В математике матричный многочлен - это многочлен с квадратными матрицами в качестве переменных. Для обычного многочлена со скалярными значениями
этот многочлен, вычисленный в матрице A, равен
где I - единичная матрица . [1]
Матрица полиномиальное уравнение представляет собой равенство между двумя матричными многочленами, которое имеет место для конкретных матриц в вопросе. Матрица полиномиальное тождество является матрица полиномиального уравнения , которое имеет место для всех матриц А в указанном кольце матриц М п ( R ).
Характеристический и минимальный многочлен
Характеристический полином из матрицы А является скалярной многочлен, определяемой. Теорема Кэли – Гамильтона утверждает, что если этот многочлен рассматривается как матричный многочлен и вычисляется в самой матрице A , результатом является нулевая матрица:. Характеристический полином, таким образом , многочлен, аннулирующий A .
Существует единственный монический многочлен минимальной степени, аннулирующий A ; этот многочлен является минимальным многочленом . Любой многочлен, аннулирующий A (например, характеристический многочлен), является кратным минимальному многочлену. [2]
Отсюда следует, что для двух полиномов P и Q имеем если и только если
где обозначает j- ю производную P иявляются собственными значениями из A с соответствующими индексами(индекс собственного значения - это размер его наибольшей жордановой клетки ). [3]
Матричный геометрический ряд
Матричные полиномы могут использоваться для суммирования геометрического ряда матрицы, как и обычный геометрический ряд ,
Если I - неособо можно вычислить выражение для суммы S .
Смотрите также
Заметки
- ↑ Хорн и Джонсон, 1990 , стр. 36.
- ^ Horn & Johnson 1990 , теорема 3.3.1.
- ^ Higham 2000 , теорема 1.3.
Рекомендации
- Гохберг, Израиль; Ланкастер, Питер ; Родман, Лейба (2009) [1982]. Матричные полиномы . Классика прикладной математики. 58 . Ланкастер, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики . ISBN 978-0-898716-81-8. Zbl 1170,15300 .
- Хайэм, Николас Дж. (2000). Функции матриц: теория и вычисления . СИАМ. ISBN 089-871-777-9..
- Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1990). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-38632-6..