Обобщенный собственный вектор

В линейной алгебре , обобщенный собственный вектор из матрицы является вектором , который удовлетворяет определенные критерии , которые более расслабленные , чем дли (обычный) собственный вектор . ^[1]${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

Позвольте быть -мерным векторным пространством ; пусть - линейное отображение в L ( V ) , множество всех линейных отображений из в себя; и пусть будет матричное представление о относительно некоторой упорядоченной основе .${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$

Не всегда может существовать полный набор линейно независимых собственных векторов , образующих полную основу для . То есть матрица не может быть диагонализуемой . ^{[2] [3]} Это происходит, когда алгебраическая кратность по крайней мере одного собственного значения больше, чем его геометрическая кратность ( нулевое значение матрицы или размерность ее нулевого пространства ). В этом случае это называется дефектным собственным значением и называется дефектной матрицей . ^[4]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$

Обобщенный собственный вектор , соответствующий вместе с матрицей генерируют жорданову цепочку линейно независимых обобщенных собственных векторов , которые образуют основу для инвариантного подпространства в . ^{[5] [6] [7]}${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$${\displaystyle V}$

Используя обобщенные собственные векторы, набор линейно независимых собственных векторов может быть расширен, если необходимо, до полного базиса для . ^[8] Эта основа может быть использована для определения «почти диагональная матрицы» в жордановой нормальной форме , аналогичной с , что полезно при вычислении определенных матричных функций из . ^[9] Матрица также полезна при решении системы линейных дифференциальных уравнений, где не требуется диагонализуемость. ^{[10] [11]}${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$${\displaystyle A}$

Размерность обобщенного собственного подпространства, соответствующего данному собственному значению, равна алгебраической кратности . ^[12]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

Обзор и определение [ править ]

Есть несколько эквивалентных способов определения обычного собственного вектора . ^{[13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]} Для наших целей, собственный вектор , связанный с собственным значением А.Н. × матрица является ненулевой вектор , для которого , где является × идентичность матрица и - нулевой вектор длины . ^[21] То есть, находится в ядре этого преобразования . Если имеет линейно независимые собственные векторы, то${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (A-\lambda I)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$похожа на диагональную матрицу . То есть существует обратимая матрица , которую можно диагонализовать посредством преобразования подобия . ^{[22] [23]} Матрица называется спектральной матрицей для . Матрица называется модальной матрицей для . ^[24] Диагонализируемые матрицы представляют особый интерес, поскольку их матричные функции могут быть легко вычислены. ^[25]${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D=M^{-1}AM}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$

С другой стороны, если с ним не связаны линейно независимые собственные векторы, то он не диагонализуем. ^{[26] [27]}${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

Определение: вектор - это обобщенный собственный вектор ранга m матрицы, соответствующий собственному значению, если${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} }$

но

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .}$ ^[28]

Ясно, что обобщенный собственный вектор ранга 1 является обычным собственным вектором. ^[29] Каждая × матрица имеет связанные с ней линейно независимые обобщенные собственные векторы, и можно показать, что она подобна «почти диагональной» матрице в жордановой нормальной форме. ^[30] То есть существует обратимая матрица такая, что . ^[31] Матрица в этом случае называется обобщенной модальной матрицей для . ^[32] Если - собственное значение алгебраической кратности , то будут линейно независимые обобщенные собственные векторы, соответствующие .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J=M^{-1}AM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$^[33] Эти результаты, в свою очередь, обеспечивают простой метод вычисления некоторых матричных функций от. ^[34]${\displaystyle A}$

Примечание: чтобы матрица над полем была выражена в жордановой нормальной форме, все собственные значения должны быть в . То есть характеристический полином должен полностью разложиться на линейные множители. Например, если есть элементы с действительными значениями , то может потребоваться, чтобы собственные значения и компоненты собственных векторов имели комплексные значения . ^{[35] [36] [37]}${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle A}$

Множество, охватываемое всеми обобщенными собственными векторами для данного , образует обобщенное собственное подпространство для . ^[38]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

Примеры [ править ]

Вот несколько примеров, иллюстрирующих концепцию обобщенных собственных векторов. Некоторые детали будут описаны позже.

Пример 1 [ править ]

Этот простой пример ясно иллюстрирует суть дела. Этот тип матрицы часто используется в учебниках. ^{[39] [40] [41]} Предположим,

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Тогда имеется только одно собственное значение, и его алгебраическая кратность m = 2.${\displaystyle \lambda =1}$

Обратите внимание, что эта матрица имеет нормальную форму Жордана, но не диагональна . Следовательно, эта матрица не диагонализуема. Поскольку имеется одна наддиагональная запись, будет один обобщенный собственный вектор с рангом больше 1 (или можно отметить, что векторное пространство имеет размерность 2, поэтому может быть не более одного обобщенного собственного вектора с рангом больше 1). В качестве альтернативы, можно было бы вычислить размерность нуль - пространства от быть р = 1, и , таким образом , есть м - р = 1 обобщенные собственные векторы ранга больше 1.${\displaystyle V}$${\displaystyle A-\lambda I}$

Обычный собственный вектор вычисляется как обычно ( примеры см. На странице о собственных векторах ). Используя этот собственный вектор, мы вычисляем обобщенный собственный вектор , решая${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}$

Записываем значения:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Это упрощает

${\displaystyle v_{22}=1.}$

Элемент не имеет ограничений. Тогда обобщенный собственный вектор ранга 2 равен , где a может иметь любое скалярное значение. Выбор a = 0 обычно самый простой.${\displaystyle v_{21}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}$

так что это обобщенный собственный вектор,${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

таким образом , что является обычным собственным вектором, и что и линейно независимы и , следовательно , образуют базис векторного пространства .${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle V}$

Пример 2 [ править ]

Этот пример сложнее, чем пример 1 . К сожалению, построить интересный пример низкого порядка немного сложно. ^[42] Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}$

имеет собственные значения и с алгебраическими кратностями и , но геометрическими кратностями и .${\displaystyle \lambda _{1}=1}$${\displaystyle \lambda _{2}=2}$ ${\displaystyle \mu _{1}=2}$${\displaystyle \mu _{2}=3}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$${\displaystyle \gamma _{2}=1}$

В обобщенные собственные подпространства из вычислены ниже. - обычный собственный вектор, связанный с . - обобщенный собственный вектор, связанный с . - обычный собственный вектор, связанный с . и являются обобщенными собственными векторами, связанными с .${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}$

Это приводит к основе для каждого из обобщенных подпространств из . Вместе две цепочки обобщенных собственных векторов охватывают пространство всех 5-мерных векторов-столбцов.${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

«Почти диагональная» матрица в жордановой нормальной форме , аналогичная матрице , получается следующим образом:${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},}$

где - обобщенная модальная матрица для , столбцы являются канонической базой для , и . ^[43]${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$

Иорданские цепи [ править ]

Определение: Позвольте быть обобщенным собственным вектором ранга m, соответствующим матрице и собственному значению . Цепь , порожденная представляет собой набор векторов , заданных${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda I)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-1},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda I)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-2},}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{2}.}$

( 1 )

Таким образом, в целом

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=(A-\lambda I)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1).}$

( 2 )

Вектор , заданный формулой ( 2 ), является обобщенным собственным вектором ранга j, соответствующим собственному значению . Цепочка - это линейно независимый набор векторов. ^[44]${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$${\displaystyle \lambda }$

Каноническая основа [ править ]

Определение: набор из n линейно независимых обобщенных собственных векторов является каноническим базисом, если он целиком состоит из жордановых цепочек.

Таким образом, как только мы определили, что обобщенный собственный вектор ранга m находится в каноническом базисе, отсюда следует, что m - 1 векторов, которые находятся в цепочке Жордана, порожденной с помощью , также находятся в каноническом базисе. ^[45]${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$

Позвольте быть собственным значением алгебраической кратности . Сначала найдите ранги (ранги матриц) матриц . Целое число определяется как первое целое число, для которого задан ранг ( n - количество строк или столбцов , то есть n × n ).${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle n-\mu _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Теперь определим

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

Переменная обозначает количество линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга k, соответствующих собственному значению , которое появится в каноническом базисе для . Обратите внимание, что${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n}$. ^[46]

Вычисление обобщенных собственных векторов [ править ]

В предыдущих разделах мы видели методы получения линейно независимых обобщенных собственных векторов канонического базиса для векторного пространства, связанного с матрицей . Эти техники можно объединить в одну процедуру:${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

Решить характеристическое уравнение из собственных значений и их алгебраических кратности ;${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$

Для каждого ${\displaystyle \lambda _{i}:}$

Определить ;${\displaystyle n-\mu _{i}}$

Определить ;${\displaystyle m_{i}}$

Определить для ;${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle (k=1,\ldots ,m_{i})}$

Определите каждую цепочку Жордана для ;${\displaystyle \lambda _{i}}$

Пример 3 [ править ]

Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

имеет собственное значение алгебраической кратности и собственное значение алгебраической кратности . У нас тоже есть . Ибо у нас есть .${\displaystyle \lambda _{1}=5}$${\displaystyle \mu _{1}=3}$${\displaystyle \lambda _{2}=4}$${\displaystyle \mu _{2}=1}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}$

${\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.}$

${\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.}$

Первое целое число , для которого имеет ранг есть .${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}}$${\displaystyle n-\mu _{1}=1}$${\displaystyle m_{1}=3}$

Теперь определим

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.}$

Следовательно, будет три линейно независимых обобщенных собственных вектора; по одному ранга 3, 2 и 1. Поскольку соответствует одной цепочке из трех линейно независимых обобщенных собственных векторов, мы знаем, что существует обобщенный собственный вектор ранга 3, соответствующий такой, что${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} }$

( 3 )

но

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} .}$

( 4 )

Уравнения ( 3 ) и ( 4 ) представляют собой линейные системы , для которых можно решить . Позволять${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.}$

потом

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Таким образом, чтобы удовлетворить условиям ( 3 ) и ( 4 ), мы должны иметь и . Никакие ограничения не накладываются на и . Выбирая , получаем${\displaystyle x_{34}=0}$${\displaystyle x_{33}\neq 0}$${\displaystyle x_{31}}$${\displaystyle x_{32}}$${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

как обобщенный собственный вектор ранга 3, соответствующий . Обратите внимание, что можно получить бесконечно много других обобщенных собственных векторов ранга 3, выбирая различные значения , и , с . Однако наш первый выбор самый простой. ^[47]${\displaystyle \lambda _{1}=5}$${\displaystyle x_{31}}$${\displaystyle x_{32}}$${\displaystyle x_{33}}$${\displaystyle x_{33}\neq 0}$

Теперь, используя уравнения ( 1 ), получаем и как обобщенные собственные векторы ранга 2 и 1 соответственно, где${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},}$

и

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Простое собственное значение может быть решено с использованием стандартных методов и имеет обычный собственный вектор${\displaystyle \lambda _{2}=4}$

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.}$

Канонический базис для IS${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$и являются обобщенными собственными векторами, связанными с , а - обычным собственным вектором, связанным с .${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

Это довольно простой пример. В общем случае количество линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга не всегда будет одинаковым. То есть может быть несколько цепочек разной длины, соответствующих конкретному собственному значению. ^[48]${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle k}$

Обобщенная модальная матрица [ править ]

Позвольте быть n × n- матрицей. Обобщенная модальная матрица для является п × п матрица, столбцы которой, рассматривается в качестве векторов, образует канонический базис для и появляется в соответствии со следующими правилами:${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

• Все цепочки Жордана, состоящие из одного вектора (то есть одного вектора длиной), появляются в первых столбцах .${\displaystyle M}$
• Все векторы одной цепочки появляются вместе в соседних столбцах .${\displaystyle M}$
• Каждая цепочка появляется в порядке возрастания ранга (то есть обобщенный собственный вектор ранга 1 появляется перед обобщенным собственным вектором ранга 2 той же цепи, который стоит перед обобщенным собственным вектором ранга 3 той же цепи и т. Д.). ^[49]${\displaystyle M}$

Нормальная форма Джордана [ править ]

Позвольте быть n -мерным векторным пространством; пусть - линейное отображение в L ( V ) , множество всех линейных отображений из в себя; и пусть - матричное представление относительно некоторого упорядоченного базиса. Можно показать , что если характеристический полином из факторов на линейные множители, так что имеет вид${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(\lambda )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(\lambda )}$

${\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},}$

где - различные собственные значения , тогда каждое представляет собой алгебраическую кратность соответствующего собственного значения и аналогично матрице в жордановой нормальной форме , где каждое последовательно появляется на диагонали, а запись непосредственно над каждым (то есть на наддиагонали ) либо 0, либо 1: запись над первым вхождением каждого всегда 0; все остальные элементы на супердиагонали равны 1. Все остальные элементы (то есть вне диагонали и супердиагонали) равны 0. Матрица настолько близка, насколько это возможно, к диагонализации . Если диагонализуема, то все элементы выше диагонали равны нулю.${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$^[50] Обратите внимание, что в некоторых учебниках они расположены на поддиагонали , то есть непосредственно под главной диагональю, а не на наддиагонали. Собственные значения по-прежнему находятся на главной диагонали. ^{[51] [52]}

Каждая матрица размера n × n подобна матрице в жордановой нормальной форме, полученной посредством преобразования подобия , где - обобщенная модальная матрица для . ^[53] (См. Примечание выше.)${\displaystyle A}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=M^{-1}AM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$

Пример 4 [ править ]

Найдите матрицу в жордановой нормальной форме, похожую на

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.}$

Решение: Характеристическое уравнение IS , следовательно, является собственным значением алгебраической кратности три. Следуя процедурам предыдущих разделов, мы находим, что${\displaystyle A}$${\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}$${\displaystyle \lambda =2}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)=1}$

и

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .}$

Таким образом, и , что означает, что канонический базис для будет содержать один линейно независимый обобщенный собственный вектор ранга 2 и два линейно независимых обобщенных собственных вектора ранга 1 или, что эквивалентно, одну цепочку из двух векторов и одну цепочку из одного вектора . Обозначая , находим, что${\displaystyle \rho _{2}=1}$${\displaystyle \rho _{1}=2}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},}$

и

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},}$

где - обобщенная модальная матрица для , столбцы являются канонической базой для , и . ^[54] Обратите внимание, что, поскольку сами обобщенные собственные векторы не уникальны, и поскольку некоторые столбцы обоих и могут быть заменены местами, отсюда следует, что оба и не уникальны. ^[55]${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$

Пример 5 [ править ]

В примере 3 мы нашли канонический базис линейно независимых обобщенных собственных векторов матрицы . Обобщенный модальный матрица IS${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Матрица в жордановой нормальной форме, похожая на is${\displaystyle A}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

так что .${\displaystyle AM=MJ}$

Приложения [ править ]

Матричные функции [ править ]

Три из самых фундаментальных операций, которые могут быть выполнены с квадратными матрицами, - это сложение матриц, умножение на скаляр и умножение матриц. ^[56] Это именно те операции, которые необходимы для определения полиномиальной функции матрицы размера n × n . ^[57] Если мы вспомним из основного исчисления, что многие функции могут быть записаны в виде ряда Маклорена , то мы можем довольно легко определить более общие функции матриц. ^[58] Если диагонализуема, то есть${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

с

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

тогда

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

и оценка ряда Маклорена для функций значительно упрощается. ^[59] Например, чтобы получить какие - либо мощности K из , нам нужно только вычислить , предварительное умножение на и postmultiply результата на . ^[60]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D^{k}}$${\displaystyle D^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{-1}}$

Используя обобщенные собственные векторы, мы можем получить нормальную форму Жордана для, и эти результаты могут быть обобщены до прямого метода вычисления функций недиагонализируемых матриц. ^[61] (См. Матричная функция # Разложение Жордана .)${\displaystyle A}$

Дифференциальные уравнения [ править ]

Рассмотрим задачу решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$

( 5 )

куда

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},}$      и      ${\displaystyle A=(a_{ij}).}$

Если матрица является диагональной матрицей, так что для , то система ( 5 ) сводится к системе n уравнений, которые принимают вид${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{ij}=0}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle x_{n}'=a_{nn}x_{n}.}$

( 6 )

В этом случае общее решение дается выражением

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.}$

В общем случае мы пытаемся диагонализовать и свести систему ( 5 ) к системе типа ( 6 ) следующим образом. Если диагонализуема, мы имеем , где - модальная матрица для . Подставляя , уравнение ( 5 ) принимает вид , или${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D=M^{-1}AM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=MDM^{-1}}$${\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {y} '=D\mathbf {y} ,}$

( 7 )

куда

${\displaystyle \mathbf {x} =M\mathbf {y} .}$

( 8 )

Решение ( 7 ) есть

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.}$

Затем решение ( 5 ) получается с использованием соотношения ( 8 ). ^[62]${\displaystyle \mathbf {x} }$

С другой стороны, если не диагонализуема, мы выбираем обобщенную модальную матрицу для такой, что является жордановой нормальной формой матрицы . Система имеет вид${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle J=M^{-1}AM}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n},\end{aligned}}}$

( 9 )

где - собственные значения с главной диагонали, а - единицы и нули с наддиагонали . Систему ( 9 ) часто легче решить, чем ( 5 ). Мы можем решить последнее уравнение в ( 9 ) для , получив . Затем мы подставляем это решение для в предпоследнее уравнение в ( 9 ) и решаем для . Продолжая эту процедуру, мы проходим ( 9 ) от последнего уравнения к первому, решая всю систему для . Затем решение получается с использованием соотношения ( 8 ). ^[63]${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \epsilon _{i}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Заметки [ править ]