Диагонализируемая матрица

В линейной алгебре , А квадратная матрица  называется диагонализируемы или исправный , если он похож на диагональную матрицу , то есть, если существует обратимая матрица  и диагональная матрица такая , что , или что то же самое . (Такие не являются уникальными.) Для конеч мерного векторного пространства , А линейное отображение  называется диагонализируемо , если существует упорядоченный базис из ,  состоящих из собственных векторов из . Эти определения эквивалентны: если${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle P ^ {- 1} AP = D}$${\ displaystyle A = PDP ^ {- 1}}$${\ Displaystyle P, D}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle T: V \ to V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$ имеет матричное представление, как указано выше, тогда векторы-столбцы  образуют базис собственных векторов , а диагональные элементы  являются соответствующими собственными значениями ; относительно этого базиса собственных векторов,  представлен как . Диагонализация - это процесс поиска вышеуказанных  и .${\ displaystyle A = PDP ^ {- 1}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D}$

Диагонализуемые матрицы и отображения особенно просты для вычислений, если известны их собственные значения и собственные векторы. Диагональную матрицу можно возвести  в степень, просто возведя диагональные элементы в эту степень, а определитель диагональной матрицы - это просто произведение всех диагональных элементов; такие вычисления легко обобщаются на . Геометрически диагонализуемая матрица представляет собой неоднородное расширение (или анизотропное масштабирование ) - оно масштабирует пространство, как и однородное расширение , но с другим коэффициентом вдоль каждой оси собственного вектора, коэффициентом, задаваемым соответствующим собственным значением.${\ displaystyle D}$${\ displaystyle A = PDP ^ {- 1}}$

Квадратная матрица, не поддающаяся диагонализации, называется дефектной . Может случиться так, что матрица с действительными элементами является дефектной по отношению к действительным числам, что означает, что это невозможно для любых обратимых и диагональных с действительными элементами, но это возможно с комплексными элементами, так что это диагонализируется по комплексным числам. Например, это относится к универсальной матрице вращения . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A = PDP ^ {- 1}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle A}$

Многие результаты для диагонализуемых матриц справедливы только над алгебраически замкнутым полем (например, над комплексными числами). В этом случае диагонализуемые матрицы плотны в пространстве всех матриц, что означает, что любая дефектная матрица может быть деформирована в диагонализуемую матрицу небольшим возмущением ; и теорема Жордана о нормальной форме утверждает, что любая матрица является однозначно суммой диагонализуемой матрицы и нильпотентной матрицы . Над алгебраически замкнутым полем диагонализуемые матрицы эквивалентны полупростым матрицам .

Определение [ править ]

Квадратная матрица над полем называется диагонализуемой или недефектной, если существует обратимая матрица, такая как диагональная матрица. Формально,${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P ^ {- 1} AP}$

Характеристика [ править ]

Фундаментальный факт о диагонализуемых отображениях и матрицах выражается следующим образом:

• Матрица над полем диагонализируема тогда и только тогда , когда сумма размеров его подпространств равно , что имеет место , если и только если существует базис из , состоящих из собственных векторов . Если такой базис был найден, можно сформировать матрицу, имеющую эти базисные векторы в качестве столбцов, и будет диагональной матрицей, диагональные элементы которой являются собственными значениями матрицы . Матрица известна как модальная матрица для .${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F ^ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle P ^ {- 1} \! AP}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle A}$
• Линейное отображение диагонализуемо тогда и только тогда, когда сумма размерностей его собственных подпространств равна , что имеет место тогда и только тогда, когда существует базис, состоящий из собственных векторов . По отношению к такому базису будет представлена ​​диагональная матрица. Диагональные элементы этой матрицы являются собственными значениями матрицы .${\ displaystyle T: V \ to V}$${\ displaystyle \ operatorname {dim} (V)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Другая характеристика: матрица или линейное отображение диагонализуемо над полем тогда и только тогда, когда ее минимальный полином является произведением различных линейных множителей над полем . (Иными словами, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда все ее элементарные делители линейны.)${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$

Следующее достаточное (но не необходимое) условие часто бывает полезным.

Позвольте быть матрица над . Если диагонализуем, то и любая его мощность - тоже. И наоборот, если является обратимым, алгебраически замкнутым и диагонализуемым для некоторых, которые не являются целыми кратными характеристике , то диагонализуем. Доказательство: Если диагонализуема, то аннулируется некоторым многочленом , не имеющим кратного корня (так как ), и делится на минимальный многочлен от .${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)}$${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$${\displaystyle A}$

По комплексным числам почти каждая матрица диагонализуема. Точнее: множество комплексных матриц, которые не диагонализуемых над , рассматриваемая как подмножество из , имеет меру Лебега нуль. Можно также сказать , что диагонализуемых матрицы образуют плотное подмножество относительно топологии Зарисской : в недиагонализируемых матрицах лежат внутри исчезающий набора из дискриминанта характеристического полинома, который является гиперповерхностью . Отсюда следует также плотность в обычной ( сильной ) топологии, задаваемой нормой . То же самое не так${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Разложение Жордана-Шевалье выражает оператор в виде суммы его полупростого (т.е. диагонализуемой) части и ее нильпотентном части. Следовательно, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда ее нильпотентная часть равна нулю. Другими словами, матрица диагонализуема, если каждый блок в ее жордановой форме не имеет нильпотентной части; т.е. каждый "блок" представляет собой матрицу "одна за другой".

Диагонализация [ править ]

Если матрицу можно диагонализовать, то есть${\displaystyle A}$

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

тогда:

${\displaystyle AP=P{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}.}$

Запись в виде блочной матрицы ее векторов-столбцов${\displaystyle P}$${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{i}}$

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}{\vec {\alpha }}_{1}&{\vec {\alpha }}_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }}_{n}\end{pmatrix}},}$

приведенное выше уравнение можно переписать как

${\displaystyle A{\vec {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\cdots ,n).}$

Таким образом , векторы - столбцы являются правые собственные векторы из , и соответствующий диагональный элемент является соответствующее собственное значение . Обратимость также предполагает, что собственные векторы линейно независимы и составляют основу . Это необходимое и достаточное условие диагонализуемости и канонического подхода к диагонализации. В векторах - строки из являются левыми собственными векторами из .${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle P^{-1}}$${\displaystyle A}$

Когда комплексная матрица является эрмитовой матрицей (или в более общем случае нормальная матрица ), собственные векторы могут быть выбраны , чтобы сформировать ортогональный базис из , и может быть выбран , чтобы быть унитарной матрицей . Если, кроме того, является действительной симметричной матрицей , то ее собственные векторы могут быть выбраны как ортонормированный базис и могут быть выбраны как ортогональная матрица .${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle P}$

Для большинства практических работ матрицы численно диагонализируются с помощью компьютерного программного обеспечения. Для этого существует множество алгоритмов .

Одновременная диагонализация [ править ]

Набор матриц называется одновременно диагонализуемым, если существует одна обратимая матрица, такая, что является диагональной матрицей для каждой в наборе. Следующая теорема характеризует одновременно диагонализуемые матрицы: набор диагонализуемых матриц коммутирует тогда и только тогда, когда набор одновременно диагонализируется. ^{[1] : стр. 61–63.}${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle A}$

Множество всех диагонализуемых матриц (над ) с не диагонализуемо одновременно. Например, матрицы${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

диагонализуемы, но не одновременно диагонализуемы, потому что они не коммутируют.

Набор состоит из коммутирующих нормальных матриц тогда и только тогда, когда он одновременно диагонализируется с помощью унитарной матрицы ; то есть существует такая унитарная матрица , которая диагональна для каждого в наборе.${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}\!AU}$${\displaystyle A}$

На языке теории Ли набор одновременно диагонализуемых матриц порождает торическую алгебру Ли .

Примеры [ править ]

Диагонализируемые матрицы [ править ]

• Инволюции диагонализуемы над вещественными числами (и действительно, над любым полем характеристики, отличной от 2), с ± 1 на диагонали.
• Эндоморфизмы конечного порядка диагонализируемы над (или любым алгебраически замкнутым полем, где характеристика поля не делит порядок эндоморфизма) с корнями из единицы на диагонали. Это следует из того, что минимальный многочлен отделим , потому что корни единицы различны.${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Проекции можно диагонализовать, по диагонали располагаются нули и единицы.
• Вещественные симметричные матрицы диагонализуемы ортогональными матрицами ; то есть, учитывая вещественную симметричную матрицу , диагонали для некоторой ортогональной матрицы . В более общем смысле, матрицы можно диагонализовать с помощью унитарных матриц тогда и только тогда, когда они нормальны . В случае реальной симметричной матрицы мы видим, что это верно. Примерами нормальных матриц являются действительные симметричные (или кососимметричные ) матрицы (например, ковариационные матрицы) и эрмитовы матрицы (или кососимметричные матрицы). См. Спектральные теоремы для обобщений на бесконечномерные векторные пространства.${\displaystyle A}$${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }AQ}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle A=A^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A}$

Матрицы, которые нельзя диагонализовать [ править ]

В общем, матрица вращения не диагонализуема по действительным числам, но все матрицы вращения диагонализуемы по комплексному полю. Даже если матрица не диагонализуема, всегда можно «сделать все возможное» и найти матрицу с такими же свойствами, состоящую из собственных значений на главной диагонали и единиц или нулей на супердиагонали, известной как жорданова нормаль. форма .

Некоторые матрицы не диагонализуемы ни над одним полем, особенно ненулевые нильпотентные матрицы . Это происходит в более общем случае, если алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения не совпадают. Например, рассмотрим

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Эта матрица не диагонализуема: не существует такой матрицы , которая была бы диагональной. В самом деле, имеет одно собственное значение (а именно ноль), и это собственное значение имеет алгебраическую кратность 2 и геометрическую кратность 1.${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{-1}CU}$${\displaystyle C}$

Некоторые вещественные матрицы не диагонализируются над вещественными числами. Рассмотрим, например, матрицу

${\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].}$

Матрица не имеет реальных собственных значений, поэтому не существует реальной матрицы , которая является диагональной матрицей. Однако мы можем диагонализовать, если допустим комплексные числа. Действительно, если взять${\displaystyle B}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{-1}BQ}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&{\textrm {i}}\\{\textrm {i}}&1\end{bmatrix}},}$

тогда диагональ. Легко найти, что B - матрица вращения, которая вращается против часовой стрелки на угол${\displaystyle Q^{-1}BQ}$${\displaystyle \theta ={\tfrac {3\pi }{2}}}$

Обратите внимание, что приведенные выше примеры показывают, что сумма диагонализуемых матриц не обязательно должна быть диагонализуемой.

Как диагонализировать матрицу [ править ]

Диагонализация матрицы - это тот же процесс, что и поиск ее собственных значений и собственных векторов , в случае, если собственные векторы образуют базис. Например, рассмотрим матрицу

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].}$

Корни характеристического полинома - это собственные значения . Решение линейной системы дает собственные векторы и , в то время как дает ; то есть для . Эти векторы образуют основу , поэтому мы можем собрать их как векторы-столбцы матрицы изменения базиса, чтобы получить:${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$${\displaystyle \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2}$${\displaystyle (I-A)(\mathbf {v} )=0}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1,0)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,2,1)}$${\displaystyle (2I-A)(\mathbf {v} )=0}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(1,0,-1)}$${\displaystyle A(\mathbf {v} _{i})=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P^{-1}\!AP\ =\ \left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]\ =\ {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\ =\ D.}$

Мы можем рассматривать это уравнение в терминах преобразований: переводит стандартный базис в собственный базис , поэтому мы имеем:${\displaystyle P}$${\displaystyle P(\mathbf {e} _{i})=\mathbf {v} _{i}}$

${\displaystyle P^{-1}\!AP(\mathbf {e} _{i})\ =\ P^{-1}\!A(\mathbf {v} _{i})\ =\ P^{-1}\!(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})\ =\ \lambda _{i}\mathbf {e} _{i},}$

так что он имеет стандартный базис в качестве собственных векторов, что является определяющим свойством . ${\displaystyle P^{-1}\!AP}$${\displaystyle D}$

Обратите внимание, что нет предпочтительного порядка собственных векторов в ; изменяя порядок собственных векторов в просто меняет порядок собственных в диагонализованных форме . ^[2]${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$

Приложение к матричным функциям [ править ]

Диагонализацию можно использовать для эффективного вычисления степеней матрицы :${\displaystyle A=PDP^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}}$

и последнее легко вычислить, поскольку оно включает только степени диагональной матрицы. Например, для матрицы с собственными значениями в приведенном выше примере мы вычисляем:${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda =1,1,2}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=&\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&=&{\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{array}}}$

Этот подход можно обобщить на матричные экспоненты и другие матричные функции, которые можно определить как степенные ряды. Например, определяя , мы имеем:${\displaystyle \exp(A)=I+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+{\tfrac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\exp(A)=P\,\exp(D)\,P^{-1}&=&\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&=&{\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{array}}}$

Это особенно полезно при поиске выражений в замкнутой форме для членов линейных рекурсивных последовательностей , таких как числа Фибоначчи .

Особое приложение [ править ]

Например, рассмотрим следующую матрицу:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.}$

Вычисление различных степеней раскрывает удивительную закономерность:${\displaystyle M}$

${\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots }$

Вышеуказанное явление можно объяснить диагонализацией . Для этого нам понадобится базис, состоящий из собственных векторов . Один из таких базисов собственных векторов задается формулой${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},}$

где e _i обозначает стандартный базис R ⁿ . Обратное изменение базиса дается формулой

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .}$

Прямые вычисления показывают, что

${\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .}$

Таким образом, a и b - собственные значения, соответствующие u и v соответственно. По линейности умножения матриц имеем

${\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\,\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\,\mathbf {v} .}$

Возвращаясь к стандартной основе, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{n}\mathbf {e} _{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},\\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf {v} -\mathbf {u} \right)=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =\left(b^{n}-a^{n}\right)\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

Предыдущие соотношения, выраженные в матричной форме, таковы:

${\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}},}$

тем самым объясняя вышеуказанное явление.

Квантовая механика [ править ]

В квантово-механических и квантово-химических вычислениях диагонализация матрицы - один из наиболее часто применяемых численных процессов. Основная причина в том, что не зависящее от времени уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения, хотя и в большинстве физических ситуаций в бесконечномерном пространстве ( гильбертовом пространстве ).

Очень распространенное приближение - усечение гильбертова пространства до конечной размерности, после чего уравнение Шредингера может быть сформулировано как проблема собственных значений действительной симметричной или комплексной эрмитовой матрицы. Формально это приближение основано на вариационном принципе , справедливом для гамильтонианов, ограниченных снизу.

Теория возмущений первого порядка также приводит к матричной проблеме собственных значений для вырожденных состояний.

См. Также [ править ]

• Дефектная матрица
• Масштабирование (геометрия)
• Треугольная матрица
• Полупростой оператор
• Диагонализируемая группа
• Нормальная форма Джордана
• Весовой модуль - обобщение ассоциативной алгебры
• Ортогональная диагонализация

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]