Обратимая матрица

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найти источники:  «Обратимая матрица»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В линейной алгебре , п матрицы с размерностью п квадратной матрицы называется обратимым (также неособым или невырожденным ), если существует п матрица с размерностью п квадратной матрица B таким образом, что

${\ Displaystyle \ mathbf {AB} = \ mathbf {BA} = \ mathbf {I} _ {п} \}$

где я _п обозначает в н матрице с размерностью п единичной матрицы , а умножение используется обычное умножение матриц . Если это так, то матрица B однозначно определяется A , и называется (мультипликативный) обратный из А , обозначаемый A ^-1 . ^{[1] [2]} Матрица инверсии является процесс нахождения матрицы B , которая удовлетворяет уравнению перед для данной обратимой матрицы А .

Квадратная матрица, не обратимы называется сингулярным или вырожденным . Квадратная матрица сингулярна тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. ^[3] Сингулярные матрицы встречаются редко в том смысле, что если элементы квадратной матрицы выбираются случайным образом из любой конечной области числовой прямой или комплексной плоскости, вероятность того, что матрица является сингулярной, равна 0, то есть «почти никогда» не будет. быть единичным. Non-квадратные матрицы ( т матрицу с размерностью п матриц , для которых м ≠ п ) не имеет обратного. Однако в некоторых случаях такая матрица может иметь левую обратнуюили прямо противоположное . Если является т матрицу с размерностью п и ранга из А равна п ( п ≤ м ), то имеет левый обратный, An в н матрицу с размерностью м матрицы B таким образом, что BA = I _н . Если A имеет ранг m ( m ≤ n ), то у него есть правая обратная матрица B размером n на m, такая что AB =Я _м .

Хотя наиболее распространенным случаем является матрица над действительными или комплексными числами, все эти определения могут быть даны для матриц над любым кольцом . Однако в случае коммутативности кольца условием обратимости квадратной матрицы является то, что ее определитель обратим в кольце, что в общем случае является более строгим требованием, чем ненулевое значение. Для некоммутативного кольца обычный определитель не определен. Условия существования левообратных или правообратных более сложны, так как понятие ранга не существует над кольцами.

Набор обратимых матриц размера n × n вместе с операцией умножения матриц (и элементами из кольца R ) образуют группу , общую линейную группу степени n , обозначаемую GL _n ( R ) . ^[1]

Свойства [ править ]

Теорема об обратимой матрице [ править ]

Пусть A будет квадратной матрицей n на n над полем K (например, полем R действительных чисел). Следующие утверждения эквивалентны (т. Е. Либо все они истинны, либо полностью ложны для любой данной матрицы): ^[4]

A обратимо, то есть A имеет обратный, невырожденный или невырожденный.

Является строкой-эквивалентно к N матрицы с размерностью п единичной матрицы I _н .

Является колонным эквивалентны к N матрицы с размерностью п единичной матрицы I _н .

A имеет n опорных позиций .

det A ≠ 0 . В общем, квадратная матрица над коммутативным кольцом обратима тогда и только тогда, когда ее определитель является единицей в этом кольце.

А имеет полный ранг; то есть ранг A = n .

Уравнение Ax = 0 имеет только тривиальное решение x  =  0 .

Ядро из А тривиально, то есть, он содержит только вектор нуль в качестве элемента, кег ( ) = { 0 }.

Уравнение Ax = b имеет ровно одно решение для каждого b в K ⁿ .

Столбцы А являются линейно независимыми .

Столбцы A образуют K ⁿ .

Col A = K ⁿ .

Столбцы А образуют базис в K ^н .

Отображение линейного преобразования x в Ax является биекцией из K ⁿ в K ⁿ .

Существует матрица B размером n x n такая, что AB = I _n = BA .

Транспонированная ^Т является обратимой матрицей (следовательно , ряды А являются линейно независимыми , пролет К ^п , и образуют основу из К ^п ).

Число 0 не является собственным значением из A .

Матрица A может быть выражена как конечное произведение элементарных матриц .

Матрица A имеет левую обратную (то есть существует B такая, что BA = I ) или правую обратную (то есть существует C такая, что AC = I ), и в этом случае существуют как левая, так и правая инверсия, и В = С = А ^-1 .

Другие свойства [ править ]

Кроме того, для обратимой матрицы A выполняются следующие свойства :

• ( А ^-1 ) ^-1 = А ;
• ( k A ) ⁻¹ = k ⁻¹ A ⁻¹ для ненулевого скаляра k ;
• ( Ax ) ⁺ = x ⁺ A ^−1, если A имеет ортонормированные столбцы, где ⁺ обозначает обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза, а x - вектор;
• ( A ^T ) ⁻¹ = ( A ⁻¹ ) ^T ;
• Для любого обратимого N матрицы с размерностью п матриц A и B , ( AB ) ^-1 = B ^-1 A ^-1 . В более общем смысле , если А ₁ , ..., _к обратимым п матрица с размерностью N матрицы, то ( _{1 2} ⋯ _{к -1 к} ) ^-1 =⁻¹
  _кА⁻¹
  _{к −1}⋯ А⁻¹
  ₂А⁻¹
  ₁;
• det A ⁻¹ = (det A ) ⁻¹ .

Строки обратной матрицы V матриц U являются ортонормированными к колонкам U (и наоборот перестановка строк для столбцов). Чтобы увидеть это, предположим, что UV = VU = I, где строки V обозначены как, а столбцы U как для . Тогда ясно, что это евклидов скалярное произведение любых двух . Это свойство также может быть полезно при построении обратной квадратной матрицы в некоторых случаях, когда набор ортогональных векторов (но не обязательно ортонормированных векторов) к столбцам матрицы U${\ Displaystyle v_ {я} ^ {\ mathrm {T}}}$${\ displaystyle u_ {j}}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я, J \ Leq п}$${\ displaystyle v_ {i} ^ {\ mathrm {T}} u_ {j} = \ delta _ {i, j}}$известны. В этом случае, можно применить итерационный процесс Грама-Шмидт к этому исходному набору для определения строк обратной V .

Матрица, которая является своей собственной обратной (т. Е. Матрица A такая, что A = A ⁻¹ и A ² = I ), называется инволютивной матрицей .

В отношении его дополнения [ править ]

Adjugate матрицы может быть использован , чтобы найти обратную следующим образом :${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Если - обратимая матрица, то${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det (A)}} \ operatorname {adj} (A).}$

По отношению к единичной матрице [ править ]

Из ассоциативности умножения матриц следует, что если

${\ Displaystyle \ mathbf {AB} = \ mathbf {I} \}$

для конечных квадратных матриц A и B , то также

${\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} \ }$^[5]

Плотность [ править ]

Над поля действительных чисел, множества особых п матрицы с размерностью п матриц, рассматриваемым как подмножество R ^{п × п} , является множество нуля , то есть, имеет лебегову меру нуля . Это верно, потому что особые матрицы являются корнями детерминантной функции. Это непрерывная функция, поскольку она является полиномом от элементов матрицы. Таким образом , на языке теории меры , почти все п матрицы с размерностью п матрицы обратимы.

Кроме того, п матрицы с размерностью п обратимых матрицами являются плотным открытым множеством в топологическом пространстве из всех N матрицы с размерностью п матриц. Эквивалентно, множество особых матриц закрыто , и нигде не плотно в пространстве п матрицы с размерностью п матриц.

Однако на практике можно встретить необратимые матрицы. И при численных расчетах матрицы, которые являются обратимыми, но близкими к необратимым, все еще могут быть проблематичными; такие матрицы называются плохо обусловленными .

Примеры [ править ]

Рассмотрим следующую матрицу 2 на 2:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.}$

Матрица обратимая. Чтобы проверить это, можно вычислить то , что не равно нулю. ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\textstyle \det \mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}}$

В качестве примера необратимой или сингулярной матрицы рассмотрим матрицу

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\{\tfrac {2}{3}}&-1\end{pmatrix}}.}$

Определитель равен 0, что является необходимым и достаточным условием необратимости матрицы.${\displaystyle \mathbf {B} }$

Методы обращения матриц [ править ]

Исключение Гаусса [ править ]

Исключение Гаусса – Жордана - это алгоритм, который можно использовать для определения, является ли данная матрица обратимой, и для нахождения обратной. Альтернативой является разложение LU , которое генерирует верхние и нижние треугольные матрицы, которые легче инвертировать.

Метод Ньютона [ править ]

Обобщение метода Ньютона, используемого для мультипликативного обратного алгоритма, может быть удобным, если удобно найти подходящее начальное начальное число:

${\displaystyle X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}.}$

Виктор Пэн и Джон Рейф проделали работу, которая включает способы создания начального семени. ^{[6] [7]} Журнал Byte резюмировал один из их подходов. ^[8]

Метод Ньютона особенно полезен при работе с семействами связанных матриц, которые ведут себя достаточно похоже на последовательность, созданную для гомотопии, описанной выше: иногда хорошей отправной точкой для уточнения приближения для новой обратной матрицы может быть уже полученная обратная матрица предыдущей, которая почти соответствует текущая матрица, например, пара последовательностей обратных матриц, используемая для получения квадратного корня матрицы с помощью итерации Денмана – Биверса ; для этого может потребоваться более одного прохода итерации в каждой новой матрице, если они не достаточно близко друг к другу, чтобы хватило только одного. Метод Ньютона также полезен для «доработки» поправок к алгоритму Гаусса – Джордана, который был загрязнен небольшими ошибками из-за несовершенной компьютерной арифметики .

Метод Кэли – Гамильтона [ править ]

Теорема Кэли – Гамильтона позволяет выразить обратное к выражению через , следы и степени : ^[9]${\displaystyle A}$${\displaystyle \det(A)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{l=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{l}\right)^{k_{l}},}$

где - размерность , а - след матрицы, заданный суммой главной диагонали. Сумма берется и все наборы удовлетворяют линейному диофантову уравнению${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k_{l}\geq 0}$

${\displaystyle s+\sum _{l=1}^{n-1}lk_{l}=n-1.}$

Формулу можно переписать в терминах полных многочленов Белла аргументов в виде${\displaystyle t_{l}=-(l-1)!\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=1}^{n}\mathbf {A} ^{s-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-s)!}}B_{n-s}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-s}).}$

Собственное разложение [ править ]

Если матрица может быть eigendecomposed, и если ни один из его собственных значений равны нулю, то не обратим и обратный дается

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1},}$

где есть квадрат ( N × N ) матрица , у которой я -й столбец является собственным вектором из , и является диагональной матрицей , диагональные элементы которой являются соответствующие собственные значения, то есть . Следовательно, если симметрична, то гарантированно будет ортогональной матрицей . Кроме того, поскольку матрица является диагональной, ее обратную матрицу легко вычислить:${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$${\displaystyle \Lambda _{ii}=\lambda _{i}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$

${\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.}$

Разложение Холецкого [ править ]

Если матрица является положительно определена , то его обратная можно получить как

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\left(\mathbf {L} ^{*}\right)^{-1}\mathbf {L} ^{-1},}$

где L является нижним треугольным Холецким разложением на А , а L * обозначает сопряженные транспонированную L .

Аналитическое решение [ править ]

Запись транспонированной матрицы кофакторов , известной как сопряженная матрица , также может быть эффективным способом вычисления обратного значения малых матриц, но этот рекурсивный метод неэффективен для больших матриц. Чтобы определить обратное, вычисляем матрицу сомножителей:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}}$

так что

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)}$

где | А | является фактором , определяющим из А , С является матрица кофакторов , и С ^Т представляет собой матрицу транспонирование .

Инверсия матриц 2 × 2 [ править ]

Уравнение кофактора перечисленных выше , дает следующий результат для 2 × 2 матриц. Инверсия этих матриц может быть произведена следующим образом: ^[10]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}$

Это возможно, потому что 1 / ( ad - bc ) является обратной величиной определителя рассматриваемой матрицы, и та же стратегия может быть использована для других размеров матриц.

Метод Кэли – Гамильтона дает

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right].}$

Инверсия матриц 3 × 3 [ править ]

Вычислительно эффективная инверсия матрицы 3 × 3 дается выражением

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$

(где скаляр A не следует путать с матрицей A ).

Если определитель не равен нулю, матрица обратима, а элементы промежуточной матрицы в правой части выше заданы формулой

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}}$

Определитель A можно вычислить, применив правило Сарруса следующим образом:

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=aA+bB+cC.}$

Разложение Кэли – Гамильтона дает

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right).}$

Общее обратное 3 × 3 может быть кратко выражено в терминах перекрестного произведения и тройного произведения . Если матрица (состоящий из трех векторов - столбцов, , , и ) обратим, то его обратная задается ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{0}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {x_{1}} \times \mathbf {x_{2}} )}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x_{2}} \times \mathbf {x_{0}} )}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x_{0}} \times \mathbf {x_{1}} )}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}.}$

Определитель матрицы А, равен тройной продукт , и -The объем параллелепипеда , образованные строки или столбцы: ${\displaystyle \det(\mathbf {A} )}$${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{1}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{2}} }$

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).}$

Правильность формулы можно проверить, используя свойства перекрестного и тройного произведения, а также отметив, что для групп всегда совпадают левые и правые инверсии. Интуитивно, из-за перекрестных произведений каждая строка ортогональна двум несоответствующим столбцам (в результате чего недиагональные члены равны нулю). Деление на ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} }$

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}$

приводит к тому, что диагональные элементы равны единице. Например, первая диагональ:${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} }$

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}}\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).}$

Инверсия матриц 4 × 4 [ править ]

С увеличением размерности выражения для обратной величины A усложняются. При n = 4 метод Кэли – Гамильтона приводит к выражению, которое все еще остается приемлемым:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right]\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right]+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}\right).}$

Блочная инверсия [ править ]

Матрицы также можно инвертировать поблочно , используя следующую формулу аналитического обращения:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

( 1 )

где A , B , C и D - матричные субблоки произвольного размера. ( A должен быть квадратным, чтобы его можно было инвертировать. Кроме того, A и D - CA ⁻¹ B должны быть невырожденными. ^[11] ) Эта стратегия особенно выгодна, если A диагональна, а D - CA ⁻¹ B ( алгоритм Шура дополнение к A ) является маленькой матрицей, так как это единственные матрицы, требующие инверсии.

Этот метод был изобретен несколько раз заново, и он принадлежит Гансу Больцу (1923), ^{[ необходима цитата ],} который использовал его для обращения геодезических матриц, и Тадеушу Банахевичу (1937), который обобщил его и доказал его правильность.

Теорема о нулевом значении говорит, что нулевое значение A равно нулю субблока в нижнем правом углу обратной матрицы, а нулевое значение B равно нулю субблока в верхнем правом углу обратной матрицы.

Процедура инверсии, которая привела к уравнению ( 1 ), выполняла операции матричного блока, которые сначала работали с C и D. Вместо этого, если сначала оперировать A и B , и при условии, что D и A - BD ⁻¹ C неособые, ^[12] результат будет

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

( 2 )

Приравнивание уравнений ( 1 ) и ( 2 ) приводит к

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{aligned}}}$

( 3 )

где уравнение ( 3 ) представляет собой матричное тождество Вудбери , что эквивалентно биномиальной обратной теореме .

Если A и D оба обратимы, то две вышеупомянутые инверсии блочной матрицы могут быть объединены, чтобы обеспечить простую факторизацию

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\left(\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {I} &-\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\\-\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {I} \end{bmatrix}}.}$

( 2 )

Согласно тождеству Вайнштейна – Ароншайна одна из двух матриц в блочно-диагональной матрице обратима в точности тогда, когда другая обратима.

Поскольку поблочное обращение матрицы размера n × n требует обращения двух матриц половинного размера и 6 умножений между двумя матрицами половинного размера, можно показать, что алгоритм разделяй и властвуй, который использует поблочное обращение для инвертирования матрицы, работает с тем же временная сложность как алгоритм умножения матриц, который используется внутри компании. ^[13] Существуют алгоритмы умножения матриц со сложностью O ( n ^2.3727 ) операций, в то время как лучшая доказанная нижняя граница - Ω ( n ² log n ) . ^[14]

Эта формула значительно упрощается, когда верхняя правая блочная матрица является нулевой матрицей. Эта формулировка полезна, когда матрицы и имеют относительно простые обратные формулы (или псевдообратные в случае, когда блоки не все квадратные. В этом частном случае формула обращения блочной матрицы, изложенная выше в полной общности, становится ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {0} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {0} \\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\mathbf {D} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Автор серии Neumann [ править ]

Если матрица A обладает свойством, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=0}$

тогда A невырожден, и его обратное может быть выражено рядом Неймана : ^[15]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}.}$

Усечение суммы приводит к «приблизительному» обратному результату, который может быть полезен в качестве предобуславливателя . Обратите внимание, что усеченный ряд можно ускорить экспоненциально, если учесть, что ряд Неймана представляет собой геометрическую сумму . Таким образом, он удовлетворяет

${\displaystyle \sum _{n=0}^{2^{L}-1}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=\prod _{l=0}^{L-1}\left(\mathbf {I} +(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{2^{l}}\right)}$.

Следовательно, для вычисления членов суммы необходимы только матричные умножения .${\displaystyle 2L-2}$${\displaystyle 2^{L}}$

В более общем смысле, если A находится «рядом» с обратимой матрицей X в том смысле, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {A} \right)^{n}=0\mathrm {~~or~~} \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {A} \mathbf {X} ^{-1}\right)^{n}=0}$

то A невырожден и обратный ему равен

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {A} )\right)^{n}\mathbf {X} ^{-1}~.}$

Если также верно, что A - X имеет ранг 1, то это упрощается до

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {X} ^{-1}-{\frac {\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\mathbf {X} ^{-1}}{1+\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\right)}}~.}$

p -адическое приближение [ править ]

Если A - матрица с целыми или рациональными коэффициентами, и мы ищем решение в рациональных числах произвольной точности , то метод p-адической аппроксимации сходится к точному решению в , предполагая, что используется стандартное умножение матриц. ^[16] Метод основан на решении n линейных систем с помощью метода p -адической аппроксимации Диксона (каждая в ) и доступен как таковой в программном обеспечении, специализирующемся на матричных операциях произвольной точности, например, в IML. ^[17]${\displaystyle O\left(n^{4}\log ^{2}n\right)}$${\displaystyle O\left(n^{3}\right)}$${\displaystyle O(n^{3}\log ^{2}n)}$

Метод взаимных базисных векторов [ править ]

Учитывая квадратная матрица , с рядами интерпретированы как векторы ( Einstein суммирование предполагается) , где есть стандартный ортонормированный базис в евклидовом пространстве ( ), а затем с помощью алгебры Клиффорда (или геометрическая алгебра ) вычислим обратное (иногда называемый двойной ) векторов - столбцов , как столбцы обратной матрицы . Обратите внимание, что место " " означает, что " " удалено из этого места в приведенном выше выражении для . Тогда мы имеем , где это Кронекера${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]}$${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=x^{ij}\mathbf {e} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}=x_{ji}\mathbf {e} ^{j}=(-1)^{i-1}(\mathbf {x} _{1}\wedge \cdots \wedge ()_{i}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})\cdot (\mathbf {x} _{1}\wedge \ \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}]}$${\displaystyle ()_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}$${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$. У нас тоже есть , по мере необходимости. Если векторы не являются линейно независимыми, то и матрица не обратима (не имеет обратной).${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle (\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})=0}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

Производная обратной матрицы [ править ]

Предположим, что обратимая матрица A зависит от параметра t . Тогда производная, обратная к A по t, равна ^[18]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.}$

Чтобы вывести приведенное выше выражение для производной обратной матрицы A , можно дифференцировать определение обратной матрицы, а затем решить для обратной матрицы A :${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {0} .}$

Вычитание из обеих частей вышеупомянутого и умножение справа на дает правильное выражение для производной обратного:${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.}$

Аналогично, если это небольшое число, то${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,.}$

В более общем смысле, если

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} ){\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}h_{i}(\mathbf {A} ),}$

тогда,

${\displaystyle f(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )=f(\mathbf {A} )+\varepsilon \sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} )\mathbf {X} h_{i}(\mathbf {A} )+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).}$

Учитывая положительное целое число ,${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{n}}{\mathrm {d} t}}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-n}}{\mathrm {d} t}}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}.\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).\end{aligned}}}$

Обобщенный обратный [ править ]

Некоторые свойства обратных матриц являются общими для обобщенных обратных матриц (например, обратная матрица Мура – ​​Пенроуза ), которая может быть определена для любой матрицы размера m на n .

Приложения [ править ]

Для большинства практических приложений нет необходимости инвертировать матрицу для решения системы линейных уравнений ; однако, для однозначного решения, то есть необходимо, чтобы матрица участвует обратимым.

Методы декомпозиции, такие как LU-декомпозиция , намного быстрее, чем инверсия, также были разработаны различные быстрые алгоритмы для специальных классов линейных систем.

Регрессия / метод наименьших квадратов [ править ]

Хотя явное обратное не требуется для оценки вектора неизвестных, это самый простой способ оценить их точность, находящуюся на диагонали обратной матрицы (матрица апостериорной ковариации вектора неизвестных). Однако во многих случаях известны более быстрые алгоритмы вычисления только диагональных элементов обратной матрицы. ^[19]

Обращение матриц в симуляциях в реальном времени [ править ]

Инверсия матриц играет важную роль в компьютерной графике , особенно в рендеринге трехмерной графики и трехмерном моделировании. Примеры включают преобразование лучей из экрана в мир , преобразования объектов из мира в подпространство в мир и физические симуляции.

Инверсия матрицы в беспроводной связи MIMO [ править ]

Инверсия матрицы также играет важную роль в технологии MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output) в беспроводной связи. Система MIMO состоит из N передающих и M приемных антенн. Уникальные сигналы, занимающие одну и ту же полосу частот, отправляются через N передающих антенн и принимаются через M приемных антенн. Сигнала , поступающего на каждой приемной антенны будет представлять собой линейную комбинацию из N передаваемых сигналов , образующих N  ×  M матрицу передачи H . Крайне важно, чтобы матрица H была обратимой, чтобы приемник мог вычислить передаваемую информацию.

См. Также [ править ]

• Биномиальная обратная теорема
• LU разложение
• Разложение матрицы
• Матричный квадратный корень
• Минор (линейная алгебра)
• Частичная обратная матрица
• Псевдообратный
• Разложение по сингулярным числам
• Тождество матрицы Вудбери

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• "Обращение матрицы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Стейн, Клиффорд (2001) [1990]. «28.4: Инвертирование матриц». Введение в алгоритмы (2-е изд.). MIT Press и McGraw-Hill. С. 755–760. ISBN 0-262-03293-7.
• Бернштейн, Деннис С. (2009). Матричная математика: теория, факты и формулы (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691140391- через Google Книги .
• Петерсен, Кааре Брандт; Педерсен, Майкл Сискинд (15 ноября 2012 г.). "Поваренная книга Матрицы" (PDF) . С. 17–23.

Внешние ссылки [ править ]

Использование внешних ссылок в этой статье может не соответствовать политикам или рекомендациям Википедии . Пожалуйста, улучшите эту статью , удалив лишние или неприемлемые внешние ссылки и преобразовав полезные ссылки, где это уместно, в сноски . ( Июнь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Сандерсон, Грант (15 августа 2016 г.). «Обратные матрицы, пространство столбцов и пустое пространство» . Суть линейной алгебры - через YouTube .
• Стрэнг, Гилберт. «Лекция по линейной алгебре по обратным матрицам» . MIT OpenCourseWare .
• Символьный калькулятор обратной матрицы с указанными шагами
• Обратная матрица Мура-Пенроуза