Транспонировать

Транспонирование A ^T матрицы A может быть получено путем отражения элементов вдоль ее главной диагонали. Повторение процесса с транспонированной матрицей возвращает элементы в исходное положение.

В линейной алгебре , то транспонированное из матрицы является оператором , который переворачивает матрицу над его диагональю; то есть он переключает индексы строки и столбца матрицы $A$ , создавая другую матрицу, часто обозначаемую $A T$ (среди других обозначений). ^[1]^[2]

Транспонирование матрицы было введено в 1858 году британским математиком Артуром Кэли . ^[3]

Транспонировать матрицу [ править ]

Определение [ править ]

Транспонированная матрицы $A$ , обозначается $A T$ , ^[1]^[4] $⊤$ , $⊤$ , , ^[5]^[6] $А '$ , ^[7] $тр$ , $т$ $А$ или $А$ $т$ , может быть построена любой из следующих методов: ${\ Displaystyle А ^ {\ интеркал}}$

Отразите $A$ над его главной диагональю (которая проходит от верхнего левого угла до нижнего правого), чтобы получить $A T$ ;
Запишите строки $A$ как столбцы $A T$ ;
Написать столбцы $A$ в качестве строк $A T$ .

Формально, элемент $i$ -й строки, $j-го$ столбца $A T$ является элементом $j$ -ой строки, $i$ -м столбцом $A$ :

{\ displaystyle \ left [\ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} \ right] _ {ij} = \ left [\ mathbf {A} \ right] _ {ji}.}

Если $A$ - матрица размера $m \times n$ , то $A T$ - матрица размера $n \times m$ .

В случае квадратных матриц, $Т$ может также обозначать $Т$ - ю степень матрицы $A$ . Для избежания возможной путаницы, многие авторы используют левые upperscripts, то есть, они обозначают транспонирование как $T$ $A$ . Преимущество этого обозначения состоит в том, что при использовании показателей степени скобки не нужны: поскольку $($ $T$ $A$ $)$ $n$ $=$ $T$ $($ $A$ $n$ $)$ , обозначение $T$ $A$ $n$ не является двусмысленным.

В этой статье этой путаницы можно избежать, никогда не используя символ $T$ в качестве имени переменной .

Матричные определения, включающие транспонирование [ править ]

Квадратная матрица, транспонирование которой равно самой себе, называется симметричной матрицей ; то есть $A$ симметрична, если

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = \ mathbf {A}.}

Квадратная матрица, транспонирование которой равно ее отрицательному, называется кососимметричной матрицей ; то есть $A$ кососимметрична, если

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = - \ mathbf {A}.}

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно матрице, в которой каждый элемент заменен ее комплексно сопряженной (обозначенной здесь чертой), называется эрмитовой матрицей (эквивалентной матрице, равной ее сопряженному транспонированию ); то есть $A$ эрмитово, если

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = {\ overline {\ mathbf {A}}}.}

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно отрицанию ее комплексно сопряженной матрицы, называется косоэрмитовой матрицей ; то есть $A$ косоэрмитово, если

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = - {\ overline {\ mathbf {A}}}.}

Квадратная матрица, транспонирование которой равно ее обратной , называется ортогональной матрицей ; то есть $A$ ортогонален, если

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = \ mathbf {A} ^ {- 1}.}

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно сопряженной обратной матрице, называется унитарной матрицей ; то есть $A$ унитарна, если

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = {\ overline {\ mathbf {A} ^ {- 1}}}.}

Примеры [ править ]

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \ end {bmatrix}} ^ {\ operatorname {T}} = \, {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end {bmatrix}}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

Свойства [ править ]

Пусть $A$ и $B$ - матрицы, а $c$ - скаляр .

$\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .$
Операция взятия транспонирования является инволюцией (само- обратным ).
$\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }+\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }.$
Транспонирование уважает добавление .
$\left(\mathbf {AB} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
Обратите внимание, что порядок факторов обратный. Из этого можно сделать вывод о том , что квадратная матрица является обратимым тогда и только тогда , когда $Т$ обратим, и в этом случае мы имеем $($ $-1$ $)$ $Т$ $= ($ $Т$ $)$ $-1$ . По индукции этот результат распространяется на общий случай кратных матриц, где мы находим, что $($ $A$ $1$ $A$ $2$ $...$ $A$ $k$ $-1$ $A$ $k$ $)$ $T$ $=$ $A$ $k$ $T$ $A$ $k$ $-1$ $T$ $\dots$ $2 Т 1 Т$ .
$\left(c\mathbf {A} \right)^{\operatorname {T} }=c\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
Транспонирование скаляра - это тот же скаляр. Вместе с (2), это указывается , что транспонированная представляет собой линейное отображение из пространства в $м \times п$ матриц в пространстве всех $п \times м$ матриц.
$\det \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)=\det(\mathbf {A} ).$
Определитель квадратной матрицы такой же , как определитель транспонированной.
Скалярное произведение двух векторы - столбцов и $б$ может быть вычислен как единственным элемент матрицы продукта:
$\left[\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right]=\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} ,$
который записывается как $a i b i$ в соглашении Эйнштейна о суммировании .
Если $A$ имеет только действительные элементы, то $A T A$ - положительно-полуопределенная матрица .
$\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\operatorname {T} }.$
Транспонирование обратимой матрицы также является обратимым, а его обратное - транспонирование обратной исходной матрицы. Обозначение $A -T$ иногда используется для представления любого из этих эквивалентных выражений.
Если $A$ - квадратная матрица, то ее собственные значения равны собственным значениям ее транспонированной матрицы, поскольку они имеют один и тот же характеристический полином .

Продукты [ править ]

Если $A$ - матрица размера $m \times n,$ а $A T$ - ее транспонированная, то результат умножения матриц с этими двумя матрицами дает две квадратные матрицы: $AA T$ - это $m \times m,$ а $A T A$ - это $n \times n$ . Кроме того, эти продукты представляют собой симметричные матрицы . Действительно, матрица продукт $АА Т$ имеет записи , которые являются скалярным произведением из ряда $А$ с колонком $A T$ . Но столбцы $Т$ являются строками $А$ , так что запись соответствует внутреннему произведению двух рядов $А$ . Если $р I J$ является вступление продукта, он получается из строк $я$ и $J$ в $A$ . Запись $p j i$ также получается из этих строк, таким образом, $p i j = p j i$ , а матрица произведения ( $p i j$ ) симметрична. Аналогично, произведение $A T A$ является симметричной матрицей.

Быстрое доказательство симметрии $AA T следует$ из того факта, что это собственное транспонирование:

\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.

^[8]

Реализация транспонирования матриц на компьютерах [ править ]

Иллюстрация порядка строк и столбцов

На компьютере часто можно избежать явного транспонирования матрицы в памяти , просто обращаясь к тем же данным в другом порядке. Например, программные библиотеки для линейной алгебры , такие как BLAS , обычно предоставляют опции для определения того, что определенные матрицы должны интерпретироваться в транспонированном порядке, чтобы избежать необходимости перемещения данных.

Однако остается ряд обстоятельств, при которых необходимо или желательно физически переупорядочить матрицу в памяти в соответствии с ее транспонированным порядком. Например, если матрица хранится в порядке старших строк, строки матрицы являются смежными в памяти, а столбцы - несмежными. Если над столбцами необходимо выполнить повторяющиеся операции, например, в алгоритме быстрого преобразования Фурье , транспонирование матрицы в памяти (чтобы сделать столбцы смежными) может улучшить производительность за счет увеличения локальности памяти .

В идеале можно было бы надеяться транспонировать матрицу с минимальным объемом дополнительной памяти. Это приводит к проблеме транспонирования матрицы размера n × m на место с дополнительным объемом памяти O (1) или, самое большее, объемом памяти, намного меньшим, чем mn . Для п ≠ м , это включает в себя сложную перестановку элементов данных , что является нетривиальной для реализации на месте. Таким образом, начиная с конца 1950-х годов эффективная перестановка матриц на месте была предметом многочисленных научных публикаций в области компьютерных наук , и было разработано несколько алгоритмов.

Транспонирование линейных карт и билинейных форм [ править ]

Напомним, что матрицы могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с помощью линейных операторов . Транспонирование линейного оператора может быть определено без необходимости рассматривать его матричное представление. Это приводит к гораздо более общему определению транспонирования, которое можно применить к линейным операторам, которые не могут быть представлены матрицами (например, с участием многих бесконечномерных векторных пространств).

Транспонировать линейную карту [ править ]

Пусть $X #$ обозначаем алгебраическое сопряженное пространство в качестве $R$ - модуль $X$ . Пусть $X$ и $Y$ - $R$ -модули. Если $у : Х \to Y$ представляет собой линейное отображение , то его алгебраическое сопряженное или двойной , ^[9] есть отображение $# U : Y # \to Х #$ определяется $F \mapsto е \circ ц$ . Результирующий функционал $u # (Е)$ называется откат из $F$ с помощью $U$ . Следующее соотношение характеризует алгебраический сопряженный к $u$ ^[10]

⟨ U # (е), х ⟩ = ⟨ е, у (х)⟩

для всех

F \in Y'

и

х \in Х

где $⟨•, •⟩$ это естественное спаривание (т.е. определяется $⟨ г, ч ⟩: = ч (г)$ ). Это определение также без изменений применяется к левым модулям и векторным пространствам. ^[11]

Можно увидеть, что определение транспонирования не зависит от какой-либо билинейной формы на модулях, в отличие от сопряженной ( см . Ниже ).

Непрерывное сопряженное пространство из топологического векторного пространства (TVS) $X$ обозначаются через $X'$ . Если $X$ и $Y$ - TVS, то линейное отображение $u : X \to Y$ является слабо непрерывным тогда и только тогда, когда $u # (Y') \subseteq X'$ , и в этом случае пусть $t u : Y' \to X'$ обозначает ограничение $u #$ в $Y'$ . Карта $т у$ называется транспонированной ^[12] о $ц$ .

Если матрица описывает линейное отображение относительно основания из $V$ и $W$ , то матрица $Т$ описывает транспонирование этой линейной карты по отношению к двойным основаниям .

Транспонировать билинейную форму [ править ]

Каждое линейное отображение в сопряженное пространство $u : X \to X #$ определяет билинейную форму $B : X \times X \to F$ с соотношением $B (x, y) = u (x) (y)$ . Определив транспонирование этой билинейной формы как билинейную форму $t B,$ определенную транспонированием $t u : X ## \to X #,$ т.е. $t B (y, x) = t u (Ψ (y)) (x)$ , получаем, что $B (x, y) = t B (y, x)$ . Здесь $Ψ$ - естественный гомоморфизм $X \to X ##$ в двойное двойственное .

Смежный [ править ]

Если векторные пространства $X$ и $Y$ имеют соответственно невырожденные билинейные формы $B X$ и $B Y$ , может быть определено понятие, известное как сопряженное , которое тесно связано с транспонированием:

Если $u : X \to Y$ - линейное отображение между векторными пространствами $X$ и $Y$ , мы определяем $g$ как сопряженное к $u,$ если $g : Y \to X$ удовлетворяет

B_{V}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{W}{\big (}u(x),y{\big )}

для всех

х \in X

и

Y \in Y

.

Эти билинейные формы определяют изоморфизм между $X$ и $X #$ , а также между $Y$ и $Y #$ , что приводит к изоморфизму между транспонированным и присоединенным к $u$ . Матрица сопряженных карт транспонированной матрица только тогда , когда основания являются ортонормированными относительно их билинейной формы. В этом контексте многие авторы используют термин транспонировать для обозначения сопряженного, как определено здесь.

Присоединенное позволяет рассмотреть вопрос о $г : Y \to X$ равно $U -1 : Y \to X$ . В частности, это позволяет определять ортогональную группу над векторным пространством $X$ с квадратичной формой без ссылки на матрицы (или их компоненты) как набор всех линейных отображений $X \to X,$ для которых сопряженное равно обратному.

В сложном векторном пространстве часто работают с полуторалинейными формами (сопряженно-линейными по одному аргументу) вместо билинейных. Эрмитово сопряженный о карте между такими пространствами определяются аналогично, а матрица эрмитовых сопряженным задаются матрицей сопряженного транспонирования , если основания ортонормированы.

См. Также [ править ]

Сопоставить матрицу , транспонировать матрицу кофакторов
Конъюгат транспонировать
Псевдообратная матрица Мура – Пенроуза
Проекция (линейная алгебра)

Ссылки [ править ]

^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 8 сентября 2020 .
^ Никамп, Дуэйн. «Транспонирование матрицы» . Math Insight . Проверено 8 сентября 2020 года .
^ Артур Кейли (1858) «Мемуары по теории матриц» , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 148 : 17–37. Транспонирование (или «транспонирование») описано на странице 31.
↑ TA Whitelaw (1 апреля 1991 г.). Введение в линейную алгебру, 2-е издание . CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.
^ «Транспонирование матричного продукта (ProofWiki)» . ProofWiki . Дата обращения 4 февраля 2021 .
^ "Какой символ лучше всего подходит для транспонирования вектора / матрицы?" . Обмен стеками . Дата обращения 4 февраля 2021 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Транспонировать" . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 .
^ Гилберт Стрэнг (2006) Линейная алгебра и ее приложения, 4-е издание, стр. 51, Thomson Brooks / Cole ISBN 0-03-010567-6
↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 128.
^ Халмош 1974 , §44
^ Бурбаки 1989 , II п.2.5
^ Trèves 2006 , стр. 240.

Дальнейшее чтение [ править ]

Бурбаки, Николас (1989) [1970]. Алгебра I, главы 1–3 [ Алжир: главы 1–3 ] (PDF) . Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156 .

Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN 978-0-387-90093-3.
Марускин, Джаред М. (2012). Основная линейная алгебра . Сан-Хосе: Solar Crest. С. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Шварц, Джейкоб Т. (2001). Введение в матрицы и векторы . Минеола: Дувр. С. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.

Внешние ссылки [ править ]

Гилберт Стрэнг (весна 2010 г.) Линейная алгебра из открытых курсов Массачусетского технологического института

[:0-1] «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 8 сентября 2020 .

[2] Никамп, Дуэйн. «Транспонирование матрицы» . Math Insight . Проверено 8 сентября 2020 года .

[3] Артур Кейли (1858) «Мемуары по теории матриц» , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 148 : 17–37. Транспонирование (или «транспонирование») описано на странице 31.

[Whitelaw1991-4] TA Whitelaw (1 апреля 1991 г.). Введение в линейную алгебру, 2-е издание . CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.

[5] «Транспонирование матричного продукта (ProofWiki)» . ProofWiki . Дата обращения 4 февраля 2021 .

[6] "Какой символ лучше всего подходит для транспонирования вектора / матрицы?" . Обмен стеками . Дата обращения 4 февраля 2021 .

[7] Вайсштейн, Эрик В. "Транспонировать" . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 .

[8] Гилберт Стрэнг (2006) Линейная алгебра и ее приложения, 4-е издание, стр. 51, Thomson Brooks / Cole ISBN 0-03-010567-6

[FOOTNOTESchaeferWolff1999128-9] Schaefer & Wolff 1999 , стр. 128.

[10] Халмош 1974 , §44

[11] Бурбаки 1989 , II п.2.5

[FOOTNOTETrèves2006240-12] Trèves 2006 , стр. 240.

[1]

vтеЛинейная алгебра
Базовые концепты	Скалярный Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Основа Смена основы Векторы строк и столбцов Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Гауссово исключение
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Детерминант Перекрестный продукт Тройной продукт Семимерное перекрестное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Мультивектор Тензор Внешний морфизм
Конструкции векторного пространства	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство Частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Базовые подпрограммы линейной алгебры Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория Контур Математический портал Викибук Викиверситет