Эрмитово сопряженный

В математике , особенно в функциональном анализе , каждый ограниченный линейный оператор в комплексном гильбертовом пространстве имеет соответствующий эрмитов сопряженный (или сопряженный оператор ). Сопряженные операторы обобщают сопряженные Транспонирует из квадратных матриц в (возможно) бесконечномерным ситуации. Если рассматривать операторы в комплексном гильбертовом пространстве как обобщенные комплексные числа, то сопряженный к оператору играет роль комплексно сопряженного комплексного числа.

В аналогичном смысле можно определить сопряженный оператор для линейных (и, возможно, неограниченных) операторов между банаховыми пространствами .

Сопряженный оператора А может быть также называется эрмитово сопряжение, эрмитова или эрмитову транспонированную ^[1] (после того, как Эрмит ) из А и обозначается через A ^* или A ^† (последний особенно при использовании в сочетании с бюстгальтером-кет обозначение ). Смешения, ^* также могут быть использованы для представления конъюгата A .

Неофициальное определение [ править ]

Рассмотрим линейный оператор между гильбертовыми пространствами . Не вдаваясь в подробности, сопряженный оператор - это (в большинстве случаев однозначно определенный) линейный оператор, выполняющий ${\ displaystyle A: H_ {1} \ to H_ {2}}$${\ displaystyle A ^ {*}: H_ {2} \ to H_ {1}}$

${\ displaystyle \ left \ langle Ah_ {1}, h_ {2} \ right \ rangle _ {H_ {2}} = \ left \ langle h_ {1}, A ^ {*} h_ {2} \ right \ rangle _ {H_ {1}},}$

где - скалярное произведение в гильбертовом пространстве , которое линейно по первой координате и антилинейно по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и являются оператором в этом гильбертовом пространстве.${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {H_ {i}}}$${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle A}$

Когда кто-то меняет двойное спаривание на внутренний продукт, можно определить сопряженное, также называемое транспонированием , оператора , где - банаховы пространства с соответствующими нормами . Здесь (опять же без учета технических деталей) сопряженный оператор определяется как с${\ displaystyle A: E \ to F}$${\ displaystyle E, F}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {E}, \ | \ cdot \ | _ {F}}$${\ displaystyle A ^ {*}: F ^ {*} \ to E ^ {*}}$

${\ Displaystyle А ^ {*} е = (и \ mapsto f (Au)),}$

Т.е. для .${\ Displaystyle \ влево (A ^ {*} е \ вправо) (и) = е (Au)}$${\ displaystyle f \ in F ^ {*}, u \ in E}$

Обратите внимание, что приведенное выше определение в контексте гильбертова пространства на самом деле является просто приложением случая банахова пространства, когда мы отождествляем гильбертово пространство с его двойственным. Тогда вполне естественно, что мы также можем получить сопряженный оператор , где - гильбертово пространство, а - банахово пространство. Тогда двойственный определяется как с таким, что ${\ displaystyle A: H \ to E}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}$${\displaystyle A^{*}f=h_{f}}$

${\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}$

Определение неограниченных операторов между нормированными пространствами [ править ]

Позвольте быть банаховы пространства . Предположим, и , и предположим, что это (возможно, неограниченный) линейный оператор, который плотно определен (т. Е. Плотно в ). Тогда его сопряженный оператор определяется следующим образом. Домен${\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}$${\displaystyle A:D(A)\to F}$${\displaystyle D(A)\subset E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(A)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}}$.

Теперь для произвольных, но фиксированных мы устанавливаем с . По выбору и определению f (равномерно) непрерывна на as . Тогда по теореме Хана – Банаха или, альтернативно, через расширение по непрерывности это дает расширение , называемое определенным на всех . Обратите внимание, что эту техническую особенность необходимо получить позже в качестве оператора вместо. Замечание также, что это не означает, что это может быть расширено для всех, но расширение работает только для определенных элементов . ${\displaystyle g\in D(A^{*})}$${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(u)=g(Au)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle D(A^{*})}$${\displaystyle D(A)}$${\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}$

Теперь мы можем определить сопряженный к как${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}\end{aligned}}}$

Таким образом, основная определяющая идентичность

${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}$ за ${\displaystyle u\in D(A).}$

Определение ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами [ править ]

Предположим, H - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением . Рассмотрим непрерывный линейный оператор A  : H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченному оператору ). Тогда сопряженным к A является непрерывный линейный оператор A ^∗  : H → H, удовлетворяющий${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}$

Существование и единственность этого оператора следует из теоремы Рисса о представлении . ^[2]

Это можно рассматривать как обобщение сопряженной матрицы квадратной матрицы, которая имеет аналогичное свойство, связанное со стандартным комплексным внутренним произведением.

Свойства [ править ]

Следующие свойства эрмитова сопряженного ограниченного оператора очевидны: ^[2]

1. Инволютивность : A ^∗∗ = A
2. Если A обратимо, то обратимо и A ^∗ , причем${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. Антилинейность :
   • ( А + В ) ^* = А ^* + В ^*
   • ( ХА ) ^* = λ A ^* , где λ обозначает комплексное сопряжение из комплексного числа Л
4. « Антидистрибутивность »: ( AB ) ^∗ = B ^∗ A ^∗

Если мы определим оператор норму в А по

${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

тогда

${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}$^[2]

Более того,

${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}$^[2]

Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшее значение», экстраполируя из случая самосопряженных операторов.

Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве H вместе с присоединенной операцией и операторной нормой образуют прототип C * -алгебры .

Сопряжение плотно определенных неограниченных операторов между гильбертовыми пространствами [ править ]

Плотно определенный оператор из комплексного гильбертова пространства Н в себя линейный оператор, область D ( ) является плотным линейным подпространством из H и значение которого лежит в H . ^[3] По определению, область определения D ( A ^∗ ) сопряженного к нему A ^∗ - это множество всех y ∈ H, для которых существует z ∈ H, удовлетворяющий

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A),}$

а A ^∗ ( y ) определяется как найденный таким образом z . ^[4]

Свойства 1. – 5. с соответствующими пунктами о доменах и кодоменах . ^{[ требуется пояснение ]} Например, последнее свойство теперь утверждает, что ( AB ) ^∗ является расширением B ^∗ A ^∗, если A , B и AB - плотно определенные операторы. ^[5]

Связь между образом A и ядром его сопряженного определяется выражением:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ker A^{*}&=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot }\\\left(\ker A^{*}\right)^{\bot }&={\overline {\operatorname {im} \ A}}\end{aligned}}}$

Эти утверждения эквивалентны. См. Ортогональное дополнение для доказательства этого и определения . ${\displaystyle \bot }$

Доказательство первого уравнения: ^{[6] [ требуется пояснение ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \left\langle A^{*}x,y\right\rangle =0\quad {\mbox{ for all }}y\in H\\&\iff \left\langle x,Ay\right\rangle =0\quad {\mbox{ for all }}y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}}$

Второе уравнение следует из первого за счет ортогонального дополнения с обеих сторон. Обратите внимание, что в общем случае изображение не обязательно должно быть замкнутым, но всегда является ядро непрерывного оператора ^[7] . ^{[ требуется разъяснение ]}

Эрмитовы операторы [ править ]

Ограниченный оператор  : Н → Н называется эрмитова или самосопряженным , если

${\displaystyle A=A^{*}}$

что эквивалентно

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}$^[8]

В некотором смысле эти операторы играют роль действительных чисел (равных их собственному «комплексно сопряженному») и образуют вещественное векторное пространство . Они служат моделью действительных наблюдаемых в квантовой механике . См. Статью о самосопряженных операторах для полного описания.

Сопряжения антилинейных операторов [ править ]

Для антилинейного оператора определение сопряженного необходимо скорректировать, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженный оператор антилинейного оператора A в комплексном гильбертовом пространстве H - это антилинейный оператор A ^∗  : H → H со свойством:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}$

Другие прилегающие [ править ]

Уравнение

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }$

формально аналогичен определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий , и отсюда присоединенные функторы получили свое название.

См. Также [ править ]

• Математические понятия
  • Эрмитов оператор
  • Норма (математика)
  • Транспонировать линейные карты
• Физические приложения
  • Оператор (физика)
  • †-алгебра

Ссылки [ править ]

• Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными (первое издание), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .