В математике каждую аналитическую функцию можно использовать для определения матричной функции, которая отображает квадратные матрицы со сложными элементами в квадратные матрицы того же размера.
Это используется для определения экспоненты матрицы , которая участвует в замкнутом решении систем линейных дифференциальных уравнений .
Расширение скалярной функции до матричных функций
Существует несколько методов поднятия реальной функции до квадратной матричной функции, позволяющей сохранить интересные свойства. Все следующие методы дают одну и ту же матричную функцию, но области, в которых она определена, могут отличаться.
Силовая серия
Если аналитическая функция f имеет разложение Тейлора
тогда матричная функция может быть определена путем подстановки х с помощью квадратной матрицы : силы становятся матричные силы , дополнения становятся матричные суммы и умножения на коэффициенты становятся скалярных умножений . Если ряд сходится при, то соответствующий матричный ряд сходится для таких матриц A , чтодля некоторой матричной нормы , удовлетворяющей.
Диагонализируемые матрицы
Квадратная матрица является диагонализируемо , если есть обратимая матрица Р такой , что является диагональной матрицей , то есть, D имеет форму
В виде естественно установить
Можно проверить , что матрица F ( ) не зависит от конкретного выбора P .
Например, предположим, что кто-то ищет для
Надо
для
Тогда применение формулы просто дает
Так же,
Разложение Жордана
Все комплексные матрицы, независимо от того, диагонализуемы они или нет, имеют жордановую нормальную форму , где матрица J состоит из жордановых блоков . Рассмотрим эти блоки отдельно и применим степенной ряд к блоку Жордана:
Это определение можно использовать для расширения области определения матричной функции за пределы набора матриц со спектральным радиусом, меньшим, чем радиус сходимости степенного ряда. Обратите внимание, что существует также связь с разделенными различиями .
Связанное с этим понятие - разложение Жордана – Шевалле, которое выражает матрицу как сумму диагонализуемой и нильпотентной частей.
Эрмитовы матрицы
Эрмитова матрица имеет все вещественные собственные значения и всегда может быть диагонализуется с помощью унитарной матрицы P, согласно спектральной теореме . В этом случае определение Жордана естественно. Более того, это определение позволяет расширить стандартные неравенства для вещественных функций:
Если для всех собственных значений , тогда . (По соглашениюявляется положительно-полуопределенной матрицей .) Доказательство следует непосредственно из определения.
Интеграл Коши
Интегральная формула Коши из комплексного анализа также может использоваться для обобщения скалярных функций на матричные функции. Интегральная формула Коши утверждает, что для любой аналитической функции f, определенной на множестве D ⊂ ℂ , выполняется
где C - замкнутая простая кривая внутри области D, охватывающей x .
Теперь, заменить й на матрицу А и рассмотрит путь C внутри D , который охватывает все собственные значения из A . Одна из возможностей добиться этого - позволить C быть окружностью вокруг начала координат с радиусом больше A ‖ для произвольной матричной нормы ‖ • ‖. Тогда f ( A ) определима следующим образом:
Этот интеграл легко вычислить численно, используя правило трапеции , которое в этом случае сходится экспоненциально. Это означает, что точность результата удваивается, когда количество узлов удваивается. В обычных случаях это обходится формулой Сильвестра .
Эта идея, примененная к ограниченным линейным операторам в банаховом пространстве , которые можно рассматривать как бесконечные матрицы, приводит к голоморфному функциональному исчислению .
Матричные возмущения
Приведенный выше степенной ряд Тейлора допускает скалярную заменяется матрицей. В целом это неверно при расширении с точки зрения о пока не . Контрпример, имеющий ряд Тейлора конечной длины. Мы вычисляем это двумя способами:
- Распределительное право:
- Используя скалярное разложение Тейлора для и заменяя скаляры матрицами в конце:
Скалярное выражение предполагает коммутативность, в то время как матричное выражение - нет, и поэтому они не могут быть приравнены напрямую, если . Для некоторого f ( x ) с этим можно справиться, используя тот же метод, что и для скалярных рядов Тейлора. Например,. Если существует тогда . Затем разложение первого члена следует за степенным рядом, приведенным выше:
Затем применяются критерии сходимости степенного ряда, требующие быть достаточно малым при соответствующей матричной норме. Для более общих задач, которые нельзя переписать таким образом, чтобы две матрицы коммутируют, необходимо отслеживать упорядочение матричных продуктов, полученных путем повторного применения правила Лейбница.
Произвольная функция матрицы 2 × 2
Для произвольной функции f (A) матрицы A 2 × 2 формула Сильвестра упрощается до
где являются собственными значениями его характеристического уравнения, | A-λI | = 0, и имеют вид
Примеры
- Матричный полином
- Корень матрицы
- Матричный логарифм
- Матрица экспоненциальная
- Знаковая функция матрицы [1]
Классы матричных функций
Используя полуопределенный порядок (является положительным полуопределенной иявляется положительно определенным ), некоторые из классов скалярных функций могут быть перенесены на матричные функции эрмитовых матриц . [2]
Оператор монотонный
Функция f называется операторно-монотонной тогда и только тогда, когдадля всех самосопряженных матриц A , H со спектрами в области определения f . Это аналог монотонной функции в скалярном случае.
Оператор вогнутый / выпуклый
Функция f называется операторной вогнутой тогда и только тогда, когда
для всех самосопряженных матриц A , H со спектрами в области f и. Это определение аналогично вогнутой скалярной функции . Операторную выпуклую функцию можно определить как переключение к в определении выше.
Примеры
Журнал матрицы является как операторно монотонным, так и операторным. Матричный квадрат операторно выпуклый. Матричная экспонента не является ни одним из них. Теорема Лёвнера утверждает, что функция на открытом интервале операторно монотонна тогда и только тогда, когда она имеет аналитическое расширение на верхнюю и нижнюю комплексные полуплоскости, так что верхняя полуплоскость отображается сама на себя. [2]
Смотрите также
- Алгебраическое уравнение Риккати
- Формула Сильвестра
- Заказ Loewner
- Матричное исчисление
- Следить за неравенством
- Тригонометрические функции матриц
Заметки
- ^ Хайэм, Ник (2020-12-15). "Что такое матричная знаковая функция?" . Ник Хайэм . Проверено 27 декабря 2020 .
- ^ а б Бхатия, Р. (1997). Матричный анализ . Тексты для выпускников по математике. 169 . Springer.
Рекомендации
- Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции теории и вычисления матриц . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 9780898717778.