Прямой продукт

В математике часто можно определить прямое произведение уже известных объектов, дав новое. Это обобщает декартово произведение базовых множеств вместе с соответствующим образом определенной структурой на множестве продуктов. Более абстрактно о продукте говорят в теории категорий , которая формализует эти понятия.

Примерами являются произведения множеств, групп (описанных ниже), колец и других алгебраических структур . Продукт из топологических пространств еще один пример. ^{[ сомнительно - обсудить ]}

Существует также прямая сумма - в некоторых областях это используется как синонимы, в то время как в других это другое понятие.

Примеры [ править ]

Если мы думаем о множестве действительных чисел, то прямое произведение - это просто декартово произведение . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$
Если мы думаем , как группа действительных чисел по сложению, то прямое произведение до сих пор в качестве основного набора. Разница между этим и предыдущим примером в том, что теперь это группа, и поэтому мы также должны сказать, как добавлять их элементы. Это делается путем определения . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
Если мы думаем о качестве кольца действительных чисел, то прямое произведение снова имеет в качестве своего основного набора. Кольцо кольцевой структуры состоит из сложения, определенного с помощью, и умножения, определенного с помощью . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$
Однако, если мы думаем об этом как о поле действительных чисел, тогда прямого произведения не существует - наивное определение сложения и умножения покомпонентно, как в приведенном выше примере, не приведет к полю, так как элемент не имеет обратного мультипликативного элемента . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $(1,0)$

Аналогичным образом мы можем говорить о прямом произведении конечного числа алгебраических структур, например . Это основано на том факте, что прямое произведение ассоциативно с точностью до изоморфизма . То есть, для любых алгебраических структур , и того же рода. Прямое произведение также коммутативно с точностью до изоморфизма, т. Е. Для любых алгебраических структур и того же типа. Мы можем даже говорить о прямом произведении бесконечного множества алгебраических структур; например, мы можем взять прямое произведение счетного числа копий , которое мы запишем как . $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ $A$ $B$ $C$ $A\times B\cong B\times A$ $A$ $B$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb$

Группировать прямой продукт [ править ]

В теории групп можно определить прямое произведение двух групп ( G , ∘) и ( H , ∙), обозначим через G × H . Для абелевых групп, которые записываются аддитивно, ее также можно назвать прямой суммой двух групп , обозначенной через . $G\oplus H$

Это определяется следующим образом:

множество элементов новой группы является декартово произведение множеств элементов G и H , то есть {( г , ч ): г ∈ G , H ∈ H };
над этими элементами поместите операцию, определенную поэлементно:
( g , h ) × ( g ' , h' ) = ( g ∘ g ' , h ∙ h ' )

(Обратите внимание, что ( G , ∘) может быть таким же, как ( H , ∙))

Эта конструкция дает новую группу. Он имеет нормальную подгруппу, изоморфную G (заданную элементами формы ( g , 1)), и одну, изоморфную H (содержащую элементы (1, h )).

Обратное также справедливо, существует следующая теорема распознавания: Если группа К содержит две нормальных подгрупп G и H , такие , что К = GH и пересечение G и Н содержат только идентичность, то К изоморфен G × H . Ослабление этих условий, требующее, чтобы только одна подгруппа была нормальной, дает полупрямое произведение .

В качестве примера возьмем в качестве G и H две копии единственной (с точностью до изоморфизмов) группы порядка 2, C ₂ : скажем, {1, a } и {1, b }. Тогда C ₂ × C ₂ = {(1,1), (1, b ), ( a , 1), ( a , b )} с операцией поэлементно. Например, (1, b ) * ( a , 1) = (1 * a , b * 1) = ( a , b ) и (1, b ) * (1, b ) = (1, b ²) = (1,1).

С прямым произведением мы бесплатно получаем некоторые естественные гомоморфизмы групп : отображения проекций определяются формулой

{\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}

называется координатными функциями .

Кроме того, каждый гомоморфизм f к прямому произведению полностью определяется его составляющими функциями . $f_{i}=\pi _{i}\circ f$

Для любой группы ( G , ∘) и любого целого числа n ≥ 0 повторное применение прямого произведения дает группу всех n - кортежей G ⁿ (при n = 0 мы получаем тривиальную группу ), например Z ⁿ и R ⁿ .

Прямое произведение модулей [ править ]

Прямое произведение для модулей (не путать с тензорным произведением ) очень похоже на то, которое определено для групп выше, с использованием декартового произведения с операцией сложения, выполняемой покомпонентно, а скалярное умножение просто распределяется по всем компонентам. Начиная с R мы получаем евклидово пространство R ⁿ , прототипный пример реального n- мерного векторного пространства. Прямое произведение R ^m и R ⁿ равно R ^{m + n} .

Обратите внимание, что прямое произведение для конечного индекса идентично прямой сумме . Прямая сумма и прямое произведение различаются только для бесконечных индексов, где элементы прямой суммы равны нулю для всех, кроме конечного числа элементов. Они двойственны в смысле теории категорий : прямая сумма - это совместный продукт, а прямой продукт - это продукт. $\prod _{i=1}^{n}X_{i}$ $\bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}$

Например, рассмотрим и , бесконечное прямое произведение и прямую сумму действительных чисел. Только последовательности с конечным числом ненулевых элементов в Y . Например, (1,0,0,0, ...) находится в Y, а (1,1,1,1, ...) - нет. Обе эти последовательности находятся в прямом произведении X ; на самом деле Y - собственное подмножество X (то есть Y ⊂ X ). ^[1]^[2] $X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R}$ $Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R}$

Топологическое пространство прямого произведения [ править ]

Прямое произведение для набора топологических пространств X _i для i в I , некоторого набора индексов, снова использует декартово произведение

\prod _{i\in I}X_{i}.

Определить топологию немного сложно. Для конечного числа факторов это очевидный и естественный поступок: просто взять за основу открытых множеств совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора:

{\mathcal {B}}=\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ |\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\}.

Эта топология называется топологией продукта . Например, непосредственно определение топологии продукта на R ² открытых множествами R (пересекающиеся союзы открытых интервалов), основа для этой топологии будет состоять из всех непересекающихся объединений открытых прямоугольников на плоскости (как выясняется, она совпадает с обычной метрической топологией).

Топология продукта для бесконечных продуктов имеет изюминку, и это связано с возможностью сделать все карты проекций непрерывными и сделать все функции в продукте непрерывными тогда и только тогда, когда все его составляющие функции являются непрерывными (т. Е. Удовлетворяют категориальному критерию определение продукта: морфизмы здесь являются непрерывными функциями): мы берем в качестве основы открытых множеств набор всех декартовых произведений открытых подмножеств из каждого фактора, как и раньше, при условии, что все, кроме конечного числа открытых подмножеств весь фактор:

{\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ {\Big |}\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.

В этом случае более естественной топологией было бы взятие произведений бесконечно большого числа открытых подмножеств, как и раньше, и это действительно дает несколько интересную топологию - блочную топологию . Однако не так уж сложно найти пример группы непрерывных компонентных функций, функция продукта которых не является непрерывной (см. Топологию отдельного окна ввода для примера и многое другое). Проблема, которая делает такой поворот необходимым, в конечном итоге коренится в том факте, что пересечение открытых множеств гарантированно будет открытым только для конечного числа множеств в определении топологии.

Продукты (с товарной топологией) хороши с точки зрения сохранения свойств своих факторов; например, Хаусдорфово произведение пространств Хаусдорфа; произведение связных пространств связно, а произведение компактных пространств компактно. Последняя, называемая теоремой Тихонова , является еще одной эквивалентностью выбранной аксиоме .

Дополнительные свойства и эквивалентные составы см. В отдельной топологии продукта .

Прямой продукт бинарных отношений [ править ]

На декартовом произведении двух множеств с бинарными отношениями R и S определите ( a , b ) T ( c , d ) как a R c и b S d . Если R и S оба рефлексивны , иррефлексивны , транзитивны , симметричны или антисимметричны , то T также будет. ^[3] Комбинируя свойства, следует, что это также применимо как для предварительного порядка, так и для отношения эквивалентности . Однако если R и S являются полными отношениями, T не является общей суммой.

Прямое произведение в универсальной алгебре [ править ]

Если Σ - фиксированная сигнатура , I - произвольное (возможно, бесконечное) множество индексов и ( A _i ) _{i ∈ I} - индексированное семейство Σ-алгебр, прямое произведение A = ∏ _{i ∈ I} A _i - Σ-алгебра, определенная следующее:

Множество юниверсов A из A является декартовым произведением множеств юниверсов A _i из A _i , формально: A = ∏ _{i ∈ I} A _i ;
Для каждого п и каждого п -ичного символа операции ф Х Е , его интерпретация F ^A в A определена покомпонентна, формально: для всех ₁ , ..., в _п ∈ A и каждый I ∈ I , то я го компоненты f ^A ( a ₁ , ..., a _n ) определяется как f ^A^_i ( a ₁ ( i ), ..., a _n (i )) .

Для каждого I ∈ I , тем я й проекции π _я : A → A _я определяется π _я ( ) = ( я ) . Это сюръективный гомоморфизм между Σ-алгебрами A и A _i . ^[4]

В частном случае, если набор индексов I = {1, 2}, получается прямое произведение двух Σ-алгебр A ₁ и A ₂ , записываемое как A = A ₁ × A ₂ . Если Σ содержит только одну бинарную операцию f , приведенное выше определение прямого произведения групп получается с использованием обозначений A ₁ = G , A ₂ = H , f ^{A ₁} = ∘ , f ^{A ₂} = ∙ и f^А = ×. Точно так же сюда включается определение прямого произведения модулей.

Категориальный продукт [ править ]

Непосредственный продукт можно отнести к произвольной категории . В общей категории, учитывая набор объектов A _i и набор морфизмов p _i от A до A _i^{[ требуется пояснение ],} где i находится в некотором индексном наборе I , объект A называется категориальным продуктом в категории если для любого объекта B и любого набора морфизмов f _i из B в A _iсуществует единственный морфизм f из B в A такой, что f _i = p _i f и этот объект A единственен. Это работает не только для двух факторов, но и для произвольно (даже бесконечно) многих.

Для групп мы аналогичным образом определяем прямое произведение более общего, произвольного набора групп G _i для i в I , I - индексном множестве. Обозначая декартово произведение групп через G, мы определяем умножение на G с помощью операции покомпонентного умножения; и соответствуют p _i в приведенном выше определении карты проекций

\pi _{i}\colon G\to G_{i}\quad \mathrm {by} \quad \pi _{i}(g)=g_{i}

,

функции, которые принимают его i- й компонент g _i . $(g_{j})_{j\in I}$

Внутренний и внешний прямой продукт [ править ]

Некоторые авторы проводят различие между внутренним прямым продуктом и внешним прямым продуктом. Если и , то мы говорим, что X является внутренним прямым произведением A и B , а если A и B не являются подобъектами, то мы говорим, что это внешний прямой продукт. $A,B\subset X$ $A\times B\cong X$

См. Также [ править ]

Прямая сумма
Декартово произведение
Копродукт
Бесплатный продукт
Полупрямой продукт
Заппа – Сзеп продукт
Тензорное произведение графов
Заказы на декартово произведение полностью упорядоченных множеств

Примечания [ править ]

^ W., Weisstein, Эрик. «Прямой продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 .
^ W., Weisstein, Эрик. «Групповой прямой продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 .
^ Эквивалентность и порядок
^ Стэнли Н. Баррис и HP Sankappanavar, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Здесь: Def.7.8, стр.53 (= стр.67 в файле pdf)

Ссылки [ править ]

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

[1] W., Weisstein, Эрик. «Прямой продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 .

[2] W., Weisstein, Эрик. «Групповой прямой продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 .

[3] Эквивалентность и порядок

[4] Стэнли Н. Баррис и HP Sankappanavar, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Здесь: Def.7.8, стр.53 (= стр.67 в файле pdf)