Антигомоморфизм

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Антигомоморфизм»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , антигомоморфизм представляет собой тип функции , определенный на множествах с умножением, реверсирует порядок умножения . Антиавтоморфизм является биективен антигомоморфизмом, т.е. антиизоморфизм , из набора к себе. Из биективности следует, что у антиавтоморфизмов есть обратные, и что обратное к антиавтоморфизму также является антиавтоморфизмом.

Определение [ править ]

Неформально антигомоморфизм - это карта, меняющая порядок умножения. Формально, антигомоморфизм между структурами и является гомоморфизмом , где равно как множество, но имеет его умножение, обратное тому, что определено на . Обозначив ( как правило , не- коммутативное ) умножение на с , умножение на , обозначаемой , определяется . Объект называется противоположный объект к (соответственно, противоположной группе , противоположной алгебра , противоположная категории и т.д.). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ phi \ двоеточие X \ в Y ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle Y ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle Y ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle *}$${\ displaystyle x * y: = y \ cdot x}$${\ displaystyle Y ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle Y}$

Это определение эквивалентно определению гомоморфизма (обращение операции до или после применения карты эквивалентно). Формально, посылая к и действует тождественно на картах является функтор (действительно, инволюция ).${\ displaystyle \ phi \ двоеточие X ^ {\ text {op}} \ to Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X ^ {\ text {op}}}$

Примеры [ править ]

В теории групп антигомоморфизм - это отображение между двумя группами, которое меняет порядок умножения на противоположный. Итак, если φ  : X → Y - групповой антигомоморфизм,

ф ( ху ) = ф ( у ) ф ( х )

для всех х , у в X .

Отображение, которое переводит x в x ^−1, является примером группового антиавтоморфизма. Другой важный примером является транспонированной операцией в линейной алгебре , которая принимает векторы - строки для векторов - столбцов . Любое векторно-матричное уравнение может быть преобразовано в эквивалентное уравнение, в котором порядок факторов обратный.

В случае матриц примером антиавтоморфизма является транспонированная карта. Поскольку инверсия и транспонирование дают антиавтоморфизмы, их композиция является автоморфизмом. Эту инволюцию часто называют контрагредиентным отображением, и она дает пример внешнего автоморфизма общей линейной группы GL ( n , F ) , где F - поле, кроме случаев, когда | F | = 2 и n = 1 или 2 , или | F | = 3 и n = 1 (т. Е. Для групп GL (1, 2) , GL (2, 2) и GL (1, 3) ).

В теории колец антигомоморфизм - это отображение между двумя кольцами, которое сохраняет сложение, но меняет порядок умножения на противоположный. Итак, φ  : X → Y - кольцевой антигомоморфизм тогда и только тогда, когда:

φ (1) = 1

ф ( х + у ) = ф ( х ) + ф ( у )

ф ( ху ) = ф ( у ) ф ( х )

для всех х , у в X . ^[1]

Для алгебр над полем K , φ должен быть К - линейное отображение базового векторного пространства . Если основное поле имеет инволюцию, можно вместо этого попросить φ быть сопряженно-линейным , как в сопряженном транспонировании, как показано ниже.

Инволюции [ править ]

Часто антиавтоморфизмы являются инволюциями , т. Е. Квадрат антиавтоморфизма является тождественным отображением ; они также называются инволютивно антиавтоморфизм s . Например, в любой группе отображение, которое отправляет x своему обратному x − ^1, является инволютивным антиавтоморфизмом.

Кольцо с инволютивным антиавтоморфизмом называется * -кольцом , и они составляют важный класс примеров .

Свойства [ править ]

Если цель Y коммутативна, то антигомоморфизм - это то же самое, что гомоморфизм, а антиавтоморфизм - то же самое, что автоморфизм .

Состав двух antihomomorphisms всегда есть гомоморфизм, так как изменить порядок заказа дважды пресервы. Композиция антигомоморфизма с гомоморфизмом дает другой антигомоморфизм.

См. Также [ править ]

• Полугруппа с инволюцией

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Антигомоморфизм» . MathWorld .