Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике регулярная полугруппа - это полугруппа S, в которой каждый элемент регулярен , т. Е. Для каждого элемента a в S существует элемент x в S такой, что axa = a . [1] Регулярные полугруппы - один из наиболее изученных классов полугрупп, и их структура особенно удобна для изучения с помощью соотношений Грина . [2]

История [ править ]

Регулярные полугруппы были введены Дж. А. Грином в его влиятельной статье 1951 г. «О строении полугрупп»; в этой же статье были представлены отношения Грина . Понятие регулярности в полугруппе было адаптировано из аналогичного условия для колец , уже рассмотренного Джоном фон Нейманом . [3] Именно изучение Грина регулярных полугрупп привело его к определению своих знаменитых отношений . Согласно сноске в Green 1951, предложение о применении понятия регулярности к полугруппам было впервые сделано Дэвидом Рисом .

Термин инверсивная полугруппа (фр. Demi-groupe inversif) исторически использовался в качестве синонима в работах Габриэля Тьеррена (ученика Поля Дюбрейля ) в 1950-х годах [4] [5] и до сих пор иногда используется. [6]

Основы [ править ]

Есть два эквивалентных способа определить регулярную полугруппу S :

(1) для каждого а в S , существует й в S , которая называется Псевдообратной , [7] с AXA = ;
(2) каждый элемент a имеет хотя бы один обратный элемент b в том смысле, что aba = a и bab = b .

Чтобы убедиться в эквивалентности этих определений, сначала предположим, что S определяется формулой (2). Тогда b служит искомым x в (1). И наоборот, если S определяется формулой (1), то xax является обратным для a , поскольку a ( xax ) a = axa ( xa ) = axa = a и ( xax ) a ( xax ) = x ( axa ) ( xax ) = ха ( хах ) = х (аха ) х = хах . [8]

Множество обратных (в указанном выше смысле) элемента a в произвольной полугруппе S обозначается V ( a ). [9] Таким образом, другой способ выражения определения (2) выше, чтобы сказать , что в регулярной полугруппы, V ( ) не пусто, для каждого а в S . Произведение любого элемента a с любым b в V ( a ) всегда идемпотентно : abab = ab , поскольку aba = a . [10]

Примеры регулярных полугрупп [ править ]

Уникальные обратные и уникальные псевдообратные [ править ]

Регулярная полугруппа, в которой идемпотенты коммутируют (с идемпотентами), является инверсной полугруппой , или, что эквивалентно, каждый элемент имеет единственный инверсный. Чтобы убедиться в этом, пусть S - регулярная полугруппа, в которой коммутируют идемпотенты. Тогда каждый элемент S имеет хотя бы один обратный. Предположим, что a в S имеет два обратных b и c , т. Е.

aba = a , bab = b , aca = a и cac = c . Также ab , ba , ac и ca являются идемпотентами, как указано выше.

потом

b = bab = b ( aca ) b = bac ( a ) b = bac ( aca ) b = bac ( ac ) ( ab ) = bac ( ab ) ( ac ) = ba ( ca ) bac = ca ( ba ) bac = c ( aba ) bac = cabac = cac =c .

Итак, коммутируя пары идемпотентов ab & ac и ba & ca , показано , что инверсия a уникальна. Наоборот, можно показать, что любая инверсная полугруппа является регулярной полугруппой, в которой коммутируют идемпотенты. [12]

Существование уникальной псевдообратной модели подразумевает существование единственной инверсии, но обратное неверно. Например, в симметричной обратной полугруппе пустое преобразование Ø не имеет уникального псевдообратного преобразования, поскольку Ø = Ø f Ø для любого преобразования f . Однако обратное к Ø уникально, потому что только один f удовлетворяет дополнительному ограничению f = f Ø f , а именно f = Ø. Это замечание справедливо в более общем смысле для любой полугруппы с нулем. Кроме того, если каждый элемент имеет уникальную псевдообратную форму, то полугруппа является группой, а единственный псевдообратный элемент совпадает с групповым обратным. [13]

Отношения Грина [ править ]

Напомним, что главные идеалы полугруппы S определены в терминах S 1 , полугруппы с присоединенной единицей ; это должно гарантировать, что элемент a принадлежит основным правым, левым и двусторонним идеалам, которые он порождает. Однако в регулярной полугруппе S элемент a = axa автоматически принадлежит этим идеалам, не прибегая к примыканию к тождеству. Следовательно , отношения Грина могут быть переопределены для регулярных полугрупп следующим образом:

тогда и только тогда, когда Sa = Sb ;
тогда и только тогда, когда aS = bS ;
тогда и только тогда, когда SaS = SbS . [14]

В регулярной полугруппе S каждый - и -класс содержит хотя бы один идемпотент . Если a - любой элемент из S, а a ' - это любой обратный элемент для a , то a связано с a'a и связано с aa' . [15]

Теорема. Пусть S - регулярная полугруппа; пусть и б быть элементами S , и пусть V (х) обозначим множество обратных х в S . потом

  • если и существуют такие a ' в V ( a ) и b' в V ( b ), что a'a = b'b ;
  • если существуют такие a ' в V ( a ) и b' в V ( b ), что aa ' = bb' ,
  • тогда и только тогда, когда существуют a ' в V ( a ) и b' в V ( b ), такие что a'a = b'b и aa ' = bb' . [16]

Если S - инверсная полугруппа , то идемпотент в каждом - и -классе уникален. [12]

Специальные классы регулярных полугрупп [ править ]

Некоторые специальные классы регулярных полугрупп: [17]

  • Локально инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S является локально обратным , если ESE инверсной полугруппы, для каждого идемпотентных е .
  • Православные полугруппы : регулярная полугруппа S является ортодоксальным , если его подмножество идемпотентов образует подполугруппу.
  • Обобщенные инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S называется обобщенной инверсной полугруппой, если ее идемпотенты образуют нормальную ленту, т. Е. Xyzx = xzyx для всех идемпотентов x , y , z .

Класс обобщенных инверсных полугрупп является пересечением класса локально инверсных полугрупп и класс ортодоксальных полугрупп. [18]

Все обратные полугруппы ортодоксальны и локально обратны. Обратные утверждения неверны.

Обобщения [ править ]

  • в конечном итоге регулярная полугруппа
  • E -плотная (также известная как E -инверсивная) полугруппа

См. Также [ править ]

  • Бордовый набор
  • Специальные классы полугрупп
  • Nambooripad порядок

Ссылки [ править ]

  1. Перейти ↑ Howie 1995 p. 54
  2. ^ Хауи 2002.
  3. ^ фон Нейман 1936.
  4. ↑ Кристофер Холлингс (16 июля 2014 г.). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 181. ISBN. 978-1-4704-1493-1.
  5. ^ http://www.csd.uwo.ca/~gab/pubr.html
  6. ^ Джонатан С. Голан (1999). Степенные алгебры над полукольцами: с приложениями в математике и информатике . Springer Science & Business Media. п. 104. ISBN 978-0-7923-5834-3.
  7. ^ Klip, Кнауэр и Михалев: р. 33
  8. ^ Клиффорд и Престон 2010 Лемма 1.14.
  9. Перейти ↑ Howie 1995 p. 52
  10. ^ Клиффорд и Престон 2010 стр. 26 год
  11. ^ Хауи 1995 Лемма 2.4.4
  12. ^ a b Хауи 1995 Теорема 5.1.1
  13. ^ Доказательство: https://planetmath.org/acharacterizationofgroups
  14. Перейти ↑ Howie 1995 p. 55
  15. ^ Клиффорд и Престон 2010 Лемма 1.13
  16. ^ Howie 1995 Предложение 2.4.1
  17. ^ Хауи 1995 гл. 6, § 2.4
  18. Перейти ↑ Howie 1995 p. 222

Источники [ править ]

  • Клиффорд, Альфред Хоблитцель ; Престон, Гордон Бэмфорд (2010) [1967]. Алгебраическая теория полугрупп . 2 . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4.
  • Хауи, Джон Макинтош (1995). Основы теории полугрупп (1-е изд.). Кларендон Пресс . ISBN 978-0-19-851194-6.
  • М. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, акты и категории с приложениями к сплетениям и графам , Экспозиции Де Грюйтера по математике, т. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN 3-11-015248-7 . 
  • Дж. А. Грин (1951). «О строении полугрупп». Анналы математики . Вторая серия. 54 (1): 163–172. DOI : 10.2307 / 1969317 . hdl : 10338.dmlcz / 100067 . JSTOR  1969317 .
  • JM Howie, Полугруппы, прошлое, настоящее и будущее, Труды Международной конференции по алгебре и ее приложениям , 2002, 6–20.
  • Дж. Фон Нейман (1936). «На обычных кольцах» . Труды Национальной академии наук США . 22 (12): 707–713. DOI : 10.1073 / pnas.22.12.707 . PMC  1076849 . PMID  16577757 .