В линейной алгебре транспонирование линейной карты между двумя векторными пространствами, определенными над одним и тем же полем , является индуцированной картой между двойственными пространствами двух векторных пространств. Транспонирования или алгебраические сопряженный линейного отображение часто используются для изучения исходной линейной карты. Это понятие обобщается на присоединенные функторы .
Определение
Позволять обозначают алгебраическое двойственное пространство к векторному пространству Позволять а также быть векторными пространствами над одним и тем же полем Если является линейным отображением , то его алгебраически сопряженным или двойственным , [1] является отображение определяется Результирующий функционал называется откат от от
Непрерывное сопряженное пространство из топологических векторного пространства (ТВС) обозначается Если а также являются TVS, то линейная карта является слабо непрерывен тогда и только тогда , когда в этом случае мы позволяем обозначают ограничение к Карта называется транспонированной [2] из Следующая идентичность характеризует транспонирование [3]
- для всех а также
где является естественным спариванием, определяемым формулой
Характеристики
Назначение производит инъективное линейное отображение между пространством линейных операторов из к и пространство линейных операторов из к Если тогда пространство линейных отображений является алгеброй относительно композиции отображений , и тогда присвоение является антигомоморфизмом алгебр, что означает, чтоТаким образом, на языке теории категорий взятие двойственного к векторным пространствам и транспонирования линейных отображений является контравариантным функтором из категории векторных пространств надсебе. Можно определить с участием используя естественную инъекцию в двойной дуал.
- Если а также линейные карты, то [4]
- Если линейная карта, а также обозначает полярное множество множествазатем [4]
- а также
- подразумевает
- если а также выпуклые, слабо замкнутые множества, содержащие 0, то подразумевает [5]
- Если является ( сюръективным ) изоморфизмом векторных пространств, то транспонированная
- Ядро из является подпространством ортогонален изображению [5]
- Линейная карта является инъективным тогда и только тогда , когда его образ является слабо плотным подмножеством (т.е. изображение плотно в когда задана слабая топология, индуцированная ). [5]
Предположим теперь, что является непрерывным линейным оператором между топологическими векторными пространствами а также с непрерывными двойственными пространствами а также соответственно. Для любого подмножества из позволять Обозначим полярная из в
- Транспонирование непрерывно, когда оба а также наделены слабой * топологией (соответственно, оба наделены сильной двойственной топологией, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных выпуклых подмножествах, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах). [6]
- Если а также являются локально выпуклым , то[7]
- Если а также являются нормированные пространства то норма равна норме [7]
- ( Сюръекция пространств Фреше ): Если а также являются пространствами Фреше, то линейный непрерывный операторявляется сюръективен тогда и только тогда , когда (1) транспонированнымявляется инъективен , и (2) образом транспонированногоявляется слабо замкнутым (т.е. слабо- * замкнутым) подмножеством[8]
Представление в виде матрицы
Если линейная карта представлен матрицей по двум базам а также тогда представлен транспонированной матрицей относительно двойственных базисов а также отсюда и название. В качестве альтернативы, как представлен действуя вправо на векторах-столбцах, представлен той же самой матрицей, действующей слева на векторах-строках. Эти точки зрения связаны каноническим внутренним продуктом на который идентифицирует пространство векторов-столбцов с двойным пространством векторов-строк.
Связь с эрмитовым сопряженным
Идентичность, характеризующая транспонирование, то есть формально аналогично определению эрмитова сопряженного , однако транспонирование и эрмитово сопряженное отображение - это не одно и то же отображение. Транспонирование - это карта и определен для линейных отображений между любыми векторными пространствами а также без необходимости какой-либо дополнительной конструкции. Эрмитовы сопряженные картыи определен только для линейных отображений между гильбертовыми пространствами, поскольку он определен в терминах внутреннего произведения на гильбертовом пространстве. Следовательно, эрмитово сопряженное соединение требует большей математической структуры, чем транспонирование.
Однако транспонирование часто используется в контекстах, где оба векторных пространства снабжены невырожденной билинейной формой, такой как евклидово скалярное произведение или другое реальное внутреннее произведение . В этом случае невырожденная билинейная форма часто используется неявно для отображения между векторными пространствами и их двойниками, чтобы выразить транспонированное отображение как отображение Для сложного гильбертова пространства скалярное произведение является полуторалинейным, а не билинейным, и эти преобразования изменяют транспонирование в присоединенное отображение.
Точнее: если а также являются гильбертовыми пространствами и является линейным отображением, то транспонирование и эрмитова примыкающая к которые мы обозначим соответственно через а также относятся к. Обозначим через а также канонические антилинейные изометрии гильбертовых пространств а также на своих двойников. потомэто следующая композиция карт: [9]
Приложения к функциональному анализу
Предположим, что а также являются топологические векторные пространства и что является линейным отображением, то многие из свойства отражаются в
- Если а также являются слабо замкнутыми выпуклыми множествами, содержащими начало координат, то подразумевает [4]
- Нулевое пространство является подпространством ортогонален диапазону из [4]
- инъективен тогда и только тогда, когда диапазон из слабо замкнуто. [4]
Смотрите также
- Присоединенные функторы - отношения между двумя функторами, абстрагирующие многие общие конструкции.
- Эрмитово сопряженный - непрерывный двойственный к эрмитову оператору
- Двойное пространство § Транспонирование линейного отображения
- Транспонировать § Транспонировать линейную карту
Рекомендации
- ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 128.
- ^ Trèves 2006 , стр. 240.
- ^ Халмош (1974 , §44)
- ↑ a b c d e Schaefer & Wolff 1999 , стр. 129–130.
- ^ a b c Schaefer & Wolff 1999 , стр. 128–130.
- ^ Trèves 2006 , стр. 199-200.
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 240-252.
- ^ Trèves 2006 , стр. 382-383.
- ^ Trèves 2006 , стр. 488.
Библиография
- Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN 0-387-90093-4
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .