Диагональная матрица

В линейной алгебре , А диагональная матрица представляет собой матрицу , в которой элементы вне главной диагонали равны нулю; термин обычно относится к квадратным матрицам . Пример диагональной матрицы 2 на 2 - это , а пример диагональной матрицы 3 на 3 - . Единичная матрица любого размера, или любой кратной ей (в матрице скалярной ), является диагональной матрицей.${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \ end {smallmatrix}} \ right]}$

Диагональную матрицу иногда называют матрицей масштабирования , поскольку умножение на нее матрицы приводит к изменению масштаба (размера). Его определитель является произведением диагональных значений.

Определение [ править ]

Как указано выше, диагональная матрица - это матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. То есть матрица D = ( d _{i , j} ) с n столбцами и n строками диагональна, если

${\ displaystyle \ forall i, j \ in \ {1,2, \ ldots, n \}, i \ neq j \ подразумевает d_ {i, j} = 0}$.

Однако вход по главной диагонали неограничен.

Термин « диагональная матрица» может иногда относиться к прямоугольной диагональной матрице , которая представляет собой матрицу размером m на n, в которой все элементы не имеют формы d _{i , i} равны нулю. Например:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}$ или же ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$

Однако чаще диагональная матрица относится к квадратным матрицам, которые можно явно указать как квадратную диагональную матрицу . Квадратная диагональная матрица - это симметричная матрица , поэтому ее также можно назвать симметричной диагональной матрицей .

Следующая матрица представляет собой квадратную диагональную матрицу:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$

Если записи являются действительными числами или комплексными числами , то это также нормальная матрица .

В оставшейся части этой статьи мы будем рассматривать только квадратные диагональные матрицы и будем называть их просто «диагональными матрицами».

Скалярная матрица [ править ]

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, во многих предложениях используется неправильная, неудобная грамматика, и их следует перефразировать, чтобы они имели смысл. Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Диагональная матрица с равными диагональными элементами является скалярной матрицей ; то есть скалярное кратное λ из единичной матрицы I . Его влияние на вектор - это скалярное умножение на λ . Например, скалярная матрица 3 × 3 имеет вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}}$

Скалярные матрицы являются центром алгебры матриц: то есть они в точности матрицы, которые коммутируют со всеми другими квадратными матрицами того же размера. ^[a] Напротив, над полем (как и действительные числа) диагональная матрица со всеми диагональными элементами, отличными друг от друга, коммутирует только с диагональными матрицами (ее централизатор - это набор диагональных матриц). Это потому , что если диагональная матрица имеет то дана матрица с на срок продукции являются: и и (так можно разделить на ), так что они не коммутируют , если недиагональные условия не равны нулю. ^[b]${\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{ij}\neq 0,}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle (DM)_{ij}=a_{i}m_{ij}}$${\displaystyle (MD)_{ij}=m_{ij}a_{j},}$${\displaystyle a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}}$${\displaystyle m_{ij}}$Диагональные матрицы, в которых диагональные элементы не все равны или все различны, имеют централизаторы, промежуточные между всем пространством и только диагональными матрицами. ^[1]

Для абстрактного векторного пространства V (а не конкретного векторного пространства ) аналогом скалярных матриц являются скалярные преобразования . В более общем смысле это верно для модуля M над кольцом R , где алгебра эндоморфизмов End ( M ) (алгебра линейных операторов на M ) заменяет алгебру матриц. Формально, скалярное умножение есть линейное отображение, индуцирующее отображение (от скалярного Х до его соответствующего скалярного преобразования, умножение на Л ) , про вл End ( М ) в качестве R - алгебра${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),}$. Для векторных пространств скалярные преобразования - это в точности центр алгебры эндоморфизмов, и аналогично обратимые преобразования являются центром общей линейной группы GL ( V ). Первые являются более общими истинными свободными модулями , для которых алгебра эндоморфизмов изоморфна матричной алгебре.${\displaystyle M\cong R^{n}}$

Векторные операции [ править ]

При умножении вектора на диагональную матрицу каждый член умножается на соответствующий диагональный элемент. Учитывая диагональную матрицу и вектор , произведение:${\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle v={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle Dv=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Это можно выразить более компактно, используя вектор вместо диагональной матрицы , и взяв произведение Адамара векторов (начальное произведение), обозначенное :${\displaystyle d={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle d\circ v}$

${\displaystyle Dv=d\circ v={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Это математически эквивалентно, но позволяет избежать хранения всех нулевых членов этой разреженной матрицы . Этот продукт , таким образом , используется в машинном обучении , такие как вычислительные продукты производных в обратном распространении или умножения веса IDF в TF-IDF , ^[2] , так как некоторые BLAS каркасы, которые многократно матрицы эффективны, не включают в себя способность продукта Адамар непосредственно. ^[3]

Матричные операции [ править ]

Операции сложения матриц и умножения матриц особенно просты для диагональных матриц. Написать диаг ( ₁ , ..., _п ) для диагональной матрицы, диагональные элементы , начинающиеся в верхнем левом углу находятся ₁ , ..., _н . Тогда для сложения имеем

diag ( a ₁ , ..., a _n ) + diag ( b ₁ , ..., b _n ) = diag ( a ₁ + b ₁ , ..., a _n + b _n )

и для умножения матриц ,

diag ( a ₁ , ..., a _n ) diag ( b ₁ , ..., b _n ) = diag ( a ₁ b ₁ , ..., a _n b _n ) .

Диагональная матрица диаг ( ₁ , ..., _п ) является обратимым тогда и только тогда , когда запись ₁ , ..., _п являются всеми ненулевым. В этом случае мы имеем

diag ( a ₁ , ..., a _n ) ⁻¹ = diag ( a ₁ ⁻¹ , ..., a _n ⁻¹ ) .

В частности, диагональные матрицы образуют подкольцо кольца из всех N матрицы с размерностью п матриц.

Умножения в н матрицу с размерностью п матрицы А из влево с DIAG ( ₁ , ..., _п ) составляет умножения I - й строки из A с помощью в _I для всех I ; умножения матрицы А от права с DIAG ( ₁ , ..., _п ) составляет умножая I - й столбец из А по в _Iдля всех я .

Матрица операторов в собственном базисе [ править ]

Как объяснялось при определении коэффициентов операторной матрицы , существует специальный базис, e ₁ , ..., e _n , для которого матрица принимает диагональную форму. Следовательно, в определяющем уравнении все коэффициенты с i ≠ j равны нулю, оставляя только один член на сумму. Уцелевшие диагональные элементы называются собственными значениями и обозначаются в уравнении, которое сводится к . Полученное уравнение известно как уравнение собственных значений ^[4] и используется для вывода характеристического полинома и, кроме того,${\displaystyle A}$${\textstyle A{\vec {e}}_{j}=\sum a_{i,j}{\vec {e}}_{i}}$${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle a_{i,i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A{\vec {e}}_{i}=\lambda _{i}{\vec {e}}_{i}}$собственные значения и собственные векторы .

Другими словами, собственные из DIAG ( Л ₁ , ..., λ _п ) являются λ ₁ , ..., λ _п с соответствующими собственными векторами по электронной ₁ , ..., е _п .

Свойства [ править ]

• Определитель из DIAG ( ₁ , ..., _п ) является произведением ₁ ⋯ _н .
• Adjugate диагональной матрицы снова по диагонали.
• Где все матрицы квадратные,
  • Матрица диагональна тогда и только тогда, когда она треугольная и нормальная .
  • Матрица диагональна тогда и только тогда, когда она имеет одновременно верхнюю и нижнюю треугольную форму .
  • Диагональная матрица симметрична .
• Единичная матрица I _п и нулевая матрица диагональные.
• Матрица 1 × 1 всегда диагональна.

Приложения [ править ]

Диагональные матрицы встречаются во многих областях линейной алгебры. Из-за простого описания матричной операции и собственных значений / собственных векторов, приведенных выше, обычно желательно представить данную матрицу или линейную карту диагональной матрицей.

На самом деле, данный п матрица с размерностью п матрицей является аналогичен диагональной матрицей ( это означает , что существует матрица X такое , что Х ^-1 АХ диагональна) тогда и только тогда , когда она имеет п линейно независимые собственные векторы. Такие матрицы называются диагонализуемыми .

Над полем из реальных или комплексных чисел, более верно. Спектральная теорема говорит , что каждая нормальная матрица является унитарно похожа на диагональную матрицу (если АА ^* = ^* то существует унитарную матрица U таких , что СХ ^* диагонален). Кроме того, из разложения по сингулярным числам следует, что для любой матрицы A существуют унитарные матрицы U и V такие, что UAV ^∗ диагональна с положительными элементами.

Теория операторов [ править ]

В теории операторов , особенно при изучении УЧП , операторы особенно легко понять, а УЧП легко решить, если оператор диагонален по отношению к базису, с которым он работает; это соответствует разделимому уравнению в частных производных . Таким образом, ключевой методом для понимания операторов является изменением координат в языке операторов, интегральное преобразование -Какого изменяет базис к базису из собственных функций : что делает уравнение разделяемым. Важным примером этого является преобразование Фурье, который диагонализует операторы дифференцирования с постоянными коэффициентами (или, в более общем смысле, операторы, инвариантные относительно сдвига), такие как оператор Лапласа, например, в уравнении теплопроводности .

Особенно просты операторы умножения , которые определяются как умножение на (значения) фиксированной функции - значения функции в каждой точке соответствуют диагональным элементам матрицы.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройал (1985), матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6