В матричном исчислении , формула Якоби выражает производную от определителя матричного А в терминах adjugate из А и производного А . [1]
Если A - дифференцируемое отображение вещественных чисел в матрицы размера n × n , то
где тр ( Х ) является след матрицы X .
В частном случае
Эквивалентно, если дА обозначает дифференциал из А , общая формула
Он назван в честь математика Карла Густава Якоба .
Посредством вычисления матрицы
Сначала докажем предварительную лемму:
Лемма. Пусть A и B - пара квадратных матриц одинаковой размерности n . потом
Доказательство. Произведение AB пары матриц имеет компоненты
Замена матрицы A ее транспонированной A T эквивалентна перестановке индексов ее компонентов:
Результат следует из следа с обеих сторон:
Теорема. (Формула Якоби) Для любого дифференцируемого отображения A вещественных чисел в матрицы размера n × n ,
Доказательство. Формула Лапласа для определителя матрицы A может быть записана как
Обратите внимание, что суммирование выполняется по некоторой произвольной строке i матрицы.
Определитель A можно рассматривать как функцию элементов A :
так что по цепному правилу его дифференциал равен
Это суммирование выполняется по всем п × п элементов матрицы.
Чтобы найти ∂ F / ∂ A ij, учтите, что в правой части формулы Лапласа индекс i может быть выбран произвольно. (Для оптимизации вычислений: любой другой выбор в конечном итоге приведет к тому же результату, но это может быть намного сложнее). В частности, его можно выбрать так, чтобы он соответствовал первому индексу ∂ / ∂ A ij :
Таким образом, по правилу произведения
Теперь, если элемент матрицы A ij и кофактор adj T ( A ) ik элемента A ik лежат в одной строке (или столбце), то кофактор не будет функцией A ij , потому что кофактор A ik выражается в виде элементов не в собственной строке (или столбце). Таким образом,
так
Все элементы A независимы друг от друга, т. Е.
где δ - символ Кронекера , поэтому
Следовательно,
и, применяя лемму, получаем
Правило через цепочку
Лемма 1. , где это дифференциал .
Это уравнение означает, что дифференциал , вычисленная на единичной матрице, равна следу. Дифференциал- линейный оператор, отображающий матрицу размера n × n в действительное число.
Доказательство. Используя определение производной по направлению вместе с одним из ее основных свойств для дифференцируемых функций, мы имеем
является многочленом от порядка n . Она тесно связана с характеристическим полиномом от. Постоянный член () равно 1, а линейный член в является .
Лемма 2. Для обратимой матрицы A имеем:.
Доказательство. Рассмотрим следующую функцию X :
Вычисляем дифференциал и оценить его на используя лемму 1, приведенное выше уравнение и цепное правило:
Теорема. (Формула Якоби)
Доказательство. Если обратима по лемме 2 с
используя уравнение , связывающее adjugate из к . Теперь формула верна для всех матриц, поскольку множество обратимых линейных матриц плотно в пространстве матриц.
Следующее является полезным соотношением, связывающим след с определителем связанной экспоненты матрицы :
Это утверждение ясно для диагональных матриц, и следует доказательство общего утверждения.
Для любой обратимой матрицы в предыдущем разделе "Правило цепочки переходов" мы показали, что
Учитывая в этом уравнении дает:
Желаемый результат следует как решение этого обыкновенного дифференциального уравнения.
Несколько форм формулы лежат в основе алгоритма Фаддеева – Леверье для вычисления характеристического полинома и явных приложений теоремы Кэли – Гамильтона . Например, исходя из следующего уравнения, которое было доказано выше:
и используя , мы получили:
где adj обозначает сопряженную матрицу .