Матрица экспоненциальная

В математике , то матрица экспоненциальный является матрица - функция на квадратных матрицах , аналогичных обычную экспоненциальную функцию . Он используется для решения систем линейных дифференциальных уравнений. В теории групп Ли матричная экспонента устанавливает связь между матричной алгеброй Ли и соответствующей группой Ли .

Пусть X - вещественная или комплексная матрица размера n × n . Экспонента X , обозначаемая e ^X или exp ( X ) , представляет собой матрицу n × n, заданную степенным рядом

${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}}$

где определяется как единичная матрица с теми же размерами, что и . ^[1]${\displaystyle X^{0}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$

Вышеупомянутый ряд всегда сходится, поэтому экспонента X хорошо определена. Если Х представляет собой матрицу размером 1 × 1 матрица экспонентой X является 1 × 1 матрица, один элемент является обычным экспоненциальным из одного элемента из X .

Свойства [ править ]

Элементарные свойства [ править ]

Пусть X и Y - комплексные матрицы размера n × n, а a и b - произвольные комплексные числа. Обозначим единичную матрицу размера n × n через I, а нулевую матрицу - через 0. Матричная экспонента удовлетворяет следующим свойствам. ^[2]

Начнем со свойств, которые являются непосредственными следствиями определения в виде степенного ряда:

• е ⁰ = я
• ехр ( Х ^Т ) = (ехр Х ) ^Т , где Х ^Т обозначает транспонирование из X .
• ехр ( Х ^* ) = (ехр Х ) ^* , где Х ^* обозначает сопряженное транспонирование из X .
• Если Y является обратимым , то е ^{YXY -1} = Е. ^X Y ^-1 .

Следующий ключевой результат:

• Если тогда .${\displaystyle XY=YX}$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

Доказательство этого тождества такое же, как и стандартный аргумент степенного ряда для соответствующего тождества для экспоненты действительных чисел. Другими словами, пока и коммутируют${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ , не имеет значения для аргумента, являются ли и числами или матрицами. Важно отметить, что это тождество обычно не выполняется, если и не коммутируют (см. Неравенство Голдена-Томпсона ниже).${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Последствия предыдущего тождества следующие:

• е ^aX e ^bX = e ^{( a + b ) X}
• е ^Х е ^{- Х} = I

Используя приведенные выше результаты, мы можем легко проверить следующие утверждения. Если X является симметричным , то е ^X также симметричны, и если X является кососимметричен то е ^X является ортогональным . Если X является эрмитовым , то е ^X также эрмитова, и если X является косоэрмиты то е ^X является унитарными .

Наконец, преобразование Лапласа матричных экспонент составляет резольвенту ,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}}$

для всех достаточно больших положительных значений s .

Системы линейных дифференциальных уравнений [ править ]

Одна из причин важности матричной экспоненты заключается в том, что ее можно использовать для решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений . Решение

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},}$

где A - постоянная матрица, задается формулой

${\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}.\,}$

Матричную экспоненту также можно использовать для решения неоднородного уравнения

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.}$

Примеры см. В разделе о приложениях ниже.

Для дифференциальных уравнений вида не существует решения в замкнутой форме

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},}$

где A не является константой, но ряд Магнуса дает решение в виде бесконечной суммы.

Определитель экспоненты матрицы [ править ]

По формуле Якоби для любой комплексной квадратной матрицы выполняется следующее тождество следа : ^[3]

Эта формула не только предоставляет вычислительный инструмент, но и демонстрирует, что экспоненциальная матрица всегда является обратимой матрицей . Это следует из того факта, что правая часть приведенного выше уравнения всегда отлична от нуля, и поэтому det ( e ^A ) ≠ 0 , что означает, что e ^A должна быть обратимой.

В вещественном случае формула также показывает отображение

${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

не быть сюръективным , в отличие от сложного случая, упомянутого ранее. Это следует из того, что для вещественнозначных матриц правая часть формулы всегда положительна, а существуют обратимые матрицы с отрицательным определителем.

Экспонента сумм [ править ]

Для любых действительных чисел (скаляров) x и y мы знаем, что экспоненциальная функция удовлетворяет условию e ^{x + y} = e ^x e ^y . То же верно и для коммутирующих матриц. Если матрицы X и Y коммутируют (что означает, что XY = YX ), то,

${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.}$

Однако для матриц, которые не коммутируют, указанное выше равенство не обязательно выполняется.

Формула произведения Ли [ править ]

Даже если X и Y не коммутируют, экспоненту e ^{X + Y} можно вычислить по формуле произведения Ли ^[4]

${\displaystyle e^{X+Y}=\lim _{n\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{n}}X}e^{{\frac {1}{n}}Y}\right)^{n}}$.

Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа [ править ]

С другой стороны, если X и Y - достаточно малые (но не обязательно коммутирующие) матрицы, мы имеем

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z},}$

где Z может быть вычислена в виде ряда коммутаторов из X и Y с помощью формулы Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа : ^[5]

${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots }$,

где остальные члены все итерация коммутаторы с участием X и Y . Если X и Y коммутируют, то все коммутаторы равны нулю , и мы имеем просто Z = X + Y .

Неравенства для экспонент эрмитовых матриц [ править ]

Для эрмитовых матриц есть известная теорема, связанная со следом матричных экспонент.

Если A и B эрмитовы матрицы, то

${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].}$^[6]

Нет требования коммутативности. Существуют контрпримеры, показывающие, что неравенство Голдена – Томпсона нельзя распространить на три матрицы - и, в любом случае, tr (exp ( A ) exp ( B ) exp ( C )) не гарантируется, что будет действительным для эрмитов A , B , С . Однако Либ доказал ^{[7] [8],} что его можно обобщить на три матрицы, если мы изменим выражение следующим образом

${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].}$

Экспоненциальная карта [ править ]

Экспонента матрицы всегда является обратимой матрицей . Обратная матрица е ^X задается е ^{- X} . Это аналогично тому, что экспонента комплексного числа всегда отлична от нуля. Тогда матричная экспонента дает нам карту

${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

из пространства всех матриц размера n × n в общую линейную группу степени n , т. е. группу всех обратимых матриц размера n × n . Фактически, это отображение сюръективно, что означает, что любую обратимую матрицу можно записать как экспоненту некоторой другой матрицы ^[9] (для этого важно рассматривать поле комплексных чисел C, а не R ).

Для любых двух матриц X и Y ,

${\displaystyle \left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},}$

где ‖ · ‖ обозначает произвольную матричную норму . Отсюда следует, что экспоненциальное отображение непрерывно и липшицево на компактных подмножествах M _n ( C ) .

Карта

${\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} }$

определяет гладкую кривую в общей линейной группе, которая проходит через единичный элемент при t = 0.

Фактически, это дает однопараметрическую подгруппу общей линейной группы, поскольку

${\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.\,}$

Производная этой кривой (или касательный вектор ) в точке t определяется выражением

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X.\qquad (1)}$

Производная при t = 0 - это просто матрица X , то есть X порождает эту однопараметрическую подгруппу.

В более общем смысле, ^[10] для общей t- зависимой экспоненты, X (t) ,

Вынося указанное выше выражение e ^{X ( t )} за знак интеграла и разлагая подынтегральное выражение с помощью леммы Адамара, можно получить следующее полезное выражение для производной матричной экспоненты ^[11]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]+\cdots }$

Коэффициенты в приведенном выше выражении отличаются от коэффициентов экспоненты. Для закрытой формы см производную экспоненциального отображения .

Вычисление экспоненты матрицы [ править ]

Найти надежные и точные методы вычисления матричной экспоненты сложно, и это все еще является темой значительных текущих исследований в области математики и численного анализа. Matlab , GNU Octave и SciPy используют аппроксимацию Паде . ^{[12] [13] [14]} В этом разделе мы обсуждаем методы, которые в принципе применимы к любой матрице и которые могут быть реализованы явно для небольших матриц. ^{[15] В} последующих разделах описываются методы, подходящие для численной оценки на больших матрицах.

Диагонализируемый случай [ править ]

Если матрица диагональная :

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$,

тогда его экспоненту можно получить возведением в степень каждой записи на главной диагонали:

${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}}$.

Этот результат также позволяет возводить в степень диагонализуемые матрицы . Если

А = УДУ ^-1

и D диагональна, то

е ^A = Ue ^D U ⁻¹ .

Применение формулы Сильвестра дает тот же результат. (Чтобы увидеть это, обратите внимание, что сложение и умножение, а следовательно, и возведение в степень диагональных матриц эквивалентно поэлементному сложению и умножению, и, следовательно, возведению в степень; в частности, «одномерное» возведение в степень чувствуется поэлементно для диагональных матриц. дело.)

Нильпотентный случай [ править ]

Матрица Н является нильпотентной , если N ^д = 0 для некоторого целого ц . В этом случае матричная экспонента e ^N может быть вычислена непосредственно из разложения ряда, поскольку ряд завершается после конечного числа членов:

${\displaystyle e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.}$

Общий случай [ править ]

Использование разложения Жордана – Шевалле [ править ]

С помощью разложения Жордана – Шевалле любую матрицу X с комплексными элементами можно выразить как${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle X=A+N\,}$

куда

• A диагонализуема
• N нильпотентен
• A коммутирует с N

Это означает, что мы можем вычислить экспоненту X , сведя к двум предыдущим случаям:

${\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.\,}$

Обратите внимание, что нам нужна коммутативность A и N для работы последнего шага.

Использование канонической формы Джордана [ править ]

Близкородственные методы, если поле алгебраически замкнуто , чтобы работать с жордановой формой из X . Предположу , что Х = ПЭП  ^-1 , где J представляет собой Жорданов форма X . потом

${\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.\,}$

Кроме того, поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}}$

Следовательно, нам нужно только знать, как вычислить матричную экспоненту жордановой клетки. Но каждый жорданов блок имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}}$

где N - специальная нильпотентная матрица. Матричная экспонента J тогда дается выражением

${\displaystyle e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}}$

Случай проекции [ править ]

Если P - матрица проекции (т. Е. Идемпотентная : P ² = P ), ее матричная экспонента равна:

е ^Р = I + ( е - 1) Р .

Получив это путем разложения экспоненциальной функции, каждая степень P сводится к P, который становится общим множителем суммы:

${\displaystyle e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.}$

Случай вращения [ править ]

Для простого поворота , в котором единичные векторы перпендикулярны и б указать плоскость, ^[16] матрица вращения R может быть выражено в терминах аналогичной экспоненциальной функции с участием генератор G и угол & thetas . ^{[17] [18]}

${\displaystyle {\begin{aligned}G&=ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=aa^{\mathsf {T}}+bb^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}}$

Формула для экспоненты является результатом уменьшения степеней G в разложении ряда и отождествления соответствующих коэффициентов ряда G ² и G с −cos ( θ ) и sin ( θ ) соответственно. Второе выражение здесь для e ^Gθ совпадает с выражением для R ( θ ) в статье, содержащей вывод генератора , R ( θ ) = e ^Gθ .

В двух измерениях, если и , то , и${\displaystyle a=\left({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle b=\left({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle G=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle G^{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)}$

${\displaystyle R(\theta )=\left({\begin{matrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{matrix}}\right)=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )}$

сводится к стандартной матрице поворота плоскости.

Матрица P = - G ² проецирует вектор на плоскость ab, и вращение влияет только на эту часть вектора. Пример, иллюстрирующий это, - поворот на 30 ° = π / 6 в плоскости, охватываемой точками a и b ,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}&b&={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}0\\1\\2\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{pmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{pmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{pmatrix}}\\P{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{pmatrix}5\\8\\16\\\end{pmatrix}}=a+{\frac {8}{\sqrt {5}}}b&R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Пусть N = I - P , поэтому N ² = N и его произведения на P и G равны нулю. Это позволит нам оценить силы R .

${\displaystyle {\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}}$

Оценка серии Laurent [ править ]

В силу теоремы Кэли – Гамильтона матричная экспонента выражается в виде полинома порядка n - 1.

Если P и Q _t - ненулевые многочлены от одной переменной, такие что P ( A ) = 0 , и если мероморфная функция

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}}$

это целое , то

${\displaystyle e^{tA}=Q_{t}(A)}$.

Чтобы доказать это, умножить первое из двух указанных выше равенств на P ( г ) и заменить г на А .

Такой многочлен Q _t (z) можно найти следующим образом - см . Формулу Сильвестра . Позволить быть корнем P , Q _{а, т} (г) решаются из продукта Р в основной части из ряда Лорана из F в : Он пропорционален соответствующей фробениусовом ковариантном . Тогда сумма S _t из Q _{a, t} , где a пробегает все корни P , может быть взята как конкретное Q _t. Все остальные Q _т будет получен добавлением кратного P к S _т (г) . В частности, S _т (г) , то многочлен Лагранжа-Сильвестра , является единственным Q _т , степень которого меньше , чем у P .

Пример : рассмотрим случай произвольной матрицы 2 на 2,

${\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.}$

Экспоненциальная матрица e ^tA в силу теоремы Кэли – Гамильтона должна иметь вид

${\displaystyle e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A}$.

(Для любого комплексного числа z и любой C -алгебры B мы снова обозначим через z произведение z на единицу B. )

Пусть α и р быть корни характеристического полинома из А ,

${\displaystyle P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,}$

следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}}$

если α ≠ β ; а если α = β ,

${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}}$

Определение

${\displaystyle {\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}}$

у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}}$

где sin ( qt ) / q равно 0, если t = 0, и t, если q = 0.

Таким образом,

Таким образом, как указано выше, матрица A , разложившаяся на сумму двух взаимно коммутирующих частей, отслеживаемого фрагмента и бесследного фрагмента,

${\displaystyle A=sI+(A-sI)~,}$

матричная экспонента сводится к простому произведению экспонент двух соответствующих частей. Эта формула часто используется в физике, поскольку она составляет аналог формулы Эйлера для спиновых матриц Паули , то есть повороты дублетного представления группы SU (2) .

Многочлену S _t также можно дать следующую « интерполяционную » характеристику. Определим е _т (г) ≡ е ^TZ и п ≡ град Р . Тогда S _т (г) является единственной степенью < п полином , который удовлетворяет S _т ^(к) (а) = е _т ^(к) (а) всякий раз , когда к меньше , чем кратность как корень Р . Мы предполагаем, что очевидно, что P - этоминимальный многочлен от А . Далее мы предполагаем, что A - диагонализуемая матрица . В частности, корни P простые, а характеристика " интерполяции " указывает, что S _t задается формулой интерполяции Лагранжа , поэтому это полином Лагранжа-Сильвестра .

С другой стороны, если P = (z - a) ⁿ , то

${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.}$

Простейший случай не распространяется на вышеуказанных наблюдениях, когда с более ≠ б , что дает${\displaystyle P=(z-a)^{2}\,(z-b)}$

${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ {\Bigg (}1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a){\Bigg )}+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.}$

Оценка путем реализации формулы Сильвестра [ править ]

Практическое ускоренное вычисление вышеизложенного сводится к следующим быстрым шагам. Напомним, что матрица exp ( tA ) размера n × n представляет собой линейную комбинацию первых n −1 степеней матрицы A по теореме Кэли – Гамильтона . Для диагонализуемых матриц, как показано выше, например, в случае 2 × 2, формула Сильвестра дает exp ( tA ) = B _α exp ( tα ) + B _β exp ( tβ ) , где B s - коварианты Фробениусаиз A .

Однако проще всего просто решить эти B s напрямую, вычислив это выражение и его первую производную при t = 0 в терминах A и I , чтобы найти тот же ответ, что и выше.

Но эта простая процедура также работает для дефектных матриц в обобщении Бухгейма. ^[19] Это проиллюстрировано здесь для примера 4 × 4 матрицы, которая не является диагонализуемой , и B s не являются проекционными матрицами.

Учитывать

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}~,}$

с собственными значениями λ ₁ = 3/4 и λ ₂ = 1 , каждое с кратностью два.

Рассмотрим экспоненту каждого собственного значения, умноженную на t , exp ( λ _i t ) . Умножьте каждое возведенное в степень собственное значение на соответствующую матрицу неопределенных коэффициентов B _i . Если собственные значения имеют алгебраическую кратность больше 1, повторите процесс, но теперь умножая на дополнительный коэффициент t для каждого повторения, чтобы гарантировать линейную независимость.

(Если бы одно собственное значение имело кратность, равную трем, то было бы три члена:. Напротив, когда все собственные значения различны, B s - это просто коварианты Фробениуса , и решение для них, как показано ниже, просто равносильно обращению Матрица Вандермонда этих 4 собственных значений.)${\displaystyle B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}}$

Суммируем все такие слагаемые, вот таких четыре,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}}$

Чтобы найти все неизвестные матрицы B в терминах первых трех степеней A и тождества, нужно четыре уравнения, одно из которых дает одно такое при t = 0. Далее продифференцируйте его по t ,

${\displaystyle Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,}$

и опять,

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}}$

и еще раз

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}}$

(В общем случае нужно взять n - 1 производную.)

Положив t = 0 в этих четырех уравнениях, теперь можно решить четыре матрицы коэффициентов B s для,

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}}$

уступить

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}}$

Подстановка значения для A дает матрицы коэффициентов

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{pmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{pmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{pmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{pmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

так что окончательный ответ

${\displaystyle e^{tA}={\begin{pmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{pmatrix}}}$

Процедура намного короче алгоритма Путцера, который иногда используется в таких случаях.

Иллюстрации [ править ]

Предположим, мы хотим вычислить экспоненту

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.}$

Его Жорданова форма является

${\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},}$

где матрица P имеет вид

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.}$

Сначала вычислим exp ( J ). У нас есть

${\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)\,}$

Экспонента матрицы 1 × 1 - это просто экспонента одной записи матрицы, поэтому exp ( J ₁ (4)) = [ e ⁴ ]. Показатель J ₂ (16) может быть вычислен по формуле e ^{(λ I  +  N )} =  e ^λ e ^N, упомянутой выше; это дает ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Следовательно, экспонента исходной матрицы B равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Приложения [ править ]

Линейные дифференциальные уравнения [ править ]

Матричная экспонента имеет приложения к системам линейных дифференциальных уравнений . (См. Также матричное дифференциальное уравнение .) Напомним, как уже говорилось ранее в этой статье, что однородное дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} }$

имеет решение e ^At y (0) .

Если рассматривать вектор

${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{pmatrix}}~,}$

мы можем выразить систему неоднородных связанных линейных дифференциальных уравнений как

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).}$

Составление анзаца для использования интегрирующего коэффициента e ^{- At} и умножение повсюду дает

${\displaystyle {\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}}$

Второй шаг возможен благодаря тому, что если AB = BA , то e ^At B = Be ^At . Таким образом, вычисление e ^At приводит к решению системы путем простого интегрирования третьего шага по t .

Пример (однородный) [ править ]

Рассмотрим систему

${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.}$

Соответствующая дефектный матрица является

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.}$

Матричная экспонента равна

${\displaystyle e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$

так что общее решение однородной системы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$

в размере

${\displaystyle {\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}}$

Пример (неоднородный) [ править ]

Рассмотрим теперь неоднородную систему

${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.}$

У нас снова есть

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}$

и

${\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.}$

Ранее у нас уже есть общее решение однородного уравнения. Поскольку сумма однородных и частных решений дает общее решение неоднородной задачи, теперь нам нужно найти только частное решение.

У нас есть, согласно вышеизложенному,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}}$

которое можно было бы еще больше упростить, чтобы получить необходимое конкретное решение, определяемое путем изменения параметров. Обратите внимание: c = y _p (0). Для большей строгости см. Следующее обобщение.

Обобщение неоднородного случая: вариация параметров [ править ]

Для неоднородного случая можно использовать интегрирующие множители (метод, родственный варьированию параметров ). Ищем частное решение вида y _p ( t ) = exp ( tA )  z  ( t )  ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}$