Почти наверняка

В теории вероятностей , событие , как говорят , произошло почти наверняка (иногда сокращенно , как ) , если это произойдет с вероятностью 1 (или меры Лебега 1). ^[1]^[2] Другими словами, множество возможных исключений может быть непустым, но оно имеет вероятность 0. Эта концепция по существу аналогична концепции « почти везде » в теории меры .

В вероятностных экспериментах на конечном пространстве выборок часто нет разницы между почти наверняка и наверняка (поскольку вероятность, равная 1, часто влечет за собой включение всех точек выборки ). Тем не менее, это различие становится важным , когда выборочное пространство представляет собой бесконечное множество , ^[3] , потому что бесконечное множество может иметь непустые подмножества вероятности 0.

Некоторые примеры использования этой концепции включают сильные и однородные версии закона больших чисел и непрерывность траекторий броуновского движения .

Также используются термины почти всегда (ac) и почти всегда (aa). Почти никогда не описывает противоположное почти наверняка : событие, которое происходит с нулевой вероятностью, почти никогда не случается . ^[1]^[4]

Формальное определение [ править ]

Позвольте быть вероятностным пространством . Событие происходит почти наверняка , если . Эквивалентное происходит почти наверняка , если вероятность не происходит в ноль : . В более общем смысле, любое событие (не обязательно в ) происходит почти наверняка, если оно содержится в нулевом наборе : подмножество в таком, что . ^[5] Понятие почти уверенности зависит от вероятностной меры . Если необходимо подчеркнуть эту зависимость, принято говорить, что событие происходит P -почти обязательно или почти наверняка . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle P (E) = 1}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle P (E ^ {C}) = 0}$ ${\ Displaystyle E \ substeq \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle E ^ {C}}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle P (N) = 0}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ Displaystyle \ влево (\! P \ вправо)}$

Наглядные примеры [ править ]

В общем, событие может произойти «почти наверняка», даже если рассматриваемое вероятностное пространство включает результаты, которые не принадлежат событию - как показывают следующие примеры.

Метание дротика [ править ]

Представьте, что вы бросаете дротик в единичный квадрат (квадрат с площадью 1) так, чтобы дротик всегда попадал в точную точку квадрата таким образом, чтобы каждая точка в квадрате была поражена с одинаковой вероятностью. Поскольку квадрат имеет площадь 1, вероятность того, что дротик поразит любую конкретную подобласть квадрата, равна площади этой подобласти. Например, вероятность того, что дротик попадет в правую половину квадрата, составляет 0,5, поскольку правая половина имеет площадь 0,5.

Затем рассмотрим случай, когда дротик попадает точно в точку на диагоналях единичного квадрата. Поскольку площадь диагоналей квадрата равна 0, вероятность того, что дротик приземлится точно по диагонали, равна 0. То есть дротик почти никогда не приземлится на диагональ (эквивалентно, он почти наверняка не приземлится на диагональ. ), даже если множество точек на диагоналях не пусто, и точка на диагонали не менее возможна, чем любая другая точка.

Повторное подбрасывание монеты [ править ]

Рассмотрим случай, когда подбрасывается (возможно, смещенная) монета, соответствующая вероятностному пространству , где событие происходит, если переворачивается голова, и если переворачивается хвост. Для этой конкретной монеты предполагается, что вероятность перевернуть голову равна , из чего следует, что событие дополнения, то есть подбрасывание хвоста, имеет вероятность . ${\ displaystyle (\ {H, T \}, 2 ^ {\ {H, T \}}, P)}$ ${\ displaystyle \ {H \}}$ ${\ displaystyle \ {T \}}$ ${\ Displaystyle P (H) = p \ in (0,1)}$ ${\ Displaystyle P (T) = 1-p}$

Теперь предположим, что был проведен эксперимент, в котором монета подбрасывается неоднократно, с исходами и предположением, что результат каждого подбрасывания не зависит от всех остальных (т.е. они независимы и одинаково распределены ; iid ). Определите последовательность случайных величин на поле для подбрасывания монеты, где . т.е. каждый записывает результат- го переворота. ${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ ldots}$ $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $X_{i}(\omega )=\omega _{i}$ $X_{i}$ $i$

В этом случае любая бесконечная последовательность орла и решки - возможный результат эксперимента. Однако любая конкретная бесконечная последовательность орла и решки имеет вероятность 0 быть точным результатом (бесконечного) эксперимента. Это связано с тем, что предположение iid подразумевает, что вероятность перевернуть все решки сальто проста . Разрешение дает 0, поскольку по предположению. Результат один и тот же независимо от того, насколько сильно мы склоняем монету к орлу, пока мы ограничиваемся строго между 0 и 1. Фактически, тот же результат сохраняется даже в нестандартном анализе - где бесконечно малые вероятности недопустимы. ^[6] $n$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $n\rightarrow \infty$ $p\in (0,1)$ $p$

Более того, событие «последовательность бросков содержит хотя бы один » тоже произойдет почти наверняка (то есть с вероятностью 1). Но если вместо бесконечного числа перестроек, листать останавливается через некоторое конечное время, скажем 1,000,000 переворачивается, то вероятность получить последовательность все-головок, , больше не будет 0, а вероятность получения по меньшей мере , один хвост, , больше не будет 1 (т. е. событие больше не является почти определенным). $T$ $p^{1,000,000}$ $1-p^{1,000,000}$

Асимптотически почти наверняка [ править ]

В асимптотическом анализе свойство называется асимптотически почти наверняка (aas), если по последовательности множеств вероятность сходится к 1. Например, в теории чисел большое число асимптотически почти наверняка составно согласно теореме о простых числах ; и в теории случайных графов , утверждение « это связано » (где обозначены графики на вершинах с вероятностью края ) является истинным ААС , когда для некоторых $G(n,p_{n})$ G ( n , p ) {\displaystyle G(n,p)} $n$ $p$ $\varepsilon >0$

p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.

^[7]

В теории чисел это называется « почти все », например «почти все числа составные». Точно так же в теории графов это иногда называют «почти наверняка». ^[8]

См. Также [ править ]

Почти
Практически везде соответствующее понятие в теории меры
Сходимость случайных величин для "почти надежной сходимости"
Правило Кромвеля , которое гласит, что вероятности почти никогда не должны приниматься равными нулю или единице
Вырожденное распределение для "почти наверняка постоянного"
Теорема о бесконечной обезьяне, теорема , использующая вышеупомянутые термины
Список математического жаргона

Примечания [ править ]

^ а б «Окончательный словарь высшего математического жаргона - почти» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 16 ноября 2019 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Почти наверняка» . mathworld.wolfram.com . Проверено 16 ноября 2019 .
^ "Почти наверняка - Math Central" . mathcentral.uregina.ca . Проверено 16 ноября 2019 .
^ Грэдель, Эрих; Колайтис, Phokion G .; Либкин, Леонид ; Маркс, Маартен; Спенсер, Джоэл; Варди, Моше Й .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (2007). Теория конечных моделей и ее приложения . Springer. п. 232 . ISBN 978-3-540-00428-8.
^ Жакод, Жан; Проттер (2004). Основы вероятности . Springer. п. 37 . ISBN 978-3-540-438717.
^ Уильямсон, Тимоти (2007-07-01). "Насколько вероятна бесконечная последовательность голов?" . Анализ . 67 (3): 173–180. DOI : 10.1093 / Analys / 67.3.173 . ISSN 0003-2638 .
^ Фридгут, Эхуд; Рёдль, Войтех; Ручинский, Анджей; Тетали, Прасад (январь 2006 г.). «Резкий порог для случайных графов с монохроматическим треугольником в каждой раскраске краев». Воспоминания Американского математического общества . Книжный магазин AMS. 179 (845): 3–4. DOI : 10,1090 / мемо / 0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .
^ Спенсер, Джоэл Х. (2001). «0. Два начальных примера» . Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. 22 . Springer. п. 4. ISBN 978-3540416548.

Ссылки [ править ]

Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы . 1: Основы. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521775946.
Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с мартингейлами . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521406055.

[:0-1] а б «Окончательный словарь высшего математического жаргона - почти» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 16 ноября 2019 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Почти наверняка» . mathworld.wolfram.com . Проверено 16 ноября 2019 .

[3] "Почти наверняка - Math Central" . mathcentral.uregina.ca . Проверено 16 ноября 2019 .

[Gradel-4] Грэдель, Эрих; Колайтис, Phokion G .; Либкин, Леонид ; Маркс, Маартен; Спенсер, Джоэл; Варди, Моше Й .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (2007). Теория конечных моделей и ее приложения . Springer. п. 232 . ISBN 978-3-540-00428-8.

[Jacod-5] Жакод, Жан; Проттер (2004). Основы вероятности . Springer. п. 37 . ISBN 978-3-540-438717.

[6] Уильямсон, Тимоти (2007-07-01). "Насколько вероятна бесконечная последовательность голов?" . Анализ . 67 (3): 173–180. DOI : 10.1093 / Analys / 67.3.173 . ISSN 0003-2638 .

[RandGraph-7] Фридгут, Эхуд; Рёдль, Войтех; Ручинский, Анджей; Тетали, Прасад (январь 2006 г.). «Резкий порог для случайных графов с монохроматическим треугольником в каждой раскраске краев». Воспоминания Американского математического общества . Книжный магазин AMS. 179 (845): 3–4. DOI : 10,1090 / мемо / 0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .

[Springer-8] Спенсер, Джоэл Х. (2001). «0. Два начальных примера» . Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. 22 . Springer. п. 4. ISBN 978-3540416548.

[1]