В математике , A группа (также называется идемпотентной ) является полугруппой , в которой каждый элемент является идемпотентным (другими словами , равным его собственной площади). Группы были впервые изучены и названы А. Х. Клиффордом ( 1954 ); решетка из разновидностей полос был описан независимо в начале 1970 - х годов Бирюков, Fennemore и Герхард. [1] Полурешётки , левые нулевые полосы , правый-нулевые полосы , прямоугольные полосы , нормальные полосы , левые обычные полосы ,Правильные полосы и регулярные полосы , особые подклассы полос, лежащие около дна этой решетки, представляют особый интерес и кратко описаны ниже.
Разновидности лент
Класс лент образует многообразие, если он замкнут относительно образования подполугрупп, гомоморфных образов и прямого произведения . Каждую разновидность полос можно определить с помощью одного определяющего идентификатора . [2]
Полурешетки
Полурешетки - это в точности коммутативные связки ; то есть это полосы, удовлетворяющие уравнению
- xy = yx для всех x и y .
Бэнды вызывают предварительный заказ, который можно определить как если и только если . Требование коммутативности означает, что этот предпорядок становится (полурешетчатым) частичным порядком.
Нулевые полосы
Влево от нуля группой является группа , удовлетворяющая уравнению
- ху = х ,
откуда в его таблице Кэли есть постоянные строки.
Симметрично, полоса с правым нулем - это такая, удовлетворяющая
- ху = у ,
так что таблица Кэли имеет постоянные столбцы.
Прямоугольные ленты
Прямоугольная полоса является группа S , удовлетворяющая
- xyx = x для всех x , y ∈ S ,
или, что эквивалентно,
- xyz = xz для всех x , y , z ∈ S ,
Вторая характеристика явно подразумевает первую, и, наоборот, первая подразумевает xyz = xy ( zxz ) = ( x ( yz ) x ) z = xz .
Существует полная классификация прямоугольных лент. Для произвольных множеств I и J можно определить полугрупповую операцию на I × J , положив
Полученная полугруппа представляет собой прямоугольную ленту, поскольку
- для любой пары ( i , j ) имеем ( i , j ) · ( i , j ) = ( i , j )
- для любых двух пар ( i x , j x ) , ( i y , j y ) имеем
Фактически, любая прямоугольная лента изоморфна одной из приведенных выше форм (либо пусто, или выберите любой элемент , а потом () определяет изоморфизм ). Полосы левого нуля и правого нуля являются прямоугольными полосами, и на самом деле каждая прямоугольная полоса изоморфна прямому произведению полосы левого нуля и полосы правого нуля. Все прямоугольные ленты простого порядка являются нулевыми полосами, либо левыми, либо правыми. Прямоугольная лента называется чисто прямоугольной, если она не является полосой с нулевым левым или правым нулем. [3]
В категорическом языке, можно сказать , что категория непустых прямоугольных полос эквивалентна для, где - категория с непустыми множествами как объектами и функциями как морфизмами. Это означает, что не только каждая непустая прямоугольная лента изоморфна полосе, исходящей из пары множеств, но также эти множества однозначно определены с точностью до канонического изоморфизма, и все гомоморфизмы между полосами происходят из пар функций между множествами. [4] Если в приведенном выше результате набор I пуст, прямоугольная полоса I × J не зависит от J , и наоборот. Вот почему приведенный выше результат дает эквивалентность только между непустыми прямоугольными полосами и парами непустых множеств.
Прямоугольные связки также являются T -алгебрами, где T - монада на Set с T ( X ) = X × X , T ( f ) = f × f , будучи диагональной картой , а также .
Нормальные полосы
Нормальная группа является группа S , удовлетворяющая
- zxyz = zyxz для всех х , у и г ∈ S .
Это то же уравнение, которое используется для определения медиальных магм , поэтому нормальная полоса также может называться медиальной полосой, а нормальные полосы являются примерами медиальных магм. [3] Мы также можем сказать, что нормальная полоса - это полоса S, удовлетворяющая
- axyb = ayxb для всех в , б , х и у ∈ S .
Лево-регулярные полосы
Левый регулярная группа является группа S , удовлетворяющая
- xyx = xy для всех x , y ∈ S
Если мы возьмем полугруппу и определим a ≤ b тогда и только тогда, когда ab = b , мы получим частичный порядок тогда и только тогда, когда эта полугруппа является левой регулярной связкой. Таким образом, левые регулярные полосы естественным образом проявляются при изучении посетов . [5]
Правые регулярные полосы
Правая регулярна группой является группа S , удовлетворяющей
- xyx = yx для всех x , y ∈ S
Любая правая регулярная полоса превращается в левую регулярную полосу с использованием противоположного произведения. Действительно, у каждого разнообразия групп есть «противоположная» версия; это приводит к отражательной симметрии на рисунке ниже.
Регулярные группы
Обычная полоса - это полоса S, удовлетворяющая
- zxzyz = zxyz для всех x , y , z ∈ S
Решетка разновидностей
Будучи частично упорядоченными по включению, разновидности лент естественным образом образуют решетку , в которой пересечение двух разновидностей является их пересечением, а соединение двух разновидностей - наименьшим многообразием, содержащим их обе. Полная структура этой решетки известна; в частности, он счетный , полный и распределительный . [1] Подрешетка, состоящая из 13 разновидностей регулярных лент, показана на рисунке. Многообразия зон левых нулей, полурешеток и правых нулей - это три атома (нетривиальные минимальные элементы) этой решетки.
Каждая разновидность полос, показанная на рисунке, определяется только одним идентификатором. Это не совпадение: на самом деле, каждое разнообразие полос можно определить с помощью одного идентификатора. [1]
Смотрите также
- Булево кольцо , кольцо, в котором каждый элемент (мультипликативно) идемпотентен
- Нигде коммутативная полугруппа
- Специальные классы полугрупп
- Православная полугруппа
- Обратимый клеточный автомат § Одномерные автоматы
Заметки
- ^ a b c Бирюков (1970) ; Феннемор (1970) ; Герхард (1970) ; Герхард и Петрич (1989) .
- ^ Fennemore (1970) .
- ^ а б Ямада (1971) .
- ^ Хауи (1995) .
- ^ Браун (2000) .
Рекомендации
- Бирюков, А. П. (1970), "Разновидности идемпотентными полугрупп", Алгебра и логика , 9 (3): 153-164, DOI : 10.1007 / BF02218673.
- Браун, Кен (2000), "Полугруппы, кольца и цепи Маркова", J. Теорет. Вероятно. , 13 : 871–938, arXiv : math / 0006145 , Bibcode : 2000math ...... 6145B.
- Клиффорд, Альфред Hoblitzelle (1954), "Банды полугрупп", Труды Американского математического общества , 5 : 499-504, DOI : 10,1090 / S0002-9939-1954-0062119-9 , MR 0062119.
- Клиффорд, Альфред Хоблитцель ; Престон, Гордон Бэмфорд (1972), Алгебраическая теория полугрупп , М .: Мир.
- Fennemore, Чарльз (1970), "Все разновидности групп", Полугрупповой форум , 1 (1): 172-179, DOI : 10.1007 / BF02573031.
- Герхард, JA (1970), "Решетка эквациональных классов идемпотентных полугрупп", журнал алгебры , 15 (2): 195-224, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (70) 90073-6 , ЛВП : 10338.dmlcz / 128238.
- Gerhard, JA; Петрич, Марио (1989), "Разновидность групп Revisited", Труды Лондонского математического общества , 3 : 323-350, DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-58.2.323.
- Хауи, Джон М. (1995), Основы теории полугрупп , Oxford U. Press, ISBN 978-0-19-851194-6.
- Надь, Аттила (2001), специальные классы полугрупп , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6890-8.
- Ямада, Миюки (1971), "Обратите внимание на эксклюзивных полугрупп", Полугрупповой Форум , 3 (1): 160-167, DOI : 10.1007 / BF02572956.