В математике , ортодоксальная полугруппа является регулярной полугруппой , множество идемпотентов образует подполугруппу . В более поздней терминологии ортодоксальная полугруппа - это регулярная E -полугруппа . [1] Термин ортодоксальная полугруппа был введен Т.Э. Холлом и представлен в статье, опубликованной в 1969 году. [2] [3] Некоторые специальные классы ортодоксальных полугрупп были изучены ранее. Например, полугруппы, которые также являются объединениями групп, в которых множества идемпотентов образуют подполугруппы, были изучены PHH Fantham в 1960 году [4].
Примеры
- Рассмотрим двоичную операцию в множестве S = { a , b , c , x }, определенную следующей таблицей Кэли :
а | б | c | Икс | |
а | а | б | c | Икс |
б | б | б | б | б |
c | c | c | c | c |
Икс | Икс | c | б | а |
- Тогда S - ортодоксальная полугруппа относительно этой операции, причем подполугруппой идемпотентов является { a , b , c }. [5]
- Обратные полугруппы и ленты являются примерами ортодоксальных полугрупп. [6]
Некоторые элементарные свойства
Множество идемпотентов в ортодоксальной полугруппе обладает несколькими интересными свойствами. Пусть S - регулярная полугруппа, и для любого a из S пусть V ( a ) обозначает множество обратных к a . Тогда следующие варианты эквивалентны: [5]
- S ортодоксален.
- Если a и b находятся в S, и если x находится в V ( a ), а y находится в V ( b ), то yx находится в V ( ab ).
- Если e - идемпотент в S, то любой обратный к e также является идемпотентом.
- Для любых a , b в S , если V ( a ) ∩ V ( b ) ≠, то V ( a ) = V ( b ).
Состав
Строение ортодоксальных полугрупп было определено в терминах связок и инверсных полугрупп. Теорема Холла – Ямады описывает эту конструкцию. Конструкция требует понятий откатов (в категории полугрупп) и Nambooripad представлении фундаментальной регулярной полугруппы. [6]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Дж. Алмейда, Ж.-Э. Полугруппы Пина и П. Вейля , идемпотенты которых образуют обновленную версию подполугруппы Almeida, J .; Пин, Ж.-Э .; Вейль, П. (2008). «Полугруппы, идемпотенты которых образуют подполугруппу» . Математические труды Кембриджского философского общества . 111 (2): 241. DOI : 10.1017 / S0305004100075332 .
- ^ Холл, Т. Е. (1969). «О регулярных полугруппах, идемпотенты которых образуют подполугруппу» . Бюллетень Австралийского математического общества . 1 : 195–208. DOI : 10.1017 / s0004972700041447 .
- ^ AH Клиффорд, KH Hofmann, MW Mislove (редакторы) (1996). Теория полугрупп и ее приложения: материалы конференции 1994 года, посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда . Издательство Кембриджского университета. п. 70. ISBN 9780521576697.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
- ^ PHH Fantham (1960). «О классификации одного типа полугруппы». Труды Лондонского математического общества . 1 : 409–427. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-10.1.409 .
- ^ а б Дж. М. Хоуи (1976). Введение в теорию полугрупп . Лондон: Academic Press. С. 186–211.
- ^ а б П.А. Грилье. Полугруппы: Введение в теорию структуры . Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc., стр. 341.