В линейной алгебры , то минимальный многочлен μ из п × п матрицы А над полем F является унитарный многочлен Р над F наименьшей степени таким образом, что Р ( ) = 0 . Любой другой многочлен Q с Q ( A ) = 0 является (полином) кратно ц А .
Следующие три утверждения эквивалентны:
- λ - корень μ A ,
- λ является корнем характеристического полинома х А из А ,
- λ является собственным значением матрицы А .
Кратность корня λ из μ A - это наибольшая степень m такая, что ker (( A - λI n ) m ) строго содержит ker (( A - λI n ) m −1 ) . Другими словами, увеличение показателя степени до m даст ядра еще большего размера, но дальнейшее увеличение показателя степени выше m даст просто то же самое ядро.
Если поле F не является алгебраически замкнутым, то минимальные и характеристические многочлены не должны разлагаться на множители только в соответствии с их корнями (в F ), другими словами, они могут иметь неприводимые полиномиальные множители степени больше 1 . Для неприводимых многочленов P имеются аналогичные эквивалентности:
- P делит μ A ,
- P делит й ,
- ядро P ( A ) имеет размерность не менее 1 .
- ядро P ( A ) имеет размерность не менее deg ( P ) .
Как и характеристический многочлен, минимальный многочлен не зависит от базового поля, другими словами, рассмотрение матрицы как матрицы с коэффициентами в большем поле не меняет минимальный многочлен. Причина несколько иная, чем для характеристического полинома (где он прямо вытекает из определения определителей), а именно тот факт, что минимальный многочлен определяется соотношением линейной зависимости между степенями A : расширение базового поля не вводит любые новые такие отношения (и, конечно, не удалит существующие).
Минимальный многочлен часто совпадает с характеристическим многочленом, но не всегда. Например, если A является кратным aI n единичной матрицы, то его минимальный многочлен равен X - a, поскольку ядро aI n - A = 0 уже является всем пространством; с другой стороны, его характеристический многочлен равен ( X - a ) n (единственное собственное значение - это a , а степень характеристического многочлена всегда равна размерности пространства). Минимальный многочлен всегда делит характеристический многочлен, что является одним из способов формулировки теоремы Кэли – Гамильтона (для случая матриц над полем).
Формальное определение
Для данного эндоморфизма T на конечномерном векторном пространстве V над полем F пусть I T - множество, определенное как
где F [ т ] является пространство всех многочленов над полем F . I T - собственный идеал в F [ t ] . Так как Р является полем, Р [ т ] является областью главных идеалов , таким образом , любой идеал порождается одним многочленом, который является единственно с точностью до единиц F . Можно сделать особый выбор среди генераторов, поскольку ровно один из генераторов монический . Минимальный многочлен , таким образом , определяется как унитарный многочлен , который генерирует I T . Это унитарный многочлен наименьшей степени в I T .
Приложения
Эндоморфизмов φ конечного векторного пространства над полем F является диагонализируемы тогда и только тогда , когда ее минимальный многочлен факторов полностью над F в различных линейных множителей. Тот факт, что существует только один множитель X - λ для каждого собственного значения λ, означает, что обобщенное собственное подпространство для λ совпадает с собственным подпространством для λ : каждый жорданов блок имеет размер 1 . В более общем смысле, если φ удовлетворяет полиномиальному уравнению P ( φ ) = 0, где P делится на различные линейные множители над F , то он будет диагонализуемым: его минимальный многочлен является делителем P и, следовательно, также делится на различные линейные множители. В частности, есть:
- P = X k - 1 : эндоморфизмы конечного порядка комплексных векторных пространств диагонализуемы. Для специального случая к = 2 из инволюции , это справедливо даже для эндоморфизмов векторных пространств над любым полем характеристики , кроме 2 , так как X 2 - 1 = ( Х - 1) ( Х + 1) , представляет собой разложение на отдельные факторы над таким полем. Это часть теории представлений циклических групп.
- P = X 2 - X = X ( X - 1) : эндоморфизмы, удовлетворяющие φ 2 = φ , называются проекциями и всегда диагонализуемы (более того, их единственные собственные значения - 0 и 1 ).
- Напротив, если μ φ = X k с k ≥ 2, то φ (нильпотентный эндоморфизм) не обязательно диагонализуем, поскольку X k имеет повторяющийся корень 0 .
Эти случаи также могут быть доказаны напрямую, но минимальный многочлен дает единую перспективу и доказательство.
Вычисление
Для вектора v в V определите:
Это определение удовлетворяет свойствам собственного идеала. Пусть μ T , v - порождающий его унитарный многочлен.
Характеристики
- Поскольку I T , v содержит минимальный многочлен μ T , последний делится на μ T , v .
- Если d является наименьшее натуральное число такое , что V , Т ( v ), ..., Т д ( v ) являются линейно зависимыми , то существуют уникально 0 , 1 , ..., д -1 в F , не все ноль, так что
и для этих коэффициентов имеем
- Пусть подпространство W есть образ μ T , v ( T ) , который является T -устойчивым. Так как ц T , V ( Т ) аннулирует по меньшей мере , векторы V , T ( v ), ..., Т д -1 ( v ) , то Коразмерность из W по крайней мере , д .
- Минимальный многочлен μ Т является произведением ц T , V и минимального многочлена Q сужения T на W . В (вероятном) случае, когда W имеет размерность 0 , Q = 1 и, следовательно, μ T = μ T , v ; в противном случае рекурсивное вычисление Q достаточно найти М Т .
Пример
Определим T как эндоморфизм R 3 с матрицей на каноническом базисе,
Взяв первый канонический базисный вектор e 1 и его повторные образы через T, получим
из которых первые три, как легко видеть, линейно независимы и, следовательно, охватывают все R 3 . Последний из них обязательно является линейной комбинацией первых трех, на самом деле
- Т 3 ⋅ е 1 = −4 Т 2 ⋅ е 1 - Т ⋅ е 1 + е 1 ,
чтобы:
- μ Т , е 1 = X 3 + 4 х 2 + X - я .
Фактически это также минимальный многочлен μ T и характеристический многочлен χ T : действительно μ T , e 1 делит μ T, который делит χ T , и, поскольку первый и последний имеют степень 3 и все являются моническими, все они должны быть тоже самое. Другая причина заключается в том, что в общем случае, если любой многочлен от T аннулирует вектор v , то он также аннулирует T ⋅ v (просто примените T к уравнению, которое говорит, что он аннулирует v ), и, следовательно, путем итерации он аннулирует все пространство, порожденное вектором v. повторные изображения по T из v ; в данном случае мы видели, что для v = e 1 это пространство состоит из R 3 , поэтому μ T , e 1 ( T ) = 0 . Действительно, для полной матрицы проверяется, что T 3 + 4 T 2 + T - I 3 является нулевой матрицей:
Рекомендации
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556