Унитарная матрица

В линейной алгебре , комплексная квадратная матрица U является унитарной , если его сопряженным транспонированием U ^* является также его обратной , то есть, если

${\ Displaystyle U ^ {*} U = UU ^ {*} = I,}$

где I - единичная матрица .

В физике, особенно в квантовой механике, эрмитово сопряжение матрицы обозначается крестиком (†), и приведенное выше уравнение принимает вид

${\ Displaystyle U ^ {\ dagger} U = UU ^ {\ dagger} = I.}$

Действительный аналог унитарной матрицы - ортогональная матрица . Унитарные матрицы имеют большое значение в квантовой механике, потому что они сохраняют нормы и, следовательно, амплитуды вероятностей .

Свойства [ править ]

Для любой унитарной матрицы U конечного размера выполняется следующее:

• Для двух комплексных векторов x и y умножение на U сохраняет их внутренний продукт ; то есть, ⟨ Ux , Uy ⟩ = ⟨ х , у ⟩ .
• U является нормальным ( ).${\ Displaystyle U ^ {*} U = UU ^ {*}}$
• U является диагонализируем ; то есть, U является унитарно подобен диагональной матрицей, как следствие спектральной теоремы . Таким образом, U имеет разложение вида

${\ Displaystyle U = VDV ^ {*},}$

где V унитарна, а D диагональна и унитарна.

• ${\ displaystyle \ left | \ operatorname {det} (U) \ right | = 1}$.
• Его собственные подпространства ортогональны.
• U можно записать как U  = e ^{i H} , где e обозначает экспоненту матрицы , i - мнимая единица, а H - эрмитова матрица .

Для любого неотрицательного целого числа n набор всех унитарных матриц размера n  ×  n с умножением матриц образует группу , называемую унитарной группой U ( n ).

Любая квадратная матрица с единичной евклидовой нормой является средним значением двух унитарных матриц. ^[1]

Эквивалентные условия [ править ]

Если U - квадратная комплексная матрица, то следующие условия эквивалентны: ^[2]

1. U унитарен.
2. U ^∗ унитарен.
3. U обратима с U ⁻¹ = U ^∗ .
4. Столбцы U образуют ортогональный базис из относительно обычного скалярного произведения. Другими словами, U ^* U = I .${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$
5. Строки U образуют ортонормированный базис относительно обычного внутреннего произведения. Другими словами, U U ^* = I .${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$
6. U - изометрия относительно обычной нормы. То есть для всех , где .${\ Displaystyle \ | Ux \ | _ {2} = \ | x \ | _ {2}}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ displaystyle \ | x \ | _ {2} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}}}$
7. U - нормальная матрица (эквивалентно, существует ортонормированный базис, образованный собственными векторами матрицы U ) с собственными значениями, лежащими на единичной окружности .

Элементарные конструкции [ править ]

Унитарная матрица 2 × 2 [ править ]

Общее выражение унитарной матрицы 2 × 2 имеет вид

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1,}$

который зависит от 4 реальных параметров (фазы a , фазы b , относительной величины между a и b и угла φ ). Определитель такой матрицы

${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }.}$

Подгруппа этих элементов с называется специальной унитарной группой SU (2).${\displaystyle U}$${\displaystyle \det(U)=1}$

Матрицу U можно также записать в альтернативной форме:

${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \\\end{bmatrix}},}$

который, введя φ ₁ = ψ + Δ и φ ₂ = ψ - Δ , принимает следующую факторизацию:

${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.}$

Это выражение подчеркивает соотношение между 2 × 2 унитарных матриц и 2 × 2 ортогональных матриц из угла & thetas .

Другая факторизация - ^[3]

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\-\sin \beta &\cos \beta \\\end{bmatrix}}.}$

Возможны многие другие факторизации унитарной матрицы в базовые матрицы.

См. Также [ править ]

• Эрмитова матрица
• Разложение матрицы
• Ортогональная группа O ( n )
• Специальная ортогональная группа SO ( n )
• Ортогональная матрица
• Квантовый логический вентиль
• Специальная унитарная группа SU ( n )
• Симплектическая матрица
• Унитарная группа U ( n )
• Унитарный оператор

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Унитарная матрица» . MathWorld . Тодд Роуленд.
• Иванова, О.А. (2001) [1994], «Унитарная матрица» , Энциклопедия математики , EMS Press
• «Покажите, что собственные значения унитарной матрицы имеют модуль 1» . Обмен стеками . 28 марта 2016 г.