В линейной алгебре , дефектный матрица является квадратной матрицей , которая не имеет полное основание из собственных векторов , и, следовательно , не диагонализируем . В частности, матрица размера n × n является дефектной тогда и только тогда, когда она не имеет n линейно независимых собственных векторов. [1] Полный базис формируется путем дополнения собственных векторов обобщенными собственными векторами , которые необходимы для решения дефектных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и других задач.
П × п неисправна матрица всегда имеет меньше , чем п различных собственных значений , так как различные собственные всегда линейно независимые собственные векторы. В частности, дефектная матрица имеет одно или несколько собственных значений λ с алгебраической кратностью m > 1 (то есть они являются кратными корнями характеристического многочлена ), но менее m линейно независимых собственных векторов, связанных с λ . Если алгебраическая кратность λ превышает его геометрическую кратность (то есть количество линейно независимых собственных векторов, связанных с λ), то λ называется дефектным собственным значением . [1] Однако каждое собственное значение с алгебраической кратностью m всегда имеет m линейно независимых обобщенных собственных векторов.
Эрмитова матрица (или частный случай реальной симметричной матрицы ) или унитарная матрица никогда не бывает неисправна; в общем, нормальная матрица (которая включает эрмитову и унитарную как частные случаи) никогда не бывает дефектной.
Блок Джордана [ править ]
Любой нетривиальный жордановый блок размером 2 × 2 или больше (то есть не полностью диагональный) является дефектным. (Диагональная матрица является частным случаем жордановой нормальной формы и не является дефектной.) Например, жорданова клетка размера n × n,
имеет собственное значение λ с алгебраической кратностью n, но только один отдельный собственный вектор,
Фактически любая дефектная матрица имеет нетривиальную жорданову нормальную форму , которая максимально приближена к диагонализации такой матрицы.
Пример [ править ]
Простой пример неисправной матрицы:
который имеет двойное собственное значение 3, но только один отдельный собственный вектор
(и его постоянные кратные).
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ a b Голуб и Ван Лоан (1996 , стр. 316)
Ссылки [ править ]
- Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
- Стрэнг, Гилберт (1988). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Сан-Диего: Харкорт. ISBN 978-970-686-609-7.