Характеристический полином

В линейной алгебре , то характеристический полином из квадратной матрицы является многочленом , инвариантные относительно матрицы подобия и имеет собственные значения как корни . Среди его коэффициентов есть определитель и след матрицы. Характеристический полином из эндоморфизма из векторных пространств конечной размерности является характеристическим полиномом матрицы эндоморфизму над любым основанием; это не зависит от выбора основы . Характеристическое уравнение, также известное как детерминантное уравнение , ^[1]^[2]^[3] - это уравнение, полученное приравниванием нулю характеристического полинома.

В спектральной теории графов , то характеристический многочлен графа является характеристическим полиномом его матрицы смежности . ^[4]

Мотивация [ править ]

Учитывая квадратная матрица , мы хотим найти полином, нули которого являются собственные значения A . Для диагональной матрицы А , характеристический многочлен легко определить: если диагональные элементы являются ₁ , ₂ , ₃ и т.д. , то характеристический полином будет:

{\ Displaystyle (т-а_ {1}) (т-а_ {2}) (т-а_ {3}) \ cdots.}

Это работает, потому что диагональные элементы также являются собственными значениями этой матрицы.

Для общей матрицы A можно поступить следующим образом. Скаляр λ является собственным значением оператора A тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор v , называемый собственным вектором , такой, что

{\ Displaystyle A \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v},}

или, что то же самое,

{\ Displaystyle (\ лямбда IA) \ mathbf {v} = 0}

(где $I$ - единичная матрица ). Поскольку $v$ должно быть ненулевым, это означает, что матрица $λI - A$ имеет ненулевое ядро . Таким образом, эта матрица необратима , и то же самое верно для ее определителя , который, следовательно, должен быть равен нулю. Таким образом, собственные значения матрицы $A$ являются корнями функции $det (λI - A)$ , которая является многочленом от $λ$ .

Формальное определение [ править ]

Рассмотрим матрицу A размера n × n . Характеристический многочлен A , обозначаемый p _A ( t ), - это многочлен, определенный формулой ^[5]

{\ Displaystyle p_ {A} (t) = \ det \ left (tI-A \ right)}

где I обозначает единичную матрицу размера n × n .

Некоторые авторы определяют характеристический полином как $det (A - tI)$ . Этот многочлен отличается от указанного здесь знаком $(-1) n$ , поэтому он не имеет значения для таких свойств, как наличие в качестве корней собственных значений A ; однако приведенное выше определение всегда дает монический многочлен , тогда как альтернативное определение является моническим только тогда, когда n четно.

Примеры [ править ]

Предположим, мы хотим вычислить характеристический многочлен матрицы

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Вычислим определитель из

{\ Displaystyle tI-A = {\ begin {pmatrix} t-2 & -1 \\ 1 & t-0 \ end {pmatrix}}}

что характеристический полином A . ${\ Displaystyle (т-2) т-1 (-1) = т ^ {2} -2t + 1 \, \ !,}$

В другом примере используются гиперболические функции от гиперболического угла φ. В качестве матрицы возьмем

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \ cosh (\ varphi) & \ sinh (\ varphi) \\\ sinh (\ varphi) & \ cosh (\ varphi) \ end {pmatrix}}.}

Его характеристический полином равен

{\ displaystyle \ det (tI-A) = (t- \ cosh (\ varphi)) ^ {2} - \ sinh ^ {2} (\ varphi) = t ^ {2} -2t \ \ cosh (\ varphi ) + 1 = (te ^ {\ varphi}) (te ^ {- \ varphi}).}

Свойства [ править ]

Характеристический полином $р (т)$ из $п \times п$ матрицы унитарный (его старший коэффициент равен 1) и его степень $п$ . Наиболее важный факт о характеристическом полиноме уже упоминались в мотивационном пункте: собственные значения $А$ именно те корни из $р А (т)$ (это также справедливо и для минимального полинома от $А$ , но степень его может быть меньше , чем $п$ ) . Все коэффициенты характеристического полинома являются полиномиальными выражениямив элементах матрицы. В частности, его постоянный коэффициент $p A (0)$ равен $det (- A) = (-1) n det (A)$ , коэффициент при $t n$ равен единице, а коэффициент при $t n -1$ равен $tr (- A) = -tr ( )$ , где $тр ( )$ представляет собой след из $A$ . (Знаки, приведенные здесь, соответствуют формальному определению, данному в предыдущем разделе; ^[6] для альтернативного определения это вместо этого будет $det (A)$ и $(-1) n - 1 tr (A)$ соответственно. ^[7] )

Таким образом, для матрицы A 2 × 2 характеристический полином имеет вид

{\ displaystyle t ^ {2} - \ operatorname {tr} (A) t + \ det (A).}

Используя язык внешней алгебры , можно компактно выразить характеристический многочлен матрицы A размера n × n как

p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} (\wedge ^{k}A)

где тр (Λ ^к А) представляет собой след из к - ^й внешней степени из A , который имеет размерность . Этот след может быть вычислен как сумма всех главных миноров от А размера к . Рекурсивный алгоритм Фаддеева – Леверье вычисляет эти коэффициенты более эффективно. ${\tbinom {n}{k}}$

Когда характеристика в области коэффициентов равно 0, каждый такой след альтернативно может быть вычислен как одной детерминантов, что и $к \times K$ матрицы,

\operatorname {tr} (\Lambda ^{k}A)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.

Теорема Кэли – Гамильтона утверждает, что замена t на A в характеристическом полиноме (интерпретация результирующих степеней как степени матрицы, а постоянный член c как c, умноженный на единичную матрицу) дает нулевую матрицу. Неформально говоря, каждая матрица удовлетворяет собственному характеристическому уравнению. Это утверждение равносильно тому, что минимальный многочлен от А делит характеристический многочлен A .

Две одинаковые матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен. Обратное, однако, в общем случае неверно: две матрицы с одинаковым характеристическим полиномом не обязательно должны быть похожими.

Матрица A и ее транспонированная матрица имеют один и тот же характеристический многочлен. Матрица A похожа на треугольную матрицу тогда и только тогда, когда ее характеристический многочлен может быть полностью разложен на линейные множители над K (то же самое верно и с минимальным многочленом вместо характеристического многочлена). В этом случае A подобна матрице в жордановой нормальной форме .

Характеристический многочлен произведения двух матриц [ править ]

Если A и B - две квадратные матрицы размера n × n, то характеристические многочлены AB и BA совпадают:

p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,

Когда является несингулярное этот результат следует из того факта , что АВ и ВА являются похожи :

BA=A^{-1}(AB)A.

Для случая, когда как A, так и B особые, можно заметить, что желаемое тождество является равенством между многочленами от t и коэффициентами матриц. Таким образом, чтобы доказать это равенство, достаточно доказать, что оно проверяется на непустом открытом подмножестве (для обычной топологии или, в более общем смысле, для топологии Зарисского ) пространства всех коэффициентов. Поскольку неособые матрицы образуют такое открытое подмножество пространства всех матриц, это доказывает результат.

В более общем смысле, если A - матрица порядка m × n, а B - матрица порядка n × m , то AB - это матрица m × m, а BA - матрица размера n × n , и

p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,

Чтобы доказать это, можно предположить , п > т , путем обмена, в случае необходимости, и B . Затем, ограничив A снизу n - m строками нулей и B справа, n - m столбцами нулей, мы получим две матрицы A ' и B' размера n × n, такие что B'A ' = BA , а A'B ' равно AB, ограниченному n - mстроки и столбцы нулей. Результат следует из случая квадратных матриц из сравнения характеристических многочленов A'B ' и AB .

Характеристический многочлен A ^k [ править ]

Если - собственное значение квадратной матрицы A с собственным вектором v , то очевидно, что это собственное значение A ^k $\lambda$ $\lambda ^{k}$

A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.

Можно показать, что кратности также согласуются, и это обобщается на любой многочлен вместо : ^[8] $x^{k}$

Теорема - Пусть квадратная п × п матрица и многочлен. Если характеристический многочлен оператора A имеет факторизацию $f(t)$

p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})

то характеристический многочлен матрицы равен $f(A)$

p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).

То есть, алгебраическая кратность в равна сумме алгебраических кратностей в по такой, что . В частности, и . Здесь , например, многочлен вычисляется на матрице A просто как . $\lambda$ $f(A)$ $\lambda '$ $A$ $\lambda '$ $f(\lambda ')=\lambda$ $\operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})$ $\operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})$ $f(t)=t^{3}+1$ $f(A)=A^{3}+1$

Теорема применима к матрицам и многочленам над любым полем или коммутативным кольцом . ^[9] Однако предположение о факторизации в линейные множители не всегда верно, если только матрица не находится над алгебраически замкнутым полем, таким как комплексные числа. $p_{A}(t)$

Доказательство

Это доказательство применимо только к матрицам и многочленам над комплексными числами (или к любому алгебраически замкнутому полю). В этом случае характеристический многочлен любой квадратной матрицы всегда можно факторизовать как

p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})

где - собственные значения , возможно, повторяющиеся. Более того, теорема о разложении Жордана гарантирует, что любая квадратная матрица может быть разложена как , где - обратимая матрица и имеет верхний треугольник с на диагонали (причем каждое собственное значение повторяется в соответствии с его алгебраической кратностью). (Нормальная форма Жордана имеет более сильные свойства, но их достаточно; в качестве альтернативы можно использовать разложение Шура , которое менее популярно, но несколько легче доказать). $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ $A$ $A$ $A=S^{-1}US$ $S$ $U$ $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$

Пусть . потом $f(t)=\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}t^{i}$

f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S

.

Легко проверить наличие верхнетреугольной матрицы с диагональю , матрица является верхнетреугольной с диагональю в и, следовательно, верхнетреугольной с диагональю . Следовательно, собственные значения равны . Так как это похоже на , он имеет те же собственные значения, с теми же алгебраическими кратностями. $U$ $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ $U^{i}$ $\lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}$ $U^{i}$ $f(U)$ $f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n})$ $f(U)$ $f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n})$ $f(A)=S^{-1}f(U)S$ $f(U)$

Светская функция и светское уравнение [ править ]

Светская функция [ править ]

Термин секулярная функция использовался для обозначения того, что сейчас называется характеристическим полиномом (в некоторой литературе до сих пор используется термин секулярная функция). Термин происходит от того факта, что характеристический полином использовался для расчета вековых возмущений (в масштабе века, т.е. медленное по сравнению с годовым движением) планетных орбит, согласно теории колебаний Лагранжа .

Светское уравнение [ править ]

Светское уравнение может иметь несколько значений.

В линейной алгебре его иногда используют вместо характеристического уравнения.
В астрономии это алгебраическое или числовое выражение величины неравенств в движении планеты, которые остаются после того, как неравенства короткого периода были учтены. ^[10]

В расчетах молекулярных орбиталей, касающихся энергии электрона и его волновой функции, оно также используется вместо характеристического уравнения.

Для общих ассоциативных алгебр [ править ]

Приведенное выше определение характеристического полинома матрицы с элементами из поля F без каких-либо изменений обобщает случай, когда F - просто коммутативное кольцо . Гарибальди (2004) определяет характеристический многочлен для элементов произвольной конечномерной ( ассоциативной , но не обязательно коммутативной) алгебры над полем F и доказывает стандартные свойства характеристического многочлена в этой общности. $A\in M_{n}(F)$

См. Также [ править ]

Характеристическое уравнение (значения)
Минимальный многочлен (линейная алгебра)
Инварианты тензоров
Сопутствующая матрица
Алгоритм Фаддеева – Леверье
Теорема Кэли – Гамильтона
Алгоритм Самуэльсона – Берковица

Ссылки [ править ]

^ Guillemin, Эрнст (1953). Теория вводных схем . Вайли. стр. 366, 541. ISBN 0471330663. Выложите резюме .
^ Форсайт, Джордж Э .; Моцкин, Теодор (январь 1952 г.). «Расширение преобразования Гаусса для улучшения состояния систем линейных уравнений» (PDF) . Американское математическое общество - математика вычислений . 6 (37): 18–34. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1952-0048162-0 . Дата обращения 3 октября 2020 .
^ Франк, Эвелин (1946). «О нулях многочленов с комплексными коэффициентами» . Бюллетень Американского математического общества . 52 (2): 144–157. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1946-08526-2 . Дата обращения 3 октября 2020 . Выложите резюме .
^ "Характеристический полином графа - Wolfram MathWorld" . Проверено 26 августа 2011 года .
^ Стивен Роман (1992). Продвинутая линейная алгебра (2-е изд.). Springer. п. 137 . ISBN 3540978372.
^ Предложение 28 в этих конспектах лекции ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Теорема 4 в этих конспектах лекции
^ Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . С. 108–109, раздел 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6.
^ Лэнг, Серж (1993). Алгебра . Нью-Йорк: Спрингер. с.567, теорема 3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. OCLC 852792828 .
^ "Светское уравнение" . Проверено 21 января 2010 года .

TS Blyth & EF Robertson (1998) Basic Linear Algebra , p 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 .
Джон Б. Фрали и Раймонд А. Борегар (1990), линейная алгебра, 2-е издание, стр. 246, ISBN Аддисона-Уэсли 0-201-11949-8 .
Гарибальди, Скип (2004), «Характеристический полином и определитель не являются специальными конструкциями», American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778, arXiv : math / 0203276 , doi : 10.2307 / 4145188 , JSTOR 4145188 , MR 2104048
Вернер Грейб (1974), линейная алгебра, 4-е издание, стр. 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 .
Пол С. Шилдс (1980) Элементарная линейная алгебра, 3-е издание, стр. 274, ISBN Worth Publishers 0-87901-121-1 .
Гилберт Стрэнг (1988) Линейная алгебра и ее приложения, 3-е издание, стр. 246, Brooks / Cole ISBN 0-15-551005-3 .

[1] Guillemin, Эрнст (1953). Теория вводных схем . Вайли. стр. 366, 541. ISBN 0471330663. Выложите резюме .

[2] Форсайт, Джордж Э .; Моцкин, Теодор (январь 1952 г.). «Расширение преобразования Гаусса для улучшения состояния систем линейных уравнений» (PDF) . Американское математическое общество - математика вычислений . 6 (37): 18–34. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1952-0048162-0 . Дата обращения 3 октября 2020 .

[3] Франк, Эвелин (1946). «О нулях многочленов с комплексными коэффициентами» . Бюллетень Американского математического общества . 52 (2): 144–157. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1946-08526-2 . Дата обращения 3 октября 2020 . Выложите резюме .

[4] "Характеристический полином графа - Wolfram MathWorld" . Проверено 26 августа 2011 года .

[5] Стивен Роман (1992). Продвинутая линейная алгебра (2-е изд.). Springer. п. 137 . ISBN 3540978372.

[6] Предложение 28 в этих конспектах лекции ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[7] Теорема 4 в этих конспектах лекции

[8] Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . С. 108–109, раздел 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6.

[9] Лэнг, Серж (1993). Алгебра . Нью-Йорк: Спрингер. с.567, теорема 3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. OCLC 852792828 .

[10] "Светское уравнение" . Проверено 21 января 2010 года .

[1]