .${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$
6. Для положительных полуопределенных матриц , и одинакового размера, для со следствием ^{[5] [6]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C)}$${\displaystyle A,B,C\geq 0}$${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).}$
7. Если - треугольная матрица , то есть всякий раз, когда или, альтернативно, всякий раз , когда , то ее определитель равен произведению диагональных элементов:${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{ij}=0}$${\displaystyle i>j}$${\displaystyle i<j}$

   ${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.}$

Это можно вывести из некоторых свойств, приведенных ниже, но наиболее легко это следует непосредственно из формулы Лейбница (или из разложения Лапласа), в которой тождественная перестановка является единственной, которая дает ненулевой вклад.

Ряд дополнительных свойств относится к влиянию на детерминант изменения определенных строк или столбцов:

8. Если рассматривать матрицу как состоящую из столбцов, определитель является n- линейной функцией . Это означает, что если j- й столбец матрицы записан как сумма двух векторов-столбцов , а все остальные столбцы остаются неизменными, то определитель является суммой определителей матриц, полученных из заменой j- го столбца через (обозначено ), а затем через (обозначено ) (и аналогичное отношение выполняется при записи столбца как скалярного кратного вектора столбца).${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {a} _{j}=\mathbf {v} +\mathbf {w} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A_{v}}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle A_{w}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=\det([\mathbf {a} _{1}|\dots |\mathbf {a} _{j}|\dots |\mathbf {a} _{n}])\\&=\det([\dots |\mathbf {v} +\mathbf {w} |\dots ])\\&=\det([\dots |\mathbf {v} |\dots ])+\det([\dots |\mathbf {w} |\dots ])\\&=\det \left(A_{v}\right)+\det \left(A_{w}\right)\end{aligned}}}$

9. Если в матрице любая строка или столбец имеет все элементы, равные нулю, то определитель этой матрицы равен 0.
10. Эта n -линейная функция является альтернативной формой . Это означает, что если два столбца матрицы идентичны или, в более общем смысле, какой-либо столбец может быть выражен как линейная комбинация других столбцов (т.е. столбцы матрицы образуют линейно зависимый набор), его определитель равен 0.

Свойства 1, 8 и 10, которые все следуют из формулы Лейбница, полностью характеризуют определитель; другими словами, определитель - это уникальная функция от матриц размера n × n до скаляров, которая является n- линейной, чередующейся в столбцах, и принимает значение 1 для единичной матрицы (эта характеристика сохраняется, даже если скаляры взяты в любом заданном коммутативном кольце ) . Чтобы увидеть это, достаточно расширить определитель по полилинейности по столбцам до (огромной) линейной комбинации определителей матриц, в которой каждый столбец является стандартным базисом.вектор. Эти детерминанты равны либо 0 (по свойству 9), либо ± 1 (по свойствам 1 и 12 ниже), поэтому линейная комбинация дает выражение выше в терминах символа Леви-Чивиты. Хотя эта характеристика менее техническая по внешнему виду, она не может полностью заменить формулу Лейбница при определении определителя, поскольку без нее существование подходящей функции неясно. Для матриц над некоммутативными кольцами, свойство 8 и 9 является несовместимым по п ≥ 2 , ^[7] , так что нет хорошего определения детерминанта в этой установке.

Свойство 2 выше означает, что свойства столбцов имеют свои аналоги в терминах строк:

11. Если рассматривать матрицу размера n × n как состоящую из n строк, определитель является n- линейной функцией.
12. Эта n- линейная функция представляет собой переменную форму: когда две строки матрицы идентичны, ее определитель равен 0.
13. При замене любой пары столбцов или строк матрицы ее определитель умножается на -1. Это следует из свойств 8 и 10 (это общее свойство полилинейных переменных отображений). В более общем смысле, любая перестановка строк или столбцов умножает определитель на знак перестановки. Под перестановкой подразумевается просмотр каждой строки как вектора R _i (эквивалентно каждому столбцу как C _i ) и переупорядочение строк (или столбцов) путем замены R _j и R _k (или C _j и C _k ), где j , k - два индекса, выбираемые от 1 до nдля квадратной матрицы размера n × n .
14. Добавление скалярного кратного одного столбца к другому столбцу не меняет значения определителя. Это является следствием свойств 8 и 10 следующим образом: по свойству 8 определитель изменяется на коэффициент, кратный определителю матрицы с двумя равными столбцами, причем определитель равен 0 по свойству 10. Аналогичным образом добавляется скалярное кратное единице. строка в другую строку оставляет детерминант без изменений.

Свойство 5 говорит , что определитель на п × п матриц является однородным степени п . Эти свойства могут использоваться для облегчения вычисления определителей путем упрощения матрицы до точки, где определитель может быть определен немедленно. В частности, для матриц с коэффициентами в поле свойства 13 и 14 могут использоваться для преобразования любой матрицы в треугольную матрицу, определитель которой задается свойством 7; по сути, это метод исключения Гаусса . Например, определитель

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}$

можно вычислить с использованием следующих матриц:

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\2&0&-1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\0&2&-4\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&2&-4\\0&0&4.5\end{bmatrix}}.}$

Здесь B получается из A добавлением −1 / 2 × первой строки ко второй, так что det ( A ) = det ( B ) . C получается из B добавлением первой строки к третьей, так что det ( C ) = det ( B ) . Наконец, D получается из C заменой второй и третьей строк, так что det ( D ) = −det ( C ) . Определитель (верхней) треугольной матрицы D - это произведение ее элементов на главной диагонали :(−2) · 2 · 4,5 = −18 . Следовательно, det ( A ) = −det ( D ) = +18 .

Дополнение Шура [ править ]

Для дополнения Шура квадратной матрицы выполняется следующее тождество :

Дополнение Шура возникает в результате выполнения блочного исключения Гаусса путем умножения матрицы M справа на блочную нижнюю треугольную матрицу

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}.}$

Здесь I _p обозначает единичную матрицу размера p × p . После умножения на матрицу L в верхнем блоке p × p появляется дополнение Шура . Матрица продуктов

${\displaystyle {\begin{aligned}ML&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}\\[5pt]&={\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

То есть мы выполнили гауссовское разложение

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}.}$

Первая и последняя матрицы на правой стороне имеют детерминант единицу, поэтому мы имеем

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\cdot \det \left(A-BD^{-1}C\right).}$

Это определяющая личность Шура.

Мультипликативность и матричные группы [ править ]

Определитель матричного произведения квадратных матриц равен произведению их определителей:

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\times \det(B)}$

Таким образом, определитель - это мультипликативное отображение . Это свойство является следствием приведенной выше характеристики определителя как единственной n- линейной переменной функции столбцов со значением 1 на единичной матрице, поскольку функция M _n ( K ) → K , отображающая M ↦ det ( AM ) можно легко увидеть, что он n -линейный, чередующийся в столбцах M и принимает значение det ( A ) в единице. Формула может быть обобщена на (квадратные) произведения прямоугольных матриц, давая формулу Коши – Бине, что также является независимым доказательством мультипликативности.

Определитель det ( A ) матрицы A отличен от нуля тогда и только тогда, когда A обратима, или, еще одно эквивалентное утверждение, если его ранг равен размеру матрицы. Если это так, определитель обратной матрицы определяется выражением

${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}}$

В частности, это свойство сохраняется у произведений и обратных матриц с определителем. Таким образом, набор таких матриц (фиксированного размера n ) образует группу, известную как специальная линейная группа . В более общем смысле слово «специальные» обозначает подгруппу другой группы матриц детерминантной группы. Примеры включают специальную ортогональную группу (которая, если n равно 2 или 3, состоит из всех матриц вращения ), и специальную унитарную группу .

Расширение Лапласа и сопряженная матрица [ править ]

Разложение Лапласа выражает определитель матрицы через ее миноры . Минор M _{i , j} определяется как определитель ( n -1) × ( n -1) -матрицы, которая получается из A путем удаления i- й строки и j- го столбца. Выражение (−1) ^{i + j} M _{i , j} известно как кофактор . Для каждого i выполняется равенство

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij},}$

которое называется разложением Лапласа по i- й строке . Аналогично, разложение Лапласа по j- му столбцу представляет собой равенство

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.}$

Например, разложение Лапласа матрицы 3 × 3

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}},}$

вдоль второго столбца ( j = 2, а сумма пробегает i ) определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}-1&3\\2&-1\end{vmatrix}}+(-1)^{2+2}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}-2&-3\\[4pt]2&-1\end{vmatrix}}+(-1)^{3+2}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}-2&-3\\-1&3\end{vmatrix}}\\[4pt]&=(-2)\cdot ((-1)\cdot (-1)-2\cdot 3)+1\cdot ((-2)\cdot (-1)-2\cdot (-3))\\[4pt]&=(-2)\cdot (-5)+8=18.\end{aligned}}}$

Расширение Лапласа может использоваться итеративно для вычисления определителей, но это эффективно только для небольших матриц и разреженных матриц , поскольку для общих матриц это требует вычисления экспоненциального числа определителей, даже если позаботиться о том, чтобы вычислить каждый второстепенный только один раз. Союзная матрица прил ( ) является транспонированной матрицы кофакторов, то есть,

${\displaystyle (\operatorname {adj} (A))_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ji}.}$

Для каждой матрицы имеется ^[8]

${\displaystyle (\det A)I=A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A.}$

Таким образом, сопряженная матрица может использоваться для выражения обратного к невырожденной матрице :

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A.}$

Теорема Сильвестра о детерминанте [ править ]

Теорема Сильвестра о детерминанте утверждает, что для A - это матрица m × n , а для B - матрица n × m (так, чтобы A и B имели размеры, позволяющие их умножать в любом порядке, образуя квадратную матрицу):

${\displaystyle \det \left(I_{\mathit {m}}+AB\right)=\det \left(I_{\mathit {n}}+BA\right),}$

где I _m и I _n - единичные матрицы размера m × m и n × n соответственно.

Из этого общего результата следует несколько следствий.

Свойства определителя по отношению к другим понятиям [ править ]

Связь с собственными значениями и трассировкой [ править ]

Пусть A - произвольная матрица комплексных чисел размера n × n с собственными значениями . (Здесь подразумевается, что собственное значение с алгебраической кратностью μ встречается в этом списке μ раз.) Тогда определитель A является произведением всех собственных значений,${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

Произведение всех ненулевых собственных значений называется псевдодетерминантом .

И наоборот, определители могут использоваться для нахождения собственных значений матрицы A : они являются решениями характеристического уравнения

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0~,}$

где I - единичная матрица той же размерности, что и A, а λ - (скалярное) число, которое решает уравнение (существует не более n решений, где n - размерность A ).

Эрмитова матрица является положительно определенной , если все ее собственные значения положительны. Критерий Сильвестра утверждает, что это эквивалентно определителям подматриц

${\displaystyle A_{k}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k,1}&a_{k,2}&\dots &a_{k,k}\end{bmatrix}}.}$

положительный для всех k от 1 до n .

Следа Tr ( ), по определению , сумма диагональных элементов матрицы А , а также равна сумма собственных значений. Таким образом, для комплексных матриц A ,

${\displaystyle \det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))}$

или, для вещественных матриц A ,

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A))).}$

Здесь ехр ( ) обозначает матрицу экспоненциальное из А , так как каждое собственное значение λ из A соответствует собственному значению ехр ( λ ) ехр ( ). В частности, с учетом любого логарифм от А , то есть, любая матрица Л , удовлетворяющая

${\displaystyle \exp(L)=A}$

определитель A определяется выражением

${\displaystyle \det(A)=\exp(\operatorname {tr} (L)).}$

Например, для n = 2 , n = 3 и n = 4 соответственно

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{3}-3\operatorname {tr} (A)~\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)~\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} \left(A^{4}\right)\right).\end{aligned}}}$

ср. Теорема Кэли-Гамильтона . Такие выражения выводятся из комбинаторных аргументов, тождеств Ньютона или алгоритма Фаддеева – Леверье . То есть, для общего n , det A = (−1) ⁿ c _0, постоянный член со знаком характеристического многочлена , определяемый рекурсивно из

${\displaystyle c_{n}=1;~~~c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\operatorname {tr} \left(A^{k}\right)~~(1\leq m\leq n)~.}$

В общем случае это также можно получить из ^[10]

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\begin{array}{c}k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\geq 0\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n\end{array}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)^{k_{l}},}$

где сумма берется по множеству всех целых чисел k _l ≥ 0, удовлетворяющих уравнению

${\displaystyle \sum _{l=1}^{n}lk_{l}=n.}$

Формулу можно выразить через полный экспоненциальный многочлен Белла от n аргументов s _l = - ( l - 1)! tr ( A ^l ) как

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}).}$

Эта формула также может быть использована для определения определителя матрицы A ^I _J с многомерными индексами I = (i ₁ , i ₂ , ..., i _r ) и J = (j ₁ , j ₂ , ..., j _г ) . Произведение и след таких матриц естественным образом определяются как

${\displaystyle (AB)_{J}^{I}=\sum _{K}A_{K}^{I}B_{J}^{K},\operatorname {tr} (A)=\sum _{I}A_{I}^{I}.}$

Важное тождество произвольной размерности n может быть получено из разложения логарифма в ряд Меркатора, когда разложение сходится. Если каждое собственное значение A меньше 1 по модулю,

${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

где I - единичная матрица. В более общем смысле, если

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}s^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

раскладывается как формальный степенной ряд по s, тогда все коэффициенты s ^m для m > n равны нулю, а оставшийся многочлен равен det ( I + sA ) .

Верхняя и нижняя границы [ править ]

Для положительно определенной матрицы A оператор следа дает следующие точные нижние и верхние границы на лог-детерминант

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(I-A^{-1}\right)\leq \log \det(A)\leq \operatorname {tr} (A-I)}$

равенство тогда и только тогда , когда = I . Это соотношение может быть получено с помощью формулы KL-дивергенции между двумя многомерными нормальными распределениями.

Также,

${\displaystyle {\frac {n}{\operatorname {tr} \left(A^{-1}\right)}}\leq \det(A)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\leq {\sqrt {{\frac {1}{n}}\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

Эти неравенства можно доказать, приведя матрицу A к диагональному виду. Таким образом, они представляют хорошо известный факт, что среднее гармоническое меньше среднего геометрического , которое меньше среднего арифметического , которое, в свою очередь, меньше среднего квадрата .

Правило Крамера [ править ]

Для матричного уравнения , учитывая, что A имеет ненулевой определитель, решение дается правилом Крамера :${\displaystyle Ax=b}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,2,3,\ldots ,n}$

где A _i - матрица, образованная заменой i- го столбца матрицы A вектором-столбцом b . Это сразу следует за расширением столбца определителя, т. Е.

${\displaystyle \det(A_{i})=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &b&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{i-1}&a_{j}&a_{i+1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=x_{i}\det(A)}$

где векторы являются столбцы A . Правило также подразумевается тождеством${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}.}$

Недавно было показано, что правило Крамера может быть реализовано за время O ( n ³ ) ^[11], что сравнимо с более распространенными методами решения систем линейных уравнений, такими как LU , QR или разложение по сингулярным числам .

Матрицы блоков [ править ]

Предположим, что A , B , C и D - матрицы размерности n × n , n × m , m × n и m × m соответственно. потом

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\times \det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}$

Это можно увидеть из формулы Лейбница для определителей или из разложения типа (для первого случая)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&0\\C&I_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{n}&0\\0&D\end{pmatrix}}.}$

Когда является обратимым , один имеет

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\times \det \left(D-CA^{-1}B\right).}$

как можно увидеть, применяя разложение

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&0\\C&I_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{n}&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}.}$

Когда D обратимо, аналогичное тождество с факторизацией может быть получено аналогичным образом ^[12], то есть${\displaystyle \det(D)}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(D)\times \det \left(A-BD^{-1}C\right).}$

Когда блоки представляют собой квадратные матрицы одного порядка, дальнейшие формулы верны. Например, если C и D коммутируют (т.е. CD = DC ), то имеет место следующая формула, сравнимая с определителем матрицы 2 × 2 : ^[13]

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).}$

Как правило, если все пары матриц n × n блочной матрицы np × np коммутируют, то определитель блочной матрицы равен определителю матрицы, полученной путем вычисления определителя блочной матрицы, считая ее элементы как элементы матрицы р × р матрица. ^[14] Как показывает предыдущая формула, для p = 2 этот критерий достаточен, но не обязателен.

Когда A = D и B = C , блоки представляют собой квадратные матрицы одного порядка, и выполняется следующая формула (даже если A и B не коммутируют)

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det(A-B)\times \det(A+B).}$

Когда D - матрица 1 × 1, B - вектор-столбец, а C - вектор-строка, тогда

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\left(D-CA^{-1}B\right)\det(A)\,.}$

Позвольте быть скалярным комплексным числом. Если блочная матрица квадратная, ее характеристический многочлен может быть разложен на множители${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A-sI&B\\C&D-sI\end{pmatrix}}&=\det(A-sI)\det \left(D-{\frac {C\operatorname {adj} (A-sI)B}{\det(A-sI)}}-sI\right)\quad {\text{if}}\quad s\notin \operatorname {eig} (A)\\&=\det(A-sI)^{1-n-m}\det \left(\det(A-sI)D-C\operatorname {adj} (A-sI)B-\det(A-sI)sI\right)\end{aligned}}}$

Производная [ править ]

Можно увидеть, например, используя формулу Лейбница , что определитель вещественных (или, аналогично, для комплексных) квадратных матриц является полиномиальной функцией от R ^{n × n} до R , и поэтому он везде дифференцируем . Его производная может быть выражена с помощью формулы Якоби : ^[15]

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

где прил ( ) обозначает adjugate из A . В частности, если A обратимо, мы имеем

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

Выражаясь в терминах записей A , это

${\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}=\det(A)\left(A^{-1}\right)_{ji}.}$

Еще одна эквивалентная формулировка:

${\displaystyle \det(A+\epsilon X)-\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}X\right)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)}$,

используя большое обозначение O . Частный случай , когда единичная матрица дает${\displaystyle A=I}$

${\displaystyle \det(I+\epsilon X)=1+\operatorname {tr} (X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right).}$

Это тождество используется при описании касательного пространства некоторых матричных групп Ли .

Если матрица A записана как где a , b , c - векторы-столбцы длины 3, то градиент по одному из трех векторов может быть записан как перекрестное произведение двух других:${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {a} }\det(A)&=\mathbf {b} \times \mathbf {c} \\\nabla _{\mathbf {b} }\det(A)&=\mathbf {c} \times \mathbf {a} \\\nabla _{\mathbf {c} }\det(A)&=\mathbf {a} \times \mathbf {b} .\end{aligned}}}$

Абстрактные алгебраические аспекты [ редактировать ]

Определитель эндоморфизма [ править ]

Приведенные выше тождества, касающиеся определителя произведений и обратных матриц, подразумевают, что аналогичные матрицы имеют один и тот же определитель: две матрицы A и B подобны, если существует обратимая матрица X такая, что A = X ⁻¹ BX . Действительно, многократное применение указанных выше тождеств дает

${\displaystyle \det(A)=\det(X)^{-1}\det(B)\det(X)=\det(B)\det(X)^{-1}\det(X)=\det(B).}$

Поэтому определитель также называют инвариантом подобия . Определитель линейного преобразования

${\displaystyle T:V\rightarrow V}$

для некоторого конечномерны векторного пространства V определяются как определитель матрицы , описывающего его по отношению к произвольному выбору основы в V . К инвариантности подобия, этот определитель не зависит от выбора базиса для V и , следовательно , зависит только от эндоморфизма Т .

Внешняя алгебра [ править ]

Определитель линейного преобразования T  : V → V из п - мерного векторного пространства V может быть сформулирован в бескоординатном образом, рассматривая п - й внешней мощности Л ^п V из V . T индуцирует линейное отображение

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda ^{n}T:\Lambda ^{n}V&\rightarrow \Lambda ^{n}V\\v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{n}&\mapsto Tv_{1}\wedge Tv_{2}\wedge \dots \wedge Tv_{n}.\end{aligned}}}$

Поскольку Λ ⁿ V одномерно, отображение Λ ⁿ T задается умножением на некоторый скаляр. Этот скаляр совпадает с определителем T , то есть

${\displaystyle \left(\Lambda ^{n}T\right)\left(v_{1}\wedge \dots \wedge v_{n}\right)=\det(T)\cdot v_{1}\wedge \dots \wedge v_{n}.}$

Это определение согласуется с более конкретным определением, зависящим от координат. В частности, для квадратной матрицы A , столбцы которой равны , ее определитель удовлетворяет , где - стандартный базис . Это следует из приведенной выше характеристики определителя. Например, переключение двух столбцов меняет знак определителя; аналогично, переставляя векторы во внешнем произведении v ₁ ∧ v ₂ ∧ v ₃ ∧ ... ∧ v _n в v ₂ ∧ v ₁ ∧ v ₃ ∧ ... ∧ v _n${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {a} _{n}=\det(A)\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, скажем, тоже меняет знак.

По этой причине наивысшую ненулевую внешнюю степень Λ ⁿ ( V ) иногда также называют определителем V и аналогичным образом для более сложных объектов, таких как векторные расслоения или цепные комплексы векторных пространств. Миноры матрицы также могут быть преобразованы в эту установку, рассматривая младшие альтернированные формы Λ ^k V с k < n .

Квадратные матрицы над коммутативными кольцами и абстрактные свойства [ править ]

Определитель также можно охарактеризовать как единственную функцию

${\displaystyle D:M_{n}(K)\to K}$

из набора всех матриц размера n × n с элементами в поле K в это поле, удовлетворяющее следующим трем свойствам: во-первых, D является n- линейной функцией: учитывая, что все, кроме одного столбца A, фиксированы, определитель линейен в оставшихся столбец, то есть

${\displaystyle D(v_{1},\dots ,v_{i-1},av_{i}+bw,v_{i+1},\dots ,v_{n})=aD(v_{1},\dots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\dots ,v_{n})+bD(v_{1},\dots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\dots ,v_{n})}$

для любых векторов-столбцов v ₁ , ..., v _n и w и любых скаляров (элементов K ) a и b . Во-вторых, D является переменной функцией: для любой матрицы A с двумя идентичными столбцами D ( A ) = 0 . Наконец, D ( I _n ) = 1 , где I _n - единичная матрица.

Этот факт также означает, что для любой другой n- линейной знакопеременной функции F : M _n ( K ) → K выполняется

${\displaystyle F(M)=F(I)D(M).}$

Это определение также может быть расширено , где К является коммутативным кольцом R , причем в этом случае матрица обратима тогда и только тогда , когда ее определитель является обратимым элементом в R . Например, матрица A с элементами в Z , целыми числами, является обратимой (в том смысле, что существует обратная матрица с целыми элементами), если определитель равен +1 или -1. Такая матрица называется унимодулярной .

Определитель определяет отображение

${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)\rightarrow R^{\times },}$

между группой обратимого п × п матриц с элементами из R и мультипликативной группы единиц в R . Поскольку оно учитывает умножение в обеих группах, это отображение является групповым гомоморфизмом . Во-вторых, для гомоморфизма колец f : R → S существует отображение GL _n (f) : GL _n ( R ) → GL _n ( S ), заданное заменой всех элементов в R их образами при f. Определитель учитывает эти отображения, т. Е. Для матрицы A = ( a _{i , j} ) с элементами в R тождество