Общая линейная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , то линейная группа степени п есть множество п × п обратимых матриц , вместе с операцией обычного матричного умножения . Это формирует группу , потому что произведение двух обратимых матриц снова обратимо, а обратная обратимая матрица является обратимой, с единичной матрицей как единичным элементом группы. Группа названа так потому, что столбцы обратимой матрицы линейно независимы , поэтому определяемые ими векторы / точки находятся в общем линейном положении., а матрицы в общей линейной группе переводят точки общего линейного положения в точки общего линейного положения.

Чтобы быть более точным, необходимо указать, какие объекты могут появляться в элементах матрицы. Например, общая линейная группа над R (набор действительных чисел ) представляет собой группу обратимых матриц действительных чисел размера n × n и обозначается как GL _n ( R ) или GL ( n , R ) .

В более общем смысле, общая линейная группа степени n над любым полем F (например, комплексными числами ) или кольцом R (например, кольцом целых чисел ) представляет собой набор обратимых матриц размера n × n с элементами из F (или R ), опять же с матричным умножением в качестве групповой операции. ^[1] Типичное обозначение - GL _n ( F ) или GL ( n , F ) , или просто GL ( n ), если поле понятно.

В более общем плане общая линейная группа векторного пространства GL ( V ) - это группа абстрактных автоморфизмов , не обязательно записанная в виде матриц.

Специальная линейная группа , написанная SL ( п , Р ) или SL _п ( Р ), является подгруппой из GL ( п , F ) , состоящий из матриц с определителем 1.

Группу GL ( n , F ) и ее подгруппы часто называют линейными группами или матричными группами (абстрактная группа GL ( V ) является линейной группой, но не матричной группой). Эти группы важны в теории представлений групп , а также возникают при изучении пространственных симметрий и симметрий векторных пространств в целом, а также при изучении многочленов . Модульная группа может быть реализована как частное от деления специальной линейной группы SL (2, Z ) .

Если n ≥ 2 , то группа GL ( n , F ) не абелева .

Общая линейная группа векторного пространства [ править ]

Если V является векторным пространством над полем F , общая линейная группой V , написано GL ( V ) , или Aut ( V ), является группой всех автоморфизмов из V , т.е. множества всех биективного линейных преобразований V → V , вместе с функциональной композицией как групповая операция. Если V имеет конечную размерность п , то GL ( V ) и GL ( п , Р ) являются изоморфными. Изоморфизм не каноничен; это зависит от выбора основы в V . Учитывая базис ( е ₁ , ..., е _п ) из V и автоморфизм Т в GL ( V ), мы имеем то для каждого базисного вектора е _я , что

${\ displaystyle Te_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} e_ {j}}$

для некоторых констант a _ij в F ; матрица, соответствующая T , тогда будет просто матрицей с элементами, заданными a _ij .

Аналогичным образом для коммутативного кольца R группу GL ( n , R ) можно интерпретировать как группу автоморфизмов свободного R -модуля M ранга n . Можно также определить GL ( M ) для любого R -модуля, но в общем случае он не изоморфен GL ( n , R ) (для любого n ).

С точки зрения детерминантов [ править ]

Над полем F матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Следовательно, альтернативное определение GL ( n , F ) - это группа матриц с ненулевым определителем.

Над коммутативным кольцом R , более необходима осторожность: матрица над R обратим тогда и только тогда , когда ее определитель является блок в R , то есть, если ее определитель обратим в R . Следовательно, GL ( n , R ) можно определить как группу матриц, определители которых являются единицами.

В некоммутативном кольце R детерминанты ведут себя плохо. В этом случае, GL ( п , Р ) может быть определен как единичная группа в кольце матриц М ( п , R ) .

Как группа Ли [ править ]

Реальный случай [ править ]

Общая линейная группа GL ( n , R ) над полем действительных чисел является вещественной группой Ли размерности n ² . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что набор всех вещественных матриц размера n × n , M _n ( R ), образует вещественное векторное пространство размерности n ² . Подмножество GL ( n , R ) состоит из тех матриц, определитель которых отличен от нуля. Определитель является полиномиальным отображением, поэтому GL ( n ,R ) представляет собой открытое аффинное подмногообразие М _п ( Р ) (а непустое открытое подмножество М _п ( Р ) в топологии Зарисского ), иследовательно ^{, [2]} гладкое многообразие той же размерности.

Алгебра Ли из GL ( п , R ) , обозначается состоит из все п × п вещественных матриц с коммутатором , выступающим в качестве скобки Ли.${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n},}$

Как многообразие GL ( n , R ) не является связным, а имеет две компоненты связности : матрицы с положительным определителем и матрицы с отрицательным определителем. Компонент единицы , обозначаемый GL ⁺ ( n , R ) , состоит из вещественных матриц размера n × n с положительным определителем. Это также группа Ли размерности n ² ; он имеет ту же алгебру Ли, что и GL ( n , R ) .

Группа GL ( n , R ) также некомпактна . «» ^[3] максимальная компактная подгруппа в GL ( n , R ) - это ортогональная группа O ( n ), а «» максимальная компактная подгруппа в GL ⁺ ( n , R ) - это специальная ортогональная группа SO ( n ). Что касается SO ( n ), то группа GL ⁺ ( n , R ) не односвязна(кроме случаев, когда n = 1) , но имеет фундаментальную группу, изоморфную Z для n = 2 или Z ₂ для n > 2 .

Сложный случай [ править ]

Линейная группа над полем комплексных чисел , GL ( п , С ) , представляет собой комплекс группа Ли комплексной размерности п ² . Как реальная группа Ли (благодаря реализации) она имеет размерность 2 n ² . Набор всех вещественных матриц образует вещественную подгруппу Ли. Им соответствуют включения

GL ( n , R ) <GL ( n , C ) <GL ( 2n , R ),

которые имеют реальные размеры n ² , 2 n ² и 4 n ² = (2 n ) ² . Комплексные n -мерные матрицы могут быть охарактеризованы как вещественные 2 n -мерные матрицы, которые сохраняют линейную комплексную структуру - конкретно, коммутируют с такой матрицей J , что J ² = - I , где J соответствует умножению на мнимую единицу i .

Алгебра Ли , соответствующая GL ( п , С ) состоит из все п × п комплексных матриц с коммутатором , выступающим в качестве скобки Ли.

В отличие от реального случая, GL ( п , С ) будет подключен . Отчасти это следует из того, что мультипликативная группа комплексных чисел C ^∗ связна. Групповое многообразие GL ( n , C ) не компактно; скорее ее максимальная компактная подгруппа - это унитарная группа U ( n ). Что же касается U ( п ) группа многообразия GL ( п , С ) не просто соединены , но имеет фундаментальную группу , изоморфную Z .

По конечным полям [ править ]

Если F - конечное поле с q элементами, то мы иногда пишем GL ( n , q ) вместо GL ( n , F ) . При р простое, GL ( п , р ) является внешний автоморфизм группы из группы Z _р ^н , а также автоморфизм группы, так как Z _р ^п абелева, так что внутренняя группа автоморфизмов тривиальна.

Порядок GL ( n , q ) :

${\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q ^ {n} -q ^ {2}) \ \ cdots \ (q ^ {n} -q ^ {n-1}).}$

Это можно показать, посчитав возможные столбцы матрицы: первый столбец может быть любым, кроме нулевого вектора; второй столбец может быть любым, но не кратным первому столбцу; и в общем случае k- й столбец может быть любым вектором, не входящим в линейную оболочку первых k - 1 столбцов. В q -аналоговой записи это .${\ Displaystyle [п] _ {д}! (д-1) ^ {п} д ^ {п \ выбрать 2}}$

Например, GL (3, 2) имеет порядок (8-1) (8-2) (8-4) = 168 . Это группа автоморфизмов плоскости Фано и группы Z ₂ ³ , также известная как PSL (2, 7) .

В более общем смысле, можно подсчитывать точки грассманиана над F : другими словами, количество подпространств данной размерности k . Для этого требуется только найти порядок подгруппы стабилизатора одного такого подпространства и разделить его на только что приведенную формулу по теореме о стабилизаторе орбиты .

Эти формулы связаны с разложением Шуберта грассманиана, и Q -аналоги этих чисел Бетти сложных грассманианов. Это был один из ключей к предположениям Вейля .

Обратите внимание, что в пределе q ↦ 1 порядок GL ( n , q ) стремится к 0! - но при правильной процедуре (деление на ( q - 1) ⁿ ) мы видим, что это порядок симметрической группы (см. Статью Лоршейда) - в философии поля с одним элементом , таким образом, интерпретируется симметричная группа как полная линейная группа над полем с одним элементом: S _n ≅ GL ( n , 1) .

История [ править ]

Общая линейная группа над простым полем, GL ( ν , p ) , была построена, и ее порядок вычислен Эваристом Галуа в 1832 году в его последнем письме (к Шевалье) и второй (из трех) приложенных рукописях, которые он использовал в в контексте изучения группы Галуа общего уравнения порядка p ^ν . ^[4]

Специальная линейная группа [ править ]

Специальная линейная группа SL ( n , F ) - это группа всех матриц с определителем 1. Они особенные в том, что они лежат на подмногообразии - они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель является полиномом от элементов). Матрицы этого типа образуют группу, поскольку определитель произведения двух матриц является произведением определителей каждой матрицы. SL ( n , F ) - нормальная подгруппа в GL ( n , F ) .

Если мы пишем F ^× для мультипликативной группы из F ( за исключением 0), то определитель является гомоморфизмом

det: GL ( n , F ) → F ^× .

который сюръективен и его ядром является специальная линейная группа. Таким образом, по первой теореме изоморфизма , GL ( п , Р ) / SL ( п , Р ) является изоморфной к F ^× . Фактически, GL ( n , F ) можно записать как полупрямое произведение :

GL ( n , F ) = SL ( n , F ) ⋊ F ^×

Специальная линейная группа также производная группа (также известная как коммутанте) из GL ( п , F ) (для поля или кольца с разделением F ) при условии , что или к не поле с двумя элементами . ^[5]${\ Displaystyle п \ neq 2}$

Когда F является R или C , SL ( n , F ) является подгруппой Ли в GL ( n , F ) размерности n ² - 1 . Алгебра Ли из SL ( п , Р ) состоит из все п х п матриц над F с нулевым следом . Скобка Ли задается коммутатором .

Специальную линейную группу SL ( n , R ) можно охарактеризовать как группу сохраняющих объем и ориентацию линейных преобразований R ⁿ .

Группа SL ( n , C ) односвязна, а группа SL ( n , R ) - нет. SL ( n , R ) имеет ту же фундаментальную группу, что и GL ⁺ ( n , R ) , то есть Z для n = 2 и Z ₂ для n > 2 .

Другие подгруппы [ править ]

Диагональные подгруппы [ править ]

Множество всех обратимых диагональных матриц образует подгруппу в GL ( n , F ), изоморфную ( F ^× ) ⁿ . В таких полях, как R и C , они соответствуют изменению масштаба пространства; так называемые расширения и сжатия.

Скалярная матрица является диагональной матрицей , которая является постоянная раз единичной матрицей . Множество всех ненулевых скалярных матриц образует подгруппу в GL ( n , F ), изоморфную F ^× . Эта группа является центром из GL ( п , F ) . В частности, это нормальная абелева подгруппа.

Центр SL ( п , Р ) представляет собой просто набор всех скалярных матриц с единичным детерминантом, и изоморфна группе п - го корней из единицы в поле F .

Классические группы [ править ]

Так называемые классические группы являются подгруппами GL ( V ) , которые сохраняют некоторый вид билинейной формы на векторном пространстве V . К ним относятся

• ортогональная группа O ( V ), сохраняющая невырожденную квадратичную форму на V ,
• симплектическая группа Sp ( V ), сохраняющая симплектическую форму на V (невырожденную знакопеременную форму ),
• унитарная группа U ( V ), который, когда Р = С , сохраняет невырожденную эрмитову форму на V .

Эти группы являются важными примерами групп Ли.

Связанные группы и моноиды [ править ]

Проективная линейная группа [ править ]

Проективная группа PGL ( п , Р ) и проективное специальной линейной группы PSL ( п , F ) являются факторы из GL ( п , F ) и SL ( п , F ) со стороны своих центров (которые состоят из кратных единичная матрица в ней); они являются индуцированным действием на ассоциированном проективном пространстве .

Аффинная группа [ править ]

Аффинная группа Ут ( п , Р ) является продолжением из GL ( п , F ) группой сдвигов в F ^н . Его можно записать как полупрямое произведение :

Aff ( n , F ) = GL ( n , F ) ⋉ F ⁿ

где GL ( n , F ) действует на F ⁿ естественным образом. Аффинная группа может рассматриваться как группа всех аффинных преобразований в аффинном пространстве , лежащих в векторном пространстве F ^н .

Аналогичные конструкции имеются для других подгрупп общей линейной группы: например, специальная аффинная группа - это подгруппа, определяемая полупрямым произведением SL ( n , F ) ⋉ F ⁿ , а группа Пуанкаре - это аффинная группа, ассоциированная с Группа Лоренца , O (1, 3, F ) ⋉ F ⁿ .

Общая полулинейная группа [ править ]

Общая полулинейная группа & gamma ; l ( п , Р ) является группой всех обратимых полулинейными преобразований , и содержит GL. Полулинейное преобразование - это преобразование, которое является линейным «с точностью до поворота», что означает «с точностью до автоморфизма поля относительно скалярного умножения». Его можно записать как полупрямое произведение:

ΓL ( n , F ) = Gal ( F ) ⋉ GL ( n , F )

где Гал ( Р ) является группой Галуа из F (над его простым полем ), которое действует на GL ( п , F ) под действием Галуа на записи.

Главный интерес & gamma ; l ( п , F ) является то , что связанно проективной полулинейной группа PΓL ( п , Р ) (который содержит PGL ( п , Р )) является группой коллинеаций из проективного пространства , для п > 2 , и , таким образом полулинейные карты представляют интерес для проективной геометрии .

Полный линейный моноид [ править ]

Если снять ограничение на то, что определитель не равен нулю, полученная алгебраическая структура будет моноидом , обычно называемым полным линейным моноидом , ^{[6] [7] [8],} но иногда также полной линейной полугруппой , ^[9] общим линейным моноидом ^{[10] [11]} и т. Д. Это действительно регулярная полугруппа . ^[7]

Бесконечная общая линейная группа [ править ]

Бесконечная линейная группа или стабильная линейная группа является прямым пределом включений GL ( п , F ) → GL ( п + 1, F ) в качестве верхней левой матрицы блока . Он обозначается либо GL ( F ), либо GL (∞, F ) , а также может интерпретироваться как обратимые бесконечные матрицы, которые отличаются от единичной матрицы только в конечном числе мест. ^[12]

Он используется в алгебраической K-теории для определения K 1 , а над вещественными числами имеет хорошо понятную топологию благодаря периодичности Ботта .

Его не следует путать с пространством (ограниченных) обратимых операторов в гильбертовом пространстве , которое является более крупной группой и топологически намного проще, а именно стягиваемой - см . Теорему Койпера .

См. Также [ править ]

• Список конечных простых групп
• SL 2 ( R )
• Теория представлений SL 2 ( R )
• Представления классических групп Ли

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Общая линейная группа" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "GL (2, р ) и GL (3, 3) Действуя по очкам" от Ed Пегг, Jr. , Wolfram Demonstrations Project 2007.