Обратный элемент

В абстрактной алгебре идея обратного элемента обобщает понятия отрицания (смена знака) (по отношению к сложению ) и взаимности (по отношению к умножению ). Интуиция - это элемент, который может «отменить» эффект комбинации с другим заданным элементом. Хотя точное определение обратного элемента варьируется в зависимости от задействованной алгебраической структуры, эти определения совпадают в группе .

Слово «обратный» происходит от латинского : inversus, что означает «перевернутый вверх ногами», «перевернутый».

Формальные определения [ править ]

В единой магме [ править ]

Пусть будет единичная магма , то есть набор с бинарной операцией и элементом идентичности . Если, у нас есть , то называется левым обратным из и называется правым обратным из . Если элемент является как левым обратным и правой обратным , то называется двусторонний обратным , или просто обратный , из . Элемент с двусторонним обратным входом называется обратимым по входу . Элемент с обратным элементом только на одной стороне считается${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle *}$ ${\ displaystyle e \ in S}$${\ displaystyle a, b \ in S}$${\ displaystyle a * b = e}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$обратимый слева или обратимый справа .

Элементы единой магмы могут иметь несколько левых, правых или двусторонних инверсий. Например, в магме из таблицы Кэли${\displaystyle (S,*)}$

элементы 2 и 3 имеют по две двусторонние перевернутые.

Единичная магма, в которой все элементы обратимы, не обязательно должна быть петлей . Например, в магме из таблицы Кэли${\displaystyle (S,*)}$

каждый элемент имеет уникальную двустороннюю инверсию (а именно он сам), но не является циклом, потому что таблица Кэли не является латинским квадратом .${\displaystyle (S,*)}$

Точно так же петля не обязательно должна иметь двусторонние перевернутые. Например, в цикле таблицы Кэли

единственный элемент с двусторонним реверсом - это тождественный элемент 1.

Если операция является ассоциативной тогда , если элемент имеет как левый обратный и правый обратный, то они равны. Другими словами, в моноиде (ассоциативной единичной магме) каждый элемент имеет не более одного обратного (как определено в этом разделе). В моноиде, множество обратимых элементов является группа , называется группа единиц из , и обозначается или Н ₁ .${\displaystyle *}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U(S)}$

В полугруппе [ править ]

Определение в предыдущем разделе обобщает понятие инверсии в группе по отношению к понятию идентичности. Также возможно, хотя и менее очевидно, обобщить понятие инверсии, отбросив элемент идентичности, но сохранив ассоциативность, т. Е. В полугруппе .

В полугруппе S элемент x называется (фон Неймана) регулярным, если существует некоторый элемент z в S такой, что xzx = x ; z иногда называют псевдообратной . Элемент y называется (просто) обратным к x, если xyx = x и y = yxy . Каждый регулярный элемент имеет хотя бы один обратный: если x = xzx, то легко проверить, что y = zxzявляется инверсией x, как определено в этом разделе. Еще один факт, который легко доказать: если y является обратным к x, то e = xy и f = yx - идемпотенты , то есть ee = e и ff = f . Таким образом, каждая пара (взаимно) обратных элементов порождает два идемпотента, и ex = xf = x , ye = fy = y , а e действует как левое тождество на x , в то время какf действует как правая идентичность, а роли слева / справа меняются местами для y . Это простое наблюдение можно обобщить с помощью соотношений Грина : каждый идемпотент e в произвольной полугруппе является левым тождеством для R _e и правым тождеством для L _e . ^[1] Интуитивно понятное описание этого факта состоит в том, что каждая пара взаимно обратных элементов порождает локальную левую идентичность и, соответственно, локальную правую идентичность.

В моноиде понятие инверсии, как оно определено в предыдущем разделе, строго уже, чем определение, данное в этом разделе. Только элементы в зеленом классе H 1 имеют инверсию с точки зрения единичной магмы, тогда как для любого идемпотента e элементы H _e имеют инверсию, как определено в этом разделе. Согласно этому более общему определению, обратные не обязательно должны быть уникальными (или существовать) в произвольной полугруппе или моноиде. Если все элементы регулярны, то полугруппа (или моноид) называется регулярной, и каждый элемент имеет хотя бы один обратный. Если каждый элемент имеет ровно одну инверсию, как определено в этом разделе, то полугруппа называется инверсной полугруппой.. Наконец, инверсная полугруппа с одним идемпотентом - это группа. Инверсная полугруппа может иметь поглощающий элемент 0, потому что 000 = 0, тогда как группа может не иметь.

Вне теории полугрупп, единственный обратный, как определено в этом разделе, иногда называют квазиобратным . Обычно это оправдано, потому что в большинстве приложений (например, во всех примерах в этой статье) ассоциативность сохраняется, что делает это понятие обобщением левого / правого обратного по отношению к идентичности.

U -полугруппы [ править ]

Естественным обобщением обратной полугруппы является определение (произвольной) унарной операции ° такой, что ( а °) ° = а для всех а из S ; это наделяет S алгеброй типа ⟨2,1⟩. Полугруппа с такой операцией называется U -полугруппой . Хотя может показаться, что а ° будет обратным а , это не обязательно так. Для получения интересных понятий, унарная операция должна каким-то образом взаимодействовать с полугрупповой операцией. Изучены два класса U -полугрупп: ^[2]

• I -полугруппы , в которых аксиома взаимодействия аа ° а = а
• * -полугруппы , в которых аксиома взаимодействия ( ab ) ° = b ° a °. Такая операция называется инволюцией , и обычно обозначается*

Ясно, что группа является одновременно I -полугруппой и * -полугруппой. Класс полугрупп, важный в теории полугрупп, - это вполне регулярные полугруппы ; это I -полугруппы, в которых дополнительно аа ° = а ° а ; другими словами, каждый элемент имеет коммутирующую псевдообратную а °. Однако конкретных примеров таких полугрупп немного; большинство из них являются полностью простыми полугруппами . Напротив, подкласс * -полугрупп, * -регулярные полугруппы (в смысле Дразина), дают один из наиболее известных примеров (уникальной) псевдообратной, обратной Мура – ​​Пенроуза . Однако в этом случае инволюцияa * не является псевдообратным. Скорее, псевдообратным к x является уникальный элемент y, такой что xyx = x , yxy = y , ( xy ) * = xy , ( yx ) * = yx . Поскольку * -регулярные полугруппы являются обобщением инверсных полугрупп, единственный элемент, определенный таким образом в * -регулярной полугруппе, называется обобщенной обратной полугруппой или обратным Пенроуза – Мура .

Кольца и полукольца [ править ]

Примеры [ править ]

Все примеры в этом разделе включают ассоциативные операторы, поэтому мы будем использовать термины, обратные слева / справа для определения, основанного на единичной магме, и квазиобратные для его более общей версии.

Реальные числа [ править ]

Каждое вещественное число имеет аддитивную инверсию (т.е., обратный по отношению к дополнению ) дается . Каждое ненулевое действительное число имеет мультипликативное обратное (т. Е. Обратное по отношению к умножению ), заданное как (или ). Напротив, у нуля нет мультипликативного обратного, но он имеет уникальный квазиобратный " " сам.${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle 0}$

Функции и частичные функции [ править ]

Функция является левой (соответственно правой) обратной по отношению к функции (для композиции функций ) тогда и только тогда, когда (соответственно ) является тождественной функцией в области (соответственно codomain ) . Часто пишут инверсию функции , но иногда это обозначение неоднозначно . Только биекции имеют двусторонние обратные, но любая функция имеет квазиобратные, т. Е. Полный моноид преобразований регулярен. Моноид частичных функций также является регулярным, тогда как моноид инъективных частичных преобразований${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$ является прототипной обратной полугруппой.

Связи Галуа [ править ]

Нижний и верхний сопряжения в (монотонной) связности Галуа , L и G являются квазиобратными друг другу, т.е. LGL = L и GLG = G, и одно однозначно определяет другое. Однако они не противоположны друг другу слева или справа.

Матрицы [ править ]

Квадратная матрица с элементами в поле обратим (в множестве всех квадратных матриц одного и того же размера, в соответствии с матричным умножением ) , если и только если ее определитель отличен от нуля. Если определитель равен нулю, он не может иметь одностороннего обратного; поэтому левый обратный или правый обратный подразумевает существование другого. См. Обратимую матрицу для получения дополнительной информации.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$

В более общем смысле квадратная матрица над коммутативным кольцом обратима тогда и только тогда, когда ее определитель обратим в .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Неквадратные матрицы полного ранга имеют несколько односторонних обратных: ^[3]

• Ибо у нас остались обратные, например:${\displaystyle A:m\times n\mid m>n}$${\displaystyle \underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}}$
• Ибо у нас есть правильные обратные, например:${\displaystyle A:m\times n\mid m<n}$${\displaystyle A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}}$

Левая обратная величина может использоваться для определения решения с наименьшей нормой , которое также является формулой наименьших квадратов для регрессии и определяется выражением${\displaystyle Ax=b}$${\displaystyle x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.}$

Нет ранг дефицитной матрицы не имеет какой - либо (даже односторонний) обратную. Однако обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза существует для всех матриц и совпадает с левым или правым (или истинным) обратным, если оно существует.

В качестве примера обратных матриц рассмотрим:

${\displaystyle A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}$

Итак, поскольку m < n , у нас есть правый обратный, по компонентам он вычисляется как${\displaystyle A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}}$

Левая инверсия не существует, потому что

${\displaystyle A^{\text{T}}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}}$

которая является сингулярной матрицей и не может быть обращена.

См. Также [ править ]

• Петля (алгебра)
• Дивизионное кольцо
• Единица (теория колец)
• Латинская площадь собственности

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• М. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, акты и категории с приложениями к сплетениям и графам , Экспозиции Де Грюйтера по математике, т. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , стр. 15 (def в единичной магме) и стр. 33 (def в полугруппе)
• Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп . Кларендон Пресс . ISBN 0-19-851194-9. содержит весь материал о полугруппах, кроме * -регулярных полугрупп.
• Дразин М. П. Регулярные полугруппы с инволюцией // Тр. Symp. о регулярных полугруппах (DeKalb, 1979), 29–46.
• Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах , Semigroup Forum , 24 (1), декабрь 1982 г., стр. 173–187.
• Нордаль, Т.Э., и Г.Е. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Форум полугрупп , 16 (1978), 369–377.