Adjugate из А является транспонированным из кофактора матрицы C из A ,
Более подробно, предположим , что R представляет собой коммутативное кольцо и является п × п матрица с элементами из R . ( Я , J ) - минор из А , обозначим M Ij , является определяющим фактором в ( п - 1) × ( п - 1) матрицы , которая является результатом удаления строки я и столбца J из A . Кофактором матрица из А является п × п матрица С которой ( я , J ) вход является ( я , J ) кофактором из А , который является ( я , J ) -минор раз в знаковый фактор:
Сопутствующим элементом A является транспонированная матрица C , то есть матрица размера n × n, чья запись ( i , j ) является кофактором ( j , i ) матрицы A ,
Сопряжение определяется так, что произведение A с его сопряженным элементом дает диагональную матрицу , диагональные элементы которой являются определителем det ( A ) . Это,
где I - единичная матрица размера n × n . Это следствие разложения определителя по Лапласу .
Выше формула предполагает один из основных результатов в матричной алгебре, что является обратимой тогда и только тогда , когда Det ( ) является обратимым элементом R . Когда это верно, приведенное выше уравнение дает
Общая матрица 1 × 1
Сопряжение любой ненулевой матрицы 1 × 1 (комплексный скаляр) есть . По соглашению adj (0) = 0.
Общая матрица 2 × 2
Адъюгат матрицы 2 × 2
является
Прямым вычислением
В этом случае, это также верно , что Det (прил ( )) = Det ( ) и , следовательно, прил (прил ( )) = .
Общая матрица 3 × 3
Рассмотрим матрицу 3 × 3
Его матрица кофакторов равна
где
Его сопутствующим элементом является транспонированная матрица кофакторов,
Числовая матрица 3 × 3
В качестве конкретного примера у нас есть
Легко проверить, что адъюгат - это величина, обратная умноженной на определитель, −6 .
-1 во втором ряду, третий столбец adjugate был вычислен следующим образом . (2,3) вхождение adjugate является (3,2) кофактором A . Этот кофактор вычисляется с использованием подматрицы, полученной удалением третьей строки и второго столбца исходной матрицы A ,
Кофактор (3,2) - это знак, умноженный на определитель этой подматрицы:
и это (2, 3) запись сопряженного.
Для любой матрицы A размера n × n элементарные вычисления показывают, что адъюгаты обладают следующими свойствами.
- а также , где а также - нулевая и единичная матрицы соответственно.
- для любого скаляра c .
- .
- .
- Если A обратимо, то. Следует, что:
- прил ( ) обратим с обратным (Det ) -1 .
- прил ( А -1 ) = прил ( А ) -1 .
- прил ( ) является entrywise многочленом А . В частности, над вещественными или комплексными числами, то adjugate является гладкой функцией записей A .
Над комплексными числами
- , где чертой обозначено комплексное сопряжение.
- , где звездочка означает сопряженное транспонирование.
Предположим, что B - еще одна матрица размера n × n . потом
Это можно доказать тремя способами. Один из способов, применимый для любого коммутативного кольца, - это прямое вычисление с использованием формулы Коши – Бине . Второй способ, действительный для действительных или комплексных чисел, состоит в том, чтобы сначала заметить, что для обратимых матриц A и B ,
Поскольку каждая необратимая матрица является пределом обратимых матриц , непрерывность сопряженного элемента означает, что формула остается верной, когда один из A или B не является обратимым.
Следствие предыдущей формулы состоит в том, что для любого неотрицательного целого k ,
Если A обратима, то приведенная выше формула верна и для отрицательного k .
От личности
мы делаем вывод
Предположим , что A коммутирует с B . Умножение тождества AB = BA слева и справа на adj ( A ) доказывает, что
Если обратим, то отсюда следует , что прил ( A ) также коммутирует с B . Для действительных или комплексных чисел непрерывность означает, что adj ( A ) коммутирует с B, даже если A необратим.
Наконец, существует более общее доказательство, чем второе доказательство, которое требует только, чтобы матрица n × n имела элементы над полем с по крайней мере 2 n +1 элементами (например, матрица 5 × 5 над целыми числами по модулю 11). det ( A + t I ) - многочлен от t со степенью не выше n , поэтому он имеет не более n корней. Обратите внимание, что ij- я запись в adj (( A + t I ) ( B )) является многочленом не более чем порядка n , а также для adj ( A + t I ) adj ( B ) . Эти два полинома в ij- м элементе согласуются по крайней мере по n +1 точкам, так как у нас есть по крайней мере n +1 элементов поля, в котором A + t I обратимо, и мы доказали тождество для обратимых матриц. Полиномы степени п , которые совпадают по п +1 точек должны быть одинаковыми (вычитать их друг от друга , и у вас есть п + 1 корней для многочлена степени не п - к противоречию , если их разность не тождественно равна нулю). Поскольку два полинома идентичны, они принимают одно и то же значение для каждого значения t . Таким образом, они принимают одинаковое значение при t = 0.
Используя указанные выше свойства и другие элементарные вычисления, несложно показать, что если A имеет одно из следующих свойств, то adj A также:
- Верхний треугольный,
- Нижняя треугольная,
- Диагональ,
- Ортогональный,
- Унитарный,
- Симметричный,
- Эрмитский,
- Кососимметричный,
- Косоэрмитский,
- Обычный.
Если обратим, то, как уже отмечалось выше, существует формула для ADJ ( A ) в терминах определителя и обратной А . Когда A необратимо, адъюгат удовлетворяет различным, но тесно связанным формулам.
- Если rk ( A ) ≤ n - 2 , то adj ( A ) = 0 .
- Если rk ( A ) = n - 1 , то rk (adj ( A )) = 1 . (Некоторый минор не равен нулю, поэтому adj ( A ) не равен нулю и, следовательно, имеет ранг не менее единицы; тождество adj ( A ) A = 0 означает, что размерность нулевого пространства adj ( A ) не меньше n - 1 , поэтому его ранг не превосходит единицы.) Отсюда следует, что adj ( A ) = α xy T , где α - скаляр, а x и y - векторы такие, что Ax = 0 и A T y = 0 .
Подстановка столбцов и правило Крамера
Разбейте A на векторы-столбцы:
Пусть b вектор-столбец размера n . Исправление 1 ≤ я ≤ п и рассмотрит матрицу , образованную путем замены столбца I из А от Ь :
Лаплас разложит определитель этой матрицы по столбцу i . Результатом является запись i продукта adj ( A ) b . Сбор этих определителей для различных возможных i дает равенство векторов-столбцов
Эта формула имеет следующее конкретное следствие. Рассмотрим линейную систему уравнений
Предположим, что A неособая. Умножение этой системы слева на adj ( A ) и деление на определитель дает
Применение предыдущей формулы к этой ситуации дает правило Крамера ,
где x i - i- я запись x .
Характеристический полином
Пусть характеристический многочлен от А быть
Первая разделенная разность числа p представляет собой симметричный многочлен степени n - 1 ,
Умножьте s I - A на его сопутствующее значение. Поскольку p ( A ) = 0 по теореме Кэли – Гамильтона , некоторые элементарные манипуляции показывают
В частности, резольвентное из А определяется как
и по приведенной выше формуле это равно
Формула Якоби
Adjugate также появляется в формуле Якоби для производной от определителя . Если A ( t ) непрерывно дифференцируема, то
Отсюда следует, что полная производная определителя - это транспонирование адъюгата:
Формула Кэли – Гамильтона
Пусть р А ( т ) характеристический полином A . Теорема Кэли – Гамильтона утверждает, что
Разделение постоянного члена и умножение уравнения на adj ( A ) дает выражение для сопряженного элемента, которое зависит только от A и коэффициентов p A ( t ) . Эти коэффициенты могут быть явно представлены в терминах следов степеней A с использованием полных экспоненциальных многочленов Белла . Результирующая формула
где n - размерность A , а сумма берется по s и всем последовательностям k l ≥ 0, удовлетворяющим линейному диофантову уравнению
Для случая 2 × 2 это дает
Для случая 3 × 3 это дает
Для случая 4 × 4 это дает
Же формула непосредственно следует из стадии завершающего от алгоритма Фаддеева-Леверье , который эффективно определяет характеристический полином из A .
Сопряжение можно рассматривать в абстрактных терминах, используя внешние алгебры . Пусть V - n -мерное векторное пространство. Внешнее произведение определяет билинейное спаривание
Абстрактно, изоморфно R , и при любом таком изоморфизме внешнее произведение является совершенным спариванием . Следовательно, это дает изоморфизм
Явно это спаривание переводит v ∈ V в, где
Предположим, что T : V → V - линейное преобразование. Возврат с помощью ( n - 1) -й внешней степени T индуцирует морфизм пространств Hom . Adjugate из Т является композицией
Если V = R п наделена его координат базиса е 1 , ..., е п , и если матрица T в этом базисе , то adjugate из Т является adjugate из A . Чтобы понять почему, дайте основа
Зафиксируем базисный вектор e i матрицы R n . Изображение e i под определяется тем, куда он отправляет базисные векторы:
На базисных векторах ( n - 1) -я внешняя степень T равна
Каждый из этих терминов преобразуется в ноль при кроме члена k = i . Следовательно, откат - линейное преобразование, для которого
то есть это равно
Применяя инверсию показывает, что сопряженным к T является линейное преобразование, для которого
Следовательно, его матрица представление является adjugate из A .
Если V наделен внутренним произведением и формой объема, то отображение φ можно разложить дальше. В этом случае φ можно понимать как композицию звездного оператора Ходжа и дуализации. В частности, если ω - форма объема, то она вместе со скалярным произведением определяет изоморфизм
Это индуцирует изоморфизм
Вектор v в R n соответствует линейному функционалу
По определению звездного оператора Ходжа этот линейный функционал двойственен * v . То есть ω ∨ ∘ φ равно v ↦ * v ∨ .
Пусть A - матрица размера n × n , и зафиксируем r ≥ 0 . Г го высшего adjugate из А представляет собойматрица, обозначенная adj r A , элементы которой индексируются размером r подмножеств I и J из {1, ..., m } . Пусть I c и J c обозначают дополнения к I и J соответственно. Также позвольтеобозначим подматрицу матрицы A, содержащую те строки и столбцы, индексы которых находятся в I c и J c соответственно. Тогда запись ( I , J ) в adj r A равна
где σ ( I ) и σ ( J ) - сумма элементов I и J соответственно.
Основные свойства высших адъюгатов включают:
- прил 0 ( ) = Det .
- прил 1 ( ) = прил .
- прил n ( A ) = 1 .
- прил г ( ВА ) = прил г ( А ) прил г ( В ) .
- , где C r ( A ) обозначает r- ю составную матрицу .
Высшие адъюгаты могут быть определены в абстрактных алгебраических терминах аналогично обычному адъюгату, заменяя а также для а также , соответственно.