След (линейная алгебра)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален
Поиск источников: Линейная алгебра «Trace» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( октябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В линейной алгебры , то след из квадратной матрицы $A$ , обозначается $тр ( )$ , ^[1]^[2] определяется как сумма элементов на главной диагонали (от верхнего левого к нижнему правому) из $A$ .

След матрицы - это сумма ее (комплексных) собственных значений ( с учетом кратностей), и он инвариантен относительно замены базиса . Эта характеризация может быть использована для определения следа линейного оператора в целом. След определяется только для квадратной матрицы ( $n \times n$ ).

След связан с производной определителя (см . Формулу Якоби ).

Определение [ править ]

След из $п \times п$ квадратной матрицы $А$ определяется как ^[2]^[3]^[4]^{: 34}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + \ dots + a_ {nn} }

где $II$ обозначает запись на $I$ - й строки и $I$ - й столбец $А$ .

Пример [ править ]

Пусть $A$ - матрица с

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}

потом

\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1

Свойства [ править ]

Основные свойства [ править ]

След - это линейное отображение . То есть ^[2]^[3]

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}

для всех квадратных матриц $A$ и $B$ и всех скаляров $c$ . ^[4]^{: 34}

Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же след: ^[2]^[3]^[4]^{: 34}

\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).

Это сразу следует из того, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.

След продукта [ править ]

След квадратной матрицы, являющейся произведением двух матриц, можно переписать как сумму произведений их элементов по элементам. Точнее, если $A$ и $B$ две матрицы m × n , то:

\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i,j}a_{ij}b_{ij}.

Это означает, что след произведения матриц равного размера функционирует аналогично скалярному произведению векторов (представьте, что $A$ и $B$ как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщения векторных операций на матрицы (например, в матричном исчислении и статистике ) часто включают след матричных произведений.

Для вещественных матриц $A$ и $B$ след продукта также можно записать в следующих формах:

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\sum _{i,j}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )_{ij}$	(с использованием произведения Адамара , также известного как начальное произведение).
$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} )^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {A} )=\operatorname {vec} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {B} )$	(с помощью оператора векторизации ).

Матрицы в следе продукта можно переключать без изменения результата: если $A$ - матрица размера $m \times n,$ а $B$ - матрица размера $n \times m$ , то ^[2]^[3]^[4]^{: 34}^{[примечание 1]}

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )$

Кроме того, для вещественных матриц столбцов и след внешнего продукта эквивалентен внутреннему продукту: $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b}$

Циклическое свойство [ править ]

В более общем смысле, след инвариантен относительно циклических перестановок , т. Е.

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).$

Это известно как циклическое свойство .

Произвольные перестановки не допускаются: как правило,

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).

Однако, если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),

где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.

След матричного продукта [ править ]

В отличие от определителя , след продукта не является произведением следов, то есть существуют такие матрицы $A$ и $B$ , что

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} )

Например, если

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\ \ \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},

тогда продукт

\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},

и следы $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=1\neq 0\cdot 0=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).$

След продукта Кронекера [ править ]

След продукта Кронекера двух матриц является произведением их следов:

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).

Полная характеристика следа [ править ]

Следующие три свойства:

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}

полностью охарактеризовать след в следующем смысле. Пусть $f$ - линейный функционал на пространстве квадратных матриц, для которого $f (xy) = f (yx)$ . Тогда $f$ и $tr$ пропорциональны. ^{[заметка 2]}

Инвариантность подобия [ править ]

След инвариантен к подобию , что означает, что для любой квадратной матрицы $A$ и любой обратимой матрицы $P$ одинаковой размерности матрицы $A$ и $P -1 AP$ имеют один и тот же след. Это потому что

\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \left(\mathbf {P} \mathbf {P} ^{-1}\right)\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).

След произведения симметричной и кососимметричной матрицы [ править ]

Если является симметричным и $B$ является кососимметричен , то

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=0

.

Связь с собственными значениями [ править ]

След единичной матрицы [ править ]

След единичной матрицы $n \times n$ - это размерность пространства, а именно $n$ . ^[1]

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n

Это приводит к обобщению размерности с использованием трассировки .

След идемпотентной матрицы [ править ]

След в идемпотентной матрицы $A$ (матрица , для которой $2$ $=$ ) равно ранга из $A$ .

След нильпотентной матрицы [ править ]

След нильпотентной матрицы равен нулю.

Когда характеристика базового поля равна нулю, верно и обратное: если $tr (A k) = 0$ для всех $k$ , то $A$ нильпотентна.

Когда характеристика $n > 0$ положительна, тождество в $n$ измерениях является контрпримером, как , но тождество не является нильпотентным. $\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0$

Трассировка равна сумме собственных значений [ править ]

В более общем смысле, если

f(x)=\prod _{i=1}^{k}\left(x-\lambda _{i}\right)^{d_{i}}

это характеристический полином из матрицы $А$ , то

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{k}d_{i}\lambda _{i}$

то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.

След коммутатора [ править ]

Когда оба и $В$ являются $п$ $\times$ $п$ матрицы, след (кольцо теоретико-) коммутатора из $А$ и $В$ равна нулю: $Tr ([$ $,$ $B$ $]) = 0$ , так как $тр ($ $АВ$ $) = тр ($ $ВА$ $)$ и $тр$ линейно. Это можно сформулировать так: «след - это отображение алгебр Ли $gl$ $n$ $\to$ $k$ от операторов к скалярам », поскольку коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли). В частности, используя инвариантность подобия, следует, что единичная матрица никогда не похожа на коммутатор любой пары матриц.

Наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. ^{[примечание 3]} Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.

След эрмитовой матрицы [ править ]

След эрмитовой матрицы действительный, потому что элементы на диагонали действительны.

След матрицы перестановок [ править ]

След матрицы перестановок - это количество неподвижных точек , потому что диагональный член $a ii$ равен 1, если $i-$ я точка фиксирована, и 0 в противном случае.

След матрицы проекции [ править ]

След матрицы проекции - это размер целевого пространства.

{\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}

Матрица $P X$ идемпотентна, и, вообще говоря, след любой идемпотентной матрицы равен ее собственному рангу.

Экспоненциальный след [ править ]

Выражения, подобные $tr (exp (A))$ , где $A$ - квадратная матрица, так часто встречаются в некоторых областях (например, в многомерной статистической теории), что сокращенное обозначение стало обычным явлением:

\operatorname {tre} (A):=\operatorname {tr} (\exp(A)).

$tre$ иногда называют экспоненциальной функцией трассировки ; он используется в неравенстве Голдена – Томпсона .

След линейного оператора [ править ]

В целом, учитывая некоторое линейное отображение $F : V \to V$ (где $V$ представляет собой конечно- мерное векторное пространство ), мы можем определить след этой карты, рассматривая след матрицы представления о $е$ , то есть, выбирая основу для $V$ и описывая $f$ как матрицу относительно этого базиса, и беря след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранного базиса, поскольку разные базисы приведут к похожим матрицам , что дает возможность независимого от базиса определения следа линейного отображения.

Такое определение может быть дано с помощью канонического изоморфизма между пространством $End (V)$ линейных отображениями на $V$ и $V \otimes V *$ , где $V *$ является сопряженным пространством из $V$ . Пусть $v$ находится в $V,$ а $f$ находится в $V *$ . Тогда след неразложимого элемента $v \otimes f$ определяется как $f (v)$ ; след общего элемента определяется линейностью. Используя явную основу для $V$ и соответствующий дуальный базис для $V *$ , можно показать, что это дает то же определение следа, что и выше.

Отношения собственных значений [ править ]

Если линейный оператор представлен квадратной матрицы с вещественными или комплексными записями и если $λ$ $1$ $, ...,$ $λ$ $п$ являются собственные из $А$ (перечислены в соответствии с их алгебраических кратностей ), то

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}$

Это следует из того факта, что $A$ всегда подобна своей жордановой форме , верхнетреугольной матрице, имеющей $λ 1,\dots, λ n$ на главной диагонали. В противоположность этому , определитель из $А$ является продуктом его собственных значений; то есть,

\det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.

В более общем смысле,

\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{k}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}^{k}.

Производные [ править ]

След соответствует производной определителя: это аналог алгебры Ли ( группы Ли ) отображения определителя. Это уточнено в формуле Якоби для производной от определителя .

В конкретном случае, в идентичности , производная детерминанта фактически сводится к следу: $TR = йе ' я$ . Из этого (или из связи между следом и собственными значениями) можно вывести связь между функцией следа, экспоненциальным отображением между алгеброй Ли и ее группой Ли (или, конкретно, матричной экспоненциальной функцией) и определителем :

\det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).

Например, рассмотрим однопараметрическое семейство линейных преобразований, задаваемых поворотом на угол $θ$ ,

\mathbf {R} _{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.

Все эти преобразования имеют определитель 1, поэтому они сохраняют площадь. Производная этого семейства при $θ = 0$ , единичный поворот, является антисимметричной матрицей

A={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

который явно имеет нулевой след, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, сохраняющее площадь.

Связанная характеристика трассы применяется к линейным векторным полям . Для матрицы $A$ определим векторное поле $F$ на $R n$ формулой $F (x) = Ax$ . Компоненты этого векторного поля являются линейными функциями (заданными строками $A$ ). Его дивергенция $div F$ является постоянной функцией, значение которой равно $tr (A)$ .

По теореме о расходимости это можно интерпретировать в терминах потоков: если $F (x)$ представляет скорость жидкости в точке $x,$ а $U$ - область в $R n$ , чистый поток жидкости из $U$ определяется выражением $tr ( ) \cdot т (U)$ , где $т (U)$ представляет собой объем из $U$ .

След - линейный оператор, поэтому он коммутирует с производной:

\operatorname {d} \operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (\operatorname {d} \mathbf {X} ).

Приложения [ править ]

След комплексной матрицы 2 × 2 используется для классификации преобразований Мёбиуса . Сначала матрица нормализуется, чтобы сделать ее определитель равным единице. Тогда, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование будет параболическим . Если квадрат находится в интервале [0,4) , он эллиптический . Наконец, если квадрат больше 4, преобразование является локсодромным . См. Классификацию преобразований Мёбиуса .

Трассировка используется для определения символов из представлений групп . Два представления $,$ $B$ $:$ $G$ $\to$ $GL$ $($ $V$ $)$ группы $G$ эквивалентны (до изменения базиса на $V$ ) , если $тр ($ $($ $г$ $)) = Tr ($ $В$ $($ $г$ $))$ для всех $г$ $\in$ $G$ .

След также играет центральную роль в распределении квадратичных форм .

Алгебра Ли [ править ]

След представляет собой отображение алгебр Ли из алгебры Ли линейных операторов в $n-$ мерном пространстве ( $n$ $\times$ $n-$ матриц с элементами в ) в алгебру Ли $K$ скаляров; поскольку $K$ абелева (скобка Ли равна нулю), тот факт, что это отображение алгебр Ли, в точности означает, что след скобки равен нулю: $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ ${\mathfrak {gl}}_{n}$ $K$

\operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.

Ядро этой карты, матрица, след нуль , часто говорит, что бесследно или проследить бесплатно , и эти матрицы образуют простую алгебру Ли , которая является алгеброй Ли из специальной линейной группы матриц с определителем 1. специальным линейная группа состоит из матриц, не меняющих объема, а специальная линейная алгебра Ли - это матрицы, не меняющие объема бесконечно малых множеств. ${\mathfrak {sl}}_{n}$

Фактически, существует внутреннее разложение операторов / матриц прямой суммой на бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена в терминах следа, в частности, как: ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$

\mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .

Формально, можно составить след ( карту счетчиков ) с единичной картой «включения скаляров », чтобы получить отображение карты на скаляры и умножить на $n$ . Деление на $n$ делает это проекцией, что дает формулу выше. $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$

С точки зрения коротких точных последовательностей , один имеет

0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0

что аналогично

1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1

(где ) для групп Ли. Однако след делится естественным образом (через скаляры умножения), поэтому расщепление определителя будет таким же, как скаляры корня $n-$ й степени, и это в общем случае не определяет функцию, поэтому определитель не разделяется, и общая линейная группа не разлагается: $K^{*}=K\setminus \{0\}$ $1/n$ ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$

\operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.

Билинейные формы [ править ]

Билинейная форма (где $Х$ , $Y$ квадратные матрицы)

B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X}

называется формой Киллинга , которая используется для классификации алгебр Ли.

След определяет билинейную форму:

(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).

Форма является симметричной, невырожденной ^{[примечание 4]} и ассоциативной в том смысле, что:

\operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).

Для сложной простой алгебры Ли (такой как $n$ ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства. ${\mathfrak {sl}}$

Две матрицы $X$ и $Y$ называются ортогональными по следу, если

\operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0

.

Внутренний продукт [ править ]

Для матрицы $A$ размера $m \times n$ с комплексными (или действительными) элементами и ^H, являющимся сопряженным транспонированием, имеем

\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} \right)\geq 0

с равенством тогда и только тогда, когда $A = 0$ . ^[5]^{: 7}

Назначение

\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle =\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {H}}\mathbf {B} \right)

дает скалярное произведение на пространстве всех комплексных (или вещественных) матриц размера $m \times n$ .

Норма , полученная из приведенного выше скалярного произведения называется норма Фробениуса , которая удовлетворяет полумультипликативное свойство как матричная норма. В самом деле, это просто евклидова норма, если матрица рассматривается как вектор длины $m \cdot n$ .

Отсюда следует, что если $A$ и $B$ - действительные положительные полуопределенные матрицы одного размера, то

0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}.

^{[примечание 5]}

Обобщения [ править ]

Понятие следа матрицы обобщается на класс следов от компактных операторов на гильбертовом пространстве , а аналог нормы Фробениуса называется Гильберт-Шмидт норма.

Если $K$ является следовым классом, то для любого ортонормированного базиса след определяется выражением $(\varphi _{n})_{n}$

\operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle \varphi _{n},K\varphi _{n}\right\rangle ,

и конечна и не зависит от ортонормированного базиса. ^[6]

Частичный след является другим обобщением следа , который операторнозначный. След линейного оператора $Z,$ который живет в пространстве-продукте $A \otimes B$ , равен частичным следам над $A$ и $B$ :

\operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).

Для получения дополнительных свойств и обобщения частичного следа см. Отслеживаемые моноидальные категории .

Если общая ассоциативная алгебра над полем $к$ , то след на $А$ часто определяется как любое отображение $тр:$ $\mapsto$ $к$ которой обращается в нуль на коммутаторах: $тр ([$ $,$ $Ь$ $])$ для всех $а$ $,$ $б$ $\in$ $A$ . Такой след не определен однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на ненулевой скаляр.

Суперслед является обобщением следа на установку супералгебрах .

Операция тензорного сжатия обобщает след на произвольные тензоры.

Определение без координат [ править ]

К следу также можно подойти безкоординатным способом, т. Е. Без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов в конечномерном векторном пространстве $V$ (определенном над полем $F$ ) изоморфно пространству пространство $V \otimes V *$ линейным отображением

V\otimes V^{*}\to \operatorname {Hom} (V,V),v\otimes h\mapsto (w\mapsto h(w)v).

Существует также каноническая билинейная функция $t : V \times V * \to F,$ которая состоит в применении элемента $w *$ из $V *$ к элементу $v$ из $V,$ чтобы получить элемент из $F$ :

t\left(v,w^{*}\right):=w^{*}(v)\in F.

Это индуцирует линейную функцию на тензорном произведении (в силу своего универсального свойства ) $t : V \otimes V * \to F$ , которое, как оказывается, когда это тензорное произведение рассматривается как пространство операторов, равно следу.

В частности, для оператора $A$ ранга один (то есть простого тензора ) квадрат является потому, что на его одномерном изображении $A$ представляет собой просто скалярное умножение. В терминах тензорного выражения, это след (и только ненулевое собственное значение) оператора $A$ ; это дает безкоординатную интерпретацию диагонального входа. Каждый оператор в $n$ -мерном пространстве может быть выражен как сумма $n$ операторов ранга один; это дает безкоординатную версию суммы диагональных элементов. $v\otimes w^{*}$ $A^{2}=\lambda A,$ $\lambda =w^{*}(v),$

Это также проясняет, почему $tr (AB) = tr (BA)$ и почему $tr (AB) \neq tr (A) tr (B)$ , поскольку композиция операторов (умножение матриц) и след могут интерпретироваться как одно и то же спаривание. Просмотр

\operatorname {End} (V)\cong V\otimes V^{*},

можно интерпретировать композиционную карту

\operatorname {End} (V)\times \operatorname {End} (V)\to \operatorname {End} (V)

в качестве

(V\otimes V^{*})\times (V\otimes V^{*})\to (V\otimes V^{*})

происходит от спаривания $V * \times V \to F$ на средних членах. Отслеживание следа продукта происходит в результате спаривания на внешних условиях, при взятии продукта в обратном порядке и последующем взятии следа просто выбирается, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взятие следа $A$ и следа $B$ соответствует применению спаривания к левым и правым членам (а не к внутреннему и внешнему) и, таким образом, отличается.

В координатах это соответствует индексам: умножение дается на

(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j}a_{ij}b_{jk},

так

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{ij}a_{ij}b_{ji}\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )=\sum _{ij}b_{ij}a_{ji}

что то же самое, в то время как

\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\cdot \operatorname {tr} (\mathbf {B} )=\sum _{i}a_{ii}\cdot \sum _{j}b_{jj},

что другое.

Для конечномерного $V$ с базисом ${e i}$ и дуальным базисом ${e i}$ , тогда $e i \otimes e j$ - это $ij$ -элемент матрицы оператора относительно этого базиса. Следовательно, любой оператор $A$ является суммой вида

\mathbf {A} =a_{ij}e_{i}\otimes e^{j}.

Если $t$ определено, как указано выше,

\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=a_{ij}\operatorname {tr} \left(e_{i}\otimes e^{j}\right).

Последнее, однако, является просто дельтой Кронекера , равной 1, если $i = j,$ и 0 в противном случае. Это показывает, что $tr (A)$ - это просто сумма коэффициентов по диагонали. Однако этот метод делает координатную инвариантность непосредственным следствием определения.

Двойной [ править ]

Далее можно дуализировать эту карту, получив карту

F^{*}=F\to V\otimes V^{*}\cong \operatorname {End} (V).

Это отображение и есть включение скаляров , отправляющее $1 \in F$ в единичную матрицу: «след двойственен скалярам». На языке биалгебр скаляры - это единица , а след - это счетчик .

Затем можно составить их,

F~{\overset {I}{\to }}~\operatorname {End} (V)~{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}~F,

что дает умножение на $n$ , поскольку след идентичности является размерностью векторного пространства.

Обобщения [ править ]

Используя понятие дуализируемых объектов и категориальных следов , этот подход к следам может быть плодотворно аксиоматизирован и применен к другим областям математики.

См. Также [ править ]

След тензора относительно метрического тензора
Характеристическая функция
Полевой след
Неравенство Голдена – Томпсона.
Особый след
Теорема Шпехта
Класс трассировки
Идентификация трассировки
Следить за неравенством
Следовое неравенство фон Неймана

Заметки [ править ]

^ Это непосредственно следует из определения матричного произведения :
$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )$ .
^ Доказательство: $f (e ij) = 0$ тогда и только тогда, когда $i \neq j$ и $f (e jj) = f (e 11)$ (со стандартным базисом $e ij$ ), и, следовательно,
$f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$
Более абстрактно это соответствует разложению
${\mathit {gl}}_{n}={\mathit {sl}}_{n}\oplus k,$
поскольку $tr (AB) = tr (BA)$ (эквивалентно $tr ([A, B]) = 0$ ) определяет след на $sl n$ , который дополняет скалярные матрицы, и оставляет одну степень свободы: любое такое отображение определяется по его значению на скалярах, которое является одним скалярным параметром и, следовательно, все кратны трассе, ненулевое такое отображение.
^ Доказательство: $n$ - полупростая алгебра Ли, и поэтому каждый элемент в ней является линейной комбинацией коммутаторов некоторых пар элементов, иначе производная алгебра была бы собственным идеалом. ${\mathfrak {sl}}$
^ Это следует из того факта, что $tr (A * A) = 0$ тогда и только тогда, когда $A = 0$ .
^ Это можно доказать с помощью неравенства Коши – Шварца .

Ссылки [ править ]

^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 9 сентября 2020 .
^ a b c d e «Ранг, след, определитель, транспонирование и инверсия матриц» . fourier.eng.hmc.edu . Проверено 9 сентября 2020 .
^ a b c d Вайсштейн, Эрик В. "Матричный след" . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 сентября 2020 .
^ a b c d Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . Макгроу-Хилл. ISBN 9780070605022.
^ Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.
^ Teschl Г. (30 октября 2014). Математические методы в квантовой механике . Аспирантура по математике. 157 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-1470417048.

Внешние ссылки [ править ]

«След квадратной матрицы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[5] Это непосредственно следует из определения матричного произведения :
$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )$ .

[6] Доказательство: $f (e ij) = 0$ тогда и только тогда, когда $i \neq j$ и $f (e jj) = f (e 11)$ (со стандартным базисом $e ij$ ), и, следовательно,
$f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$
Более абстрактно это соответствует разложению
${\mathit {gl}}_{n}={\mathit {sl}}_{n}\oplus k,$
поскольку $tr (AB) = tr (BA)$ (эквивалентно $tr ([A, B]) = 0$ ) определяет след на $sl n$ , который дополняет скалярные матрицы, и оставляет одну степень свободы: любое такое отображение определяется по его значению на скалярах, которое является одним скалярным параметром и, следовательно, все кратны трассе, ненулевое такое отображение.

[7] Доказательство: $n$ - полупростая алгебра Ли, и поэтому каждый элемент в ней является линейной комбинацией коммутаторов некоторых пар элементов, иначе производная алгебра была бы собственным идеалом. ${\mathfrak {sl}}$

[8] Это следует из того факта, что $tr (A * A) = 0$ тогда и только тогда, когда $A = 0$ .

[10] Это можно доказать с помощью неравенства Коши – Шварца .

[:0-1] «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 9 сентября 2020 .

[:1-2] «Ранг, след, определитель, транспонирование и инверсия матриц» . fourier.eng.hmc.edu . Проверено 9 сентября 2020 .

[:2-3] Вайсштейн, Эрик В. "Матричный след" . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 сентября 2020 .

[LipschutzLipson-4] Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . Макгроу-Хилл. ISBN 9780070605022.

[HornJohnson-9] Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.

[11] Teschl Г. (30 октября 2014). Математические методы в квантовой механике . Аспирантура по математике. 157 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-1470417048.

[1]