Конъюгат транспонировать

В математике , в сопряженном транспонировании (или эрмитовых транспонированный ) требуемый м матрицы с размерностью п матрицы с комплексными записями, является н - матрицей с размерностью м матрицы , полученная из взяв транспонирование , а затем принимать комплексное сопряжение каждого элемента (комплексное сопряжение из того , для вещественных чисел и ). Часто обозначается как или . ^{[1] [2] [3]}${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle a + ib}$${\ displaystyle a-ib}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$

Для вещественных матриц, сопряженное транспонирование только транспонированное, .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$

Определение [ править ]

Сопряженное транспонирование матрицы формально определяется формулой${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {{\boldsymbol {A}}_{ji}}}}$

( Уравнение 1 )

где нижние индексы обозначают -й элемент для и , а черта сверху обозначает скалярное комплексное сопряжение.${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle 1\leq j\leq m}$

Это определение также можно записать как ^[3]

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\boldsymbol {A}}}\right)^{\mathsf {T}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}}$

где обозначает транспонирование и обозначает матрицу с комплексно сопряженными элементами.${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {A}}}}$

Другие названия для сопряженных транспонированной матрицы эрмитово сопряженные , bedaggered матрица , матрица сопряженной или transjugate . Сопряженное транспонирование матрицы можно обозначить любым из этих символов:${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$, обычно используется в линейной алгебре ^[3]
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$, обычно используется в линейной алгебре ^[1]
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$(иногда произносится как A кинжалом ), обычно используемый в квантовой механике
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{+}}$, хотя этот символ чаще используется для псевдообратной матрицы Мура – ​​Пенроуза.

В некоторых контекстах обозначает матрицу только с комплексно сопряженными элементами и без транспонирования.${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$

Пример [ править ]

Предположим, мы хотим вычислить сопряженное транспонирование следующей матрицы .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Сначала транспонируем матрицу:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Затем мы сопрягаем каждую запись матрицы:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Основные замечания [ править ]

Квадратная матрица с элементами называется${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle a_{ij}}$

• Эрмитовский или самосопряженный, если ; то есть  .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$
• Косые Эрмитова или антиэрмитов- если ; то есть  .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$
• Нормально, если .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$
• Унитарное если , что то же самое , что то же самое .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {I}}}$

Даже если не является квадратным, обе матрицы и являются эрмитовыми и фактически положительными полуопределенными матрицами .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$

Матрица сопряженное транспонирование «сопряженный» не следует путать с adjugate , , который также иногда называют сопряженным .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \operatorname {adj} ({\boldsymbol {A}})}$

Сопряженное транспонирование матрицы с реальными записями сводится к транспонированной из , как конъюгат действительного числа является само число.${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

Мотивация [ править ]

Сопряженное транспонирование может быть мотивировано тем, что комплексные числа могут быть удобно представлены вещественными матрицами 2 × 2, подчиняясь сложению и умножению матриц:

${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$

То есть, обозначающие каждое комплексное число г на реальном 2 × 2 матрицы линейного преобразования на диаграмме Аргана ( если смотреть в качестве реального векторного пространства ), пострадавших от комплекса г -умножения на .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Таким образом, матрица комплексных чисел размером m на n может быть хорошо представлена матрицей действительных чисел размером 2 m на 2 n . Поэтому сопряженное транспонирование возникает очень естественно , как результат просто транспонирование такой матрицы , когда снова рассматривать как п матрицу с размерностью м матрицы из комплексных чисел.

Свойства сопряженного транспонирования [ править ]

• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$для любых двух матриц и тех же размеров.${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle (z{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {H} }={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$для любого комплексного числа и любой матрицы размером m на n .${\displaystyle z}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$
• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$для любой матрицы размером m на n и любой матрицы размером n на p . Обратите внимание, что порядок факторов обратный. ^[2]${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}}$для любой матрицы размером m на n , т.е. эрмитова транспозиция является инволюцией .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$
• Если квадратная матрица, то где обозначает определитель из .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle \operatorname {det} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })={\overline {\operatorname {det} ({\boldsymbol {A}})}}}$${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$
• Если это квадратная матрица, то , где обозначает след из .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })={\overline {\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}})}}}$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$является обратимым тогда и только тогда , когда обратим, и в этом случае .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })^{-1}=({\boldsymbol {A}}^{-1})^{\mathrm {H} }}$
• В собственные из являются комплексно сопряженными с собственными значениями из .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$
• ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}}x,y\rangle _{m}=\langle x,{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }y\rangle _{n}}$для любой матрицы размером m на n , любого вектора in и любого вектора . Здесь обозначает стандартное сложное внутреннее произведение для и аналогично для .${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$

Обобщения [ править ]

Последнее свойство приведенного выше показывает , что если один вид как линейное преобразование из гильбертова пространства в то матрица соответствует сопряженному оператору о . Таким образом, понятие сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженного транспонирования матриц по отношению к ортонормированному базису.${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

Доступно другое обобщение: предположим, что это линейное отображение из комплексного векторного пространства в другое, тогда определены комплексно сопряженное линейное отображение, а также транспонированное линейное отображение , и мы можем, таким образом, принять сопряженное транспонирование как комплексное сопряжение переносить . Он отображает сопряженный двойные из сопряженных двойственных .${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$

См. Также [ править ]

• Сложный точечный продукт
• Эрмитово сопряженный
• Адъюгированная матрица

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Присоединенная матрица" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]