Матрица вращения

В линейной алгебры , A матрица вращения представляет собой матрицу преобразования , которая используется для выполнения вращения в евклидовом пространстве . Например, используя приведенное ниже соглашение, матрица

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

поворачивает точки в плоскости xy против часовой стрелки на угол θ относительно оси x вокруг начала двумерной декартовой системы координат . Чтобы выполнить поворот на плоской точке со стандартными координатами v = ( x , y ) , ее нужно записать как вектор-столбец и умножить на матрицу R :

${\displaystyle R{\textbf {v}}\ =\ {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Если x и y - координаты конечной точки вектора, где x - косинус, а y - синус, то приведенные выше уравнения становятся формулами тригонометрического суммирования углов . Действительно, матрицу вращения можно рассматривать как формулу тригонометрического суммирования углов в матричной форме. Один из способов понять это - сказать, что у нас есть вектор под углом 30 ° к оси x , и мы хотим повернуть этот угол еще на 45 °. Нам просто нужно вычислить координаты конечной точки вектора под углом 75 °.

Примеры в этой статье относятся к активному вращению векторов против часовой стрелки в правой системе координат ( y против часовой стрелки от x ) путем предварительного умножения ( R слева). Если какой-либо из них изменяется (например, вращающиеся оси вместо векторов, пассивное преобразование ), то следует использовать инверсию матрицы примера, которая совпадает с ее транспонированием .

Поскольку умножение матриц не влияет на нулевой вектор (координаты начала координат), матрицы вращения описывают повороты относительно начала координат. Матрицы вращения обеспечивают алгебраическое описание таких вращений и широко используются для вычислений в геометрии , физике и компьютерной графике . В некоторой литературе термин вращение обобщен, чтобы включать неправильные повороты , характеризуемые ортогональными матрицами с определителем -1 (вместо +1). Они сочетают правильное вращение с отражениями (которые меняют ориентацию). В других случаях, когда не рассматриваются отражения, метка собственно может быть отброшена. В этой статье соблюдается последнее соглашение.

Матрицы вращения - это квадратные матрицы с действительными элементами. Более конкретно, их можно охарактеризовать как ортогональные матрицы с определителем  1; то есть квадратная матрица R является матрицей вращения тогда и только тогда, когда R ^T = R ^-1 и det R = 1 . Множество всех ортогональных матриц размера п с определителем +1 образует группу известный как специальной ортогональной группы SO ( п ) , один из примеров которого является группа вращений SO (3). Набор всех ортогональных матриц размера n с определителем +1 или -1 образует (общую) ортогональную группу O ( n ) .

В двух измерениях [ править ]

В двух измерениях стандартная матрица вращения имеет следующий вид:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$

Это поворачивает векторы-столбцы посредством следующего умножения матриц ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, новые координаты ( x ′, y ′) точки ( x , y ) после поворота равны

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned}}.}$

Примеры [ править ]

Например, когда вектор

${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}$

повернут на угол θ , его новые координаты

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},}$

и когда вектор

${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}}$

повернут на угол θ , его новые координаты

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$

Направление [ править ]

Направление вращения вектора - против часовой стрелки, если θ положительно (например, 90 °), и по часовой стрелке, если θ отрицательно (например, -90 °). Таким образом, матрица вращения по часовой стрелке находится как

${\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$

Двумерный случай является единственным нетривиальным (то есть не одномерным) случаем, когда группа матриц вращения является коммутативной, поэтому не имеет значения, в каком порядке выполняются множественные вращения. Альтернативное соглашение использует вращающиеся оси, ^[1] и вышеуказанные матрицы также представляют вращение осей по часовой стрелке на угол θ .

Нестандартная ориентация системы координат [ править ]

Если используется стандартная правая декартова система координат , с осью x вправо и осью y вверх, то вращение R ( θ ) происходит против часовой стрелки. Если используется левая декартова система координат, где x направлен вправо, а y направлен вниз, R ( θ ) - по часовой стрелке. Такие нестандартные ориентации редко используются в математике, но распространены в компьютерной 2D-графике , которая часто имеет начало в верхнем левом углу и ось Y вниз по экрану или странице. ^[2]

См. Ниже другие альтернативные соглашения, которые могут изменить направление вращения, производимое матрицей вращения.

Общие вращения [ править ]

Особенно полезны матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}}$

для вращения на 90 °, 180 ° и 270 ° против часовой стрелки.

Сложные плоскости в M (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$[ править ]

С

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}^{2}\ =\ {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\ =-I,}$

плоскость матриц

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\-y&x\end{bmatrix}}}$

изоморфна плоскости комплексных чисел , а указанная выше матрица вращения является точкой на ее единичной окружности , которая действует на плоскости как поворот на θ радиан.${\displaystyle \mathbb {C} }$

Позволять

${\displaystyle T=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&-a\end{bmatrix}}:a^{2}+bc+1=0\right\}.}$

Можно показать, что m ∈ T ⇒ m ² = −1 , отрицательное значение единичной матрицы, и P _m = { xI + ym  : x , y ∈ }${\displaystyle \mathbb {R} }$ является плоскостью матриц, изоморфной . Тогда согласно формуле Эйлера любое ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle g=\exp(\theta m)=\cos(\theta )I+m\sin(\theta )}$

матрица вращения.

Для получения более подробной информации о числовых плоскостях в M (2, )${\displaystyle \mathbb {R} }$ и их типах вращения, см. Вещественные матрицы 2 × 2 .

В трех измерениях [ править ]

Основные вращения [ править ]

Базовое вращение (также называемое элементарным вращением) - это вращение вокруг одной из осей системы координат. Следующие три основные матрицы вращения поворачивают векторы на угол θ относительно осей x -, y - или z в трех измерениях, используя правило правой руки, которое кодирует их чередующиеся знаки. (Эти же матрицы могут также представлять вращение осей по часовой стрелке. ^{[Nb 1]} )

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}$

Для векторов-столбцов каждое из этих вращений основных векторов появляется против часовой стрелки, когда ось, вокруг которой они происходят, указывает на наблюдателя, система координат правая, а угол θ положительный. R _z , например, будет вращаться к оси y вектора, выровненному с осью x , что легко проверить, работая с R _z над вектором (1,0,0) :

${\displaystyle R_{z}(90^{\circ }){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos 90^{\circ }&-\sin 90^{\circ }&0\\\sin 90^{\circ }&\quad \cos 90^{\circ }&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}}}$

Это похоже на вращение, производимое вышеупомянутой двумерной матрицей вращения. См. Ниже альтернативные соглашения, которые могут явно или фактически изменить направление вращения, производимое этими матрицами.

Общие ротации [ править ]

Другие матрицы вращения могут быть получены из этих трех с использованием матричного умножения . Например, товар

${\displaystyle R=R_{z}(\alpha )\,R_{y}(\beta )\,R_{x}(\gamma )={\overset {\text{yaw}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{pitch}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{roll}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \gamma &-\sin \gamma \\0&\sin \gamma &\cos \gamma \\\end{bmatrix}}}}$

$${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}}$$

представляет собой поворот, углы рыскания, тангажа и крена равны α , β и γ соответственно. Более формально это внутреннее вращение , углы Тейта – Брайана которого равны α , β , γ вокруг осей z , y , x соответственно. Аналогичным образом продукт

${\displaystyle R=R_{z}(\gamma )\,R_{y}(\beta )\,R_{x}(\alpha )={\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}}$

представляет собой внешнее вращение, чьи (несобственные) углы Эйлера равны α , β , γ относительно осей x , y , z .

Эти матрицы производят желаемый эффект только в том случае, если они используются для предварительного умножения векторов-столбцов и (поскольку в общем случае умножение матриц не является коммутативным ) только в том случае, если они применяются в указанном порядке (см. Дополнительные сведения в разделе « Неопределенность» ).

Преобразование из матрицы вращения в ось-угол [ править ]

Каждое вращение в трех измерениях определяется его осью (вектор вдоль этой оси не изменяется вращением), а его угол - величиной вращения вокруг этой оси ( теорема о вращении Эйлера ).

Существует несколько методов вычисления оси и угла из матрицы вращения (см. Также представление оси и угла ). Здесь мы описываем только метод, основанный на вычислении собственных векторов и собственных значений матрицы вращения. Также возможно использование следа матрицы вращения.

Определение оси [ править ]

Учитывая матрицу вращения 3 × 3 R , вектор u, параллельный оси вращения, должен удовлетворять

${\displaystyle R\mathbf {u} =\mathbf {u} ,}$

так как вращение u вокруг оси вращения должно приводить к u . Выше уравнение может быть решено для U , которое единственно с точностью до скалярного множителя исключением случаев , когда R = I .

Далее уравнение можно переписать

${\displaystyle R\mathbf {u} =I\mathbf {u} \implies \left(R-I\right)\mathbf {u} =0,}$

который показывает , что у лежит в нулевом пространстве от R - I .

Рассматриваемый по - другому, у является собственным вектором из R , соответствующий собственному значению λ = 1 . Каждая матрица вращения должна иметь это собственное значение, а два других собственных значения комплексно сопряжены друг с другом. Отсюда следует, что общая матрица вращения в трех измерениях с точностью до мультипликативной константы имеет только один действительный собственный вектор.

Один из способов определить ось вращения - показать, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=R^{\mathsf {T}}0+0\\&=R^{\mathsf {T}}\left(R-I\right)\mathbf {u} +\left(R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(I-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

Поскольку ( R - R ^T ) - кососимметричная матрица , мы можем выбрать u так , чтобы

${\displaystyle [\mathbf {u} ]_{\times }=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right).}$

Произведение матрица-вектор становится перекрестным произведением вектора на себя, гарантируя, что результат равен нулю:

${\displaystyle \left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} =[\mathbf {u} ]_{\times }\mathbf {u} =\mathbf {u} \times \mathbf {u} =0\,}$

Следовательно, если

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}},}$

тогда

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}h-f\\c-g\\d-b\\\end{bmatrix}}.}$

Вычисленная таким образом величина u равна || u || = 2 sin θ , где θ - угол поворота.

Это не работает, если R симметрично. Выше, если R - R ^T равно нулю, все последующие шаги недействительны. В этом случае необходимо диагонализовать R и найти собственный вектор, соответствующий собственному значению 1.

Определение угла [ править ]

Чтобы найти угол поворота, когда ось вращения известна, выберите вектор v, перпендикулярный оси. Тогда угол поворота - это угол между v и R v .

Однако более прямой метод состоит в простом вычислении следа : суммы диагональных элементов матрицы вращения. Следует внимательно выбирать правильный знак для угла θ, соответствующий выбранной оси:

${\displaystyle \operatorname {tr} (R)=1+2\cos \theta ,}$

откуда следует, что модуль угла равен

${\displaystyle |\theta |=\arccos \left({\frac {\operatorname {tr} (R)-1}{2}}\right).}$

Матрица поворота от оси и угла [ править ]

Матрица собственного поворота R на угол θ вокруг оси u = ( u _x , u _y , u _z ) , единичный вектор с u²
_х+ ты²
_лет+ ты²
_z= 1 , определяется по формуле: ^[3]

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta +u_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&u_{x}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)-u_{z}\sin \theta &u_{x}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)+u_{y}\sin \theta \\u_{y}u_{x}\left(1-\cos \theta \right)+u_{z}\sin \theta &\cos \theta +u_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&u_{y}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)-u_{x}\sin \theta \\u_{z}u_{x}\left(1-\cos \theta \right)-u_{y}\sin \theta &u_{z}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)+u_{x}\sin \theta &\cos \theta +u_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)\end{bmatrix}}.}$

Вывод этой матрицы из первых принципов можно найти в разделе 9.2 здесь. ^[4] Основная идея для получения этой матрицы - разделить проблему на несколько известных простых шагов.

1. Сначала поверните заданную ось и точку так, чтобы ось лежала в одной из координатных плоскостей ( xy , yz или zx ).
2. Затем поверните заданную ось и точку так, чтобы ось была выровнена с одной из двух координатных осей для этой конкретной координатной плоскости ( x , y или z ).
3. Используйте одну из основных матриц вращения, чтобы повернуть точку в зависимости от оси координат, с которой выровнена ось вращения.
4. Обратное вращение пары ось-точка так, чтобы она достигла окончательной конфигурации, как это было на шаге 2 (отмена шага 2)
5. Обратный поворот пары ось-точка, как это было сделано на шаге 1 (отмена шага 1)

Более кратко это можно записать как

${\displaystyle R=(\cos \theta )\,I+(\sin \theta )\,[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta )\,(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ),}$

где [ U ] _× является кроссом матричного произведения из U ; выражение u ⊗ u - внешнее произведение , а I - единичная матрица . В качестве альтернативы записи матрицы:

${\displaystyle R_{jk}={\begin{cases}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\left(2u_{j}^{2}-1\right),\quad &{\text{if }}j=k\\2u_{j}u_{k}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}-\varepsilon _{jkl}u_{l}\sin \theta ,\quad &{\text{if }}j\neq k\end{cases}}}$

где ε _jkl - символ Леви-Чивиты с ε ₁₂₃ = 1 . Это матричная форма формулы вращения Родригеса (или эквивалентной, иначе параметризованной формулы Эйлера – Родригеса ) с ^{[nb 2]}

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}&u_{y}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{z}&u_{y}u_{z}&u_{z}^{2}\end{bmatrix}},\qquad [\mathbf {u} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-u_{z}&u_{y}\\[3pt]u_{z}&0&-u_{x}\\[3pt]-u_{y}&u_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

В § ³ поворот вектора x вокруг оси u на угол θ можно записать как:

${\displaystyle R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} =\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {x} )+\cos \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {u} +\sin \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )}$

Если трехмерное пространство правостороннее и θ > 0 , это вращение будет происходить против часовой стрелки, когда u указывает на наблюдателя ( правило правой руки ).

Обратите внимание на поразительные просто очевидные отличия от эквивалентной формулировки алгебры Ли, представленной ниже .

Свойства [ править ]

Для любой n -мерной матрицы вращения R, действующей на ℝ ⁿ ,

• ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$(Вращение - ортогональная матрица )

Следует, что:

• ${\displaystyle \det R=\pm 1}$

Вращение называется собственным, если det R = 1 , и несобственным (или поворотным), если det R = –1 . Для четных размерностей n = 2 k , n собственных значений λ собственного вращения встречаются как пары комплексно сопряженных, которые являются корнями из единицы: λ = e ^{± iθ _j} для j = 1,…, k , что является действительным только для λ = ± 1 . Следовательно, векторов, зафиксированных вращением ( λ = 1) и, следовательно, без оси вращения. Любые фиксированные собственные векторы встречаются парами, а ось вращения является четномерным подпространством.

Для нечетных размеров n = 2 k + 1 , собственное вращение R будет иметь нечетное количество собственных значений, по крайней мере, с одним λ = 1, а ось вращения будет подпространством нечетной размерности. Доказательство:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\det \left(R-I\right)&=&\det \left(R^{\mathsf {T}}\right)\det \left(R-I\right)\ =\ \det \left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}\right)\ =\ \det \left(I-R^{\mathsf {T}}\right)\\&=&\det(I-R)\ =\ \left(-1\right)^{n}\det \left(R-I\right)\ =\ -\det \left(R-I\right).\end{array}}}$

Здесь I - единичная матрица, и мы используем det ( R ^T ) = det ( R ) = 1 , а также (−1) ⁿ = −1, поскольку n нечетно. Следовательно, det ( R - I ) = 0 , что означает, что существует нулевой вектор v с ( R - I ) v = 0 , то есть R v = v , фиксированный собственный вектор. Также могут быть пары фиксированных собственных векторов в четномерном подпространстве, ортогональном v , поэтому общая размерность фиксированных собственных векторов нечетная.

Например, в 2-пространстве n = 2 поворот на угол θ имеет собственные значения λ = e ^iθ и λ = e ^{- iθ} , поэтому нет оси вращения, кроме случая, когда θ = 0 , в случае нулевого вращения. В 3-пространстве n = 3 ось ненулевого собственного вращения всегда является единственной линией, а вращение вокруг этой оси на угол θ имеет собственные значения λ = 1, e ^iθ , e ^{- iθ} . В 4-м пространстве n = 4, четыре собственных значения имеют вид e ^{± iθ} , e ^{± iφ} . Нулевой поворот имеет θ = φ = 0 . Случай θ = 0, φ ≠ 0 называется простым вращением с двумя единичными собственными значениями, образующими осевую плоскость , и двумерным вращением, ортогональным осевой плоскости. В противном случае осевая плоскость отсутствует. Случай θ = φ называется изоклиническим вращением , когда собственные значения e ^{± iθ} повторяются дважды, поэтому каждый вектор поворачивается на уголθ .

След матрицы вращения равен сумме ее собственных значений. При n = 2 поворот на угол θ имеет след 2 cos θ . При n = 3 поворот вокруг любой оси на угол θ имеет след 1 + 2 cos θ . Для n = 4 , и след равен 2 (cos θ + cos φ ) , что становится равным 4 cos θ для изоклинического вращения.

Примеры [ править ]

Геометрия [ править ]

В евклидовой геометрии вращение является примером изометрии , преобразования, которое перемещает точки без изменения расстояний между ними. Вращения отличаются от других изометрий двумя дополнительными свойствами: они оставляют (по крайней мере) одну точку фиксированной, и они оставляют неизменной " вращательность ". Напротив, сдвиг перемещает каждую точку, отражение меняет левый и правый порядок, скользящее отражение делает и то, и другое, а неправильное вращение сочетает в себе изменение руки с нормальным вращением.

Если фиксированная точка берется за начало декартовой системы координат , то каждой точке могут быть даны координаты как смещение от начала координат. Таким образом, вместо самих точек можно работать с векторным пространством смещений. Теперь предположим , что ( р ₁ , ..., р _п ) являются координаты вектора р от начала координат O до точки P . Выберите ортонормированный базис для наших координат; тогда квадрат расстояния до P по Пифагору равен

${\displaystyle d^{2}(O,P)=\|\mathbf {p} \|^{2}=\sum _{r=1}^{n}p_{r}^{2}}$

которые можно вычислить с помощью умножения матриц

${\displaystyle \|\mathbf {p} \|^{2}={\begin{bmatrix}p_{1}\cdots p_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} .}$

Геометрическое вращение преобразует линии в линии и сохраняет отношения расстояний между точками. Из этих свойств можно показать, что вращение - это линейное преобразование векторов, и поэтому его можно записать в матричной форме Q p . Тот факт, что вращение сохраняет не только отношения, но и сами расстояния, утверждается как

${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} =(Q\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}(Q\mathbf {p} ),}$

или же

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}I\mathbf {p} &{}=\left(\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}Q^{\mathsf {T}}\right)(Q\mathbf {p} )\\&{}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}Q\right)\mathbf {p} .\end{aligned}}}$

Поскольку это уравнение выполняется для всех векторов p , можно сделать вывод, что каждая матрица вращения Q удовлетворяет условию ортогональности :

${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=I.}$

Вращения сохраняют ручность, потому что они не могут изменить порядок осей, что подразумевает специальное матричное условие,

${\displaystyle \det Q=+1.}$

Не менее важно, что можно показать, что любая матрица, удовлетворяющая этим двум условиям, действует как вращение.

Умножение [ править ]

Обратным к матрице вращения является ее транспонирование, которое также является матрицей вращения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)&=QQ^{\mathsf {T}}=I\\\det Q^{\mathsf {T}}&=\det Q=+1.\end{aligned}}}$

Произведение двух матриц вращения представляет собой матрицу вращения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(Q_{1}Q_{2}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}Q_{2}\right)&=Q_{2}^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}^{\mathsf {T}}Q_{1}\right)Q_{2}=I\\\det \left(Q_{1}Q_{2}\right)&=\left(\det Q_{1}\right)\left(\det Q_{2}\right)=+1.\end{aligned}}}$

При n > 2 умножение матриц вращения n × n, как правило, не коммутативно .

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}&Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}\\Q_{1}Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}&Q_{2}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Отмечая , что любая единичная матрица является матрицей вращения, и что умножение матриц ассоциативно , мы можем суммировать все эти свойства, говоря , что п × п вращения матрицы образуют группу , которая для п > 2 является неабелево , называется специальная ортогональная группа , и обозначается SO ( n ) , SO ( n , R ) , SO _n или SO _n ( R ) , группа n × nМатрица вращения изоморфна группе вращений в n- мерном пространстве. Это означает, что умножение матриц вращения соответствует композиции вращений, применяемых в порядке слева направо соответствующих матриц.

Неясности [ править ]

Интерпретация матрицы вращения может быть неоднозначной.

В большинстве случаев эффект неоднозначности эквивалентен эффекту инверсии матрицы вращения (для этих ортогональных матриц эквивалентно транспонирование матрицы ).

Псевдоним или алиби (пассивное или активное) преобразование

Координаты точки P могут измениться либо из-за поворота системы координат CS ( псевдоним ), либо из-за поворота точки P ( алиби ). В последнем случае, вращение P также производит вращение вектора V , представляющий P . Другими словами, либо P и v фиксированы, пока CS вращается (псевдоним), либо CS фиксированы, пока P и vповернуть (алиби). Любое данное вращение может быть законно описано в обоих направлениях, поскольку векторы и системы координат фактически вращаются относительно друг друга, вокруг одной оси, но в противоположных направлениях. В этой статье мы выбрали подход алиби для описания вращений. Например,

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

представляет поворот вектора v против часовой стрелки на угол θ или поворот CS на тот же угол, но в противоположном направлении (то есть по часовой стрелке). Преобразования алиби и псевдонима также известны как активные и пассивные преобразования соответственно.

До умножения или после умножения

Одна и та же точка P может быть представлена ​​либо вектором-столбцом v, либо вектором-строкой w . Матрицы вращения могут либо до умножения векторов-столбцов ( R v ), либо после умножения векторов-строк ( w R ). Тем не менее, R v производит вращение в направлении , противоположном по отношению к ш R . В этой статье вращения, производимые на векторах-столбцах, описаны с помощью предварительного умножения. Для того, чтобы получить точно такой же поворот (то есть одни и те же конечные координаты точки Р ), эквивалентный вектор - строка должна быть пост-умноженный на транспонированной из R(т.е. w R ^T ).

Правосторонние или левосторонние координаты

Матрица и вектор могут быть представлены в правой или левой системе координат. На протяжении всей статьи мы предполагали правостороннюю ориентацию, если не указано иное.

Векторы или формы

Векторное пространство имеет двойное пространство из линейных форм , а матрица может действовать либо на векторах или формах.

Разложения [ править ]

Независимые самолеты [ править ]

Рассмотрим матрицу вращения 3 × 3

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0.36&0.48&-0.80\\-0.80&0.60&0.00\\0.48&0.64&0.60\end{bmatrix}}.}$

Если Q действует в определенном направлении, v , просто как масштабирование на коэффициент λ , то мы имеем

${\displaystyle Q\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$

так что

${\displaystyle \mathbf {0} =(\lambda I-Q)\mathbf {v} .}$

Таким образом, λ является корнем характеристического многочлена для Q ,

${\displaystyle {\begin{aligned}0&{}=\det(\lambda I-Q)\\&{}=\lambda ^{3}-{\tfrac {39}{25}}\lambda ^{2}+{\tfrac {39}{25}}\lambda -1\\&{}=(\lambda -1)\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {14}{25}}\lambda +1\right).\end{aligned}}}$

Следует отметить две особенности. Во-первых, один из корней (или собственных значений ) равен 1, что говорит нам о том, что матрица не влияет на какое-то направление. Для вращения в трех измерениях это ось вращения (концепция, не имеющая значения ни в каком другом измерении). Во-вторых, два других корня представляют собой пару комплексно сопряженных корней, произведение которых равно 1 (постоянный член квадратичного), а сумма равна 2 cos θ (отрицательный линейный член). Эта факторизация представляет интерес для матриц вращения 3 × 3, потому что для всех них происходит одно и то же. (В качестве особых случаев для нулевого поворота оба «комплексно сопряженных» значения равны 1, а для поворота на 180 ° они оба равны -1.) Кроме того, аналогичная факторизация выполняется для любого n.Матрица вращения × n . Если размерность n нечетная, будет "болтающееся" собственное значение 1; и для любой размерности остальная часть полинома делится на квадратичные члены, подобные приведенному здесь (с двумя отмеченными частными случаями). Гарантируется, что характеристический многочлен будет иметь степень n и, следовательно, n собственных значений. А поскольку матрица вращения коммутирует со своим транспонированием, это нормальная матрица , поэтому ее можно диагонализовать. Мы заключаем, что каждая матрица вращения, выраженная в подходящей системе координат, разбивается на независимые повороты двумерных подпространств, не болееп/2 их.

Сумма элементов на главной диагонали матрицы называется следом ; он не меняется, если мы переориентируем систему координат, и всегда равен сумме собственных значений. Это имеет удобный последствия для 2 × 2 и 3 × 3 матрицы вращения , что след раскрывает угол поворота , & thetas , в двумерном пространстве (или подпространстве). Для матрицы 2 × 2 след равен 2 cos θ , а для матрицы 3 × 3 - 1 + 2 cos θ.. В трехмерном случае подпространство состоит из всех векторов, перпендикулярных оси вращения (инвариантное направление с собственным значением 1). Таким образом, можно извлечь из любой 3 × 3 матрицы поворота оси вращения и угол, и они полностью определяют вращение.

Последовательные углы [ править ]

Из ограничений на матрицу вращения 2 × 2 следует, что она должна иметь вид

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}$

с a ² + b ² = 1 . Следовательно, мы можем положить a = cos θ и b = sin θ для некоторого угла θ . Чтобы решить для θ, недостаточно смотреть только на a или на b ; мы должны рассмотреть оба вместе, чтобы разместить угол в правильном квадранте , используя функцию арктангенса с двумя аргументами .

Теперь рассмотрим первый столбец матрицы вращения 3 × 3 ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}.}$

Хотя a ² + b ² , вероятно, не будет равно 1, а будет иметь некоторое значение r ² <1 , мы можем использовать небольшую вариацию предыдущего вычисления, чтобы найти так называемое вращение Гивенса, которое преобразует столбец в

${\displaystyle {\begin{bmatrix}r\\0\\c\end{bmatrix}},}$

обнуление b . Это действует на подпространство, натянутое на оси x и y . Затем мы можем повторить процесс для xz -подпространства до нуля c . Действуя на полную матрицу, эти два поворота создают схематическую форму

${\displaystyle Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\ast &\ast \\0&\ast &\ast \end{bmatrix}}.}$

Обращая внимание на второй столбец, поворот Гивенса подпространства yz теперь может обнулить значение z . Это приводит полную матрицу к виду

${\displaystyle Q_{yz}Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$

которая является единичной матрицей. Таким образом, мы разложили Q как

${\displaystyle Q=Q_{xy}^{-1}Q_{xz}^{-1}Q_{yz}^{-1}.}$

Матрица вращения n × n будет иметь ( n - 1) + ( n - 2) + ⋯ + 2 + 1 , или

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}}$

записи ниже диагонали к нулю. Мы можем обнулить их, расширив ту же идею прохождения по столбцам с серией вращений в фиксированной последовательности плоскостей. Мы заключаем, что набор матриц вращения n × n , каждая из которых имеет n ² элементов, можно параметризовать следующим образом:п ( п - 1)/2 углы.

В трех измерениях это переформулирует в матричной форме наблюдение, сделанное Эйлером , поэтому математики называют упорядоченную последовательность трех углов углами Эйлера . Однако ситуация несколько сложнее, чем мы до сих пор указывали. Несмотря на небольшой размер, у нас действительно есть значительная свобода в последовательности используемых пар осей; и у нас также есть некоторая свобода в выборе углов. Таким образом, мы находим множество различных соглашений, используемых при параметризации трехмерного вращения для физики, медицины, химии или других дисциплин. Когда мы включаем опцию мировых осей или осей тела, возможны 24 различных последовательности. И хотя в некоторых дисциплинах любая последовательность называется углами Эйлера, в других - по-разному (Кардано, Тейт-Брайан, крен-тангаж-рыскание) на разные последовательности.

Одна из причин большого количества вариантов заключается в том, что, как отмечалось ранее, вращения в трех измерениях (и выше) не меняются. Если мы перевернем заданную последовательность вращений, мы получим другой результат. Это также означает, что мы не можем составить два поворота, сложив их соответствующие углы. Таким образом, углы Эйлера не являются векторами , несмотря на внешнее сходство в виде тройки чисел.

Вложенные размеры [ править ]

3 × 3 матрицы поворота , таких как

${\displaystyle Q_{3\times 3}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}}}$

предлагает матрицу вращения 2 × 2 ,

${\displaystyle Q_{2\times 2}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$

встроено в левый верхний угол:

${\displaystyle Q_{3\times 3}=\left[{\begin{matrix}Q_{2\times 2}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} ^{\mathsf {T}}&1\end{matrix}}\right].}$

Это не иллюзия; не одна, а множество копий n -мерных вращений находятся внутри ( n + 1) -мерных вращений как подгруппы . Каждое вложение оставляет фиксированным одно направление, которое в случае матриц 3 × 3 является осью вращения. Например, у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\mathbf {x} }(\theta )&={\begin{bmatrix}{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta &-\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {y} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}\\-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {z} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

фиксируя ось x, ось y и ось z , соответственно. Ось вращения не обязательно должна быть координатной осью; если u = ( x , y , z ) - единичный вектор в желаемом направлении, то

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\mathbf {u} }(\theta )&={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\sin \theta +\left(I-\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\right)\cos \theta +\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}\left(1-x^{2}\right)c_{\theta }+x^{2}&-zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz\\zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&\left(1-y^{2}\right)c_{\theta }+y^{2}&-xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz\\-ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz&xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz&\left(1-z^{2}\right)c_{\theta }+z^{2}\end{bmatrix}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}x^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&xy(1-c_{\theta })-zs_{\theta }&xz(1-c_{\theta })+ys_{\theta }\\xy(1-c_{\theta })+zs_{\theta }&y^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&yz(1-c_{\theta })-xs_{\theta }\\xz(1-c_{\theta })-ys_{\theta }&yz(1-c_{\theta })+xs_{\theta }&z^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

где c _θ = cos θ , s _θ = sin θ , - поворот на угол θ, оставляющий ось u фиксированной.

Направление в ( n + 1) -мерном пространстве будет вектором единичной величины, который мы можем рассматривать как точку на обобщенной сфере S ⁿ . Таким образом, естественно описать группу вращений SO ( n + 1) как объединяющую SO ( n ) и S ⁿ . Подходящим формализмом является расслоение слоев ,

${\displaystyle SO(n)\hookrightarrow SO(n+1)\to S^{n},}$

где для каждого направления в базовом пространстве S ⁿ слой над ним в общем пространстве SO ( n + 1) является копией пространства слоев SO ( n ) , а именно повороты, которые сохраняют это направление фиксированным.

Таким образом, мы можем построить матрицу вращения n × n , начав с матрицы 2 × 2 , направив ее фиксированную ось на S ² (обычная сфера в трехмерном пространстве), нацелив получившееся вращение на S ³ , и так далее до S ^{n −1} . Точку на S ⁿ можно выбрать с помощью n чисел, поэтому мы снова имеемп ( п - 1)/2числа для описания любой матрицы вращения n × n .

Фактически, мы можем рассматривать последовательное угловое разложение, обсуждавшееся ранее, как обращение этого процесса. Композиция из n - 1 поворотов Гивенса приводит первый столбец (и строку) к (1,0,…, 0) , так что оставшаяся часть матрицы представляет собой матрицу вращения размерности на единицу меньше, встроенную так, чтобы оставить (1 , 0,…, 0) исправлено.

Искажение параметров с помощью формулы Кэли [ править ]

Когда матрица Q вращения n × n не включает в себя собственное значение -1, таким образом, ни одно из плоских вращений, которые она включает, не является поворотом на 180 °, тогда Q + I является обратимой матрицей . Большинство матрица поворота соответствует этому описанию, и для них можно показать , что ( Q - I ) ( Q + I ) ^-1 является кососимметрической матрицей , . Таким образом, A ^T = - A ; и поскольку диагональ обязательно равна нулю, и поскольку верхний треугольник определяет нижний, A содержит 1/2n ( n - 1) независимых чисел.

Удобно, что I - A обратимо, если A кососимметрична; таким образом, мы можем восстановить исходную матрицу с помощью преобразования Кэли ,

${\displaystyle A\mapsto (I+A)(I-A)^{-1},}$

который отображает любую кососимметричную матрицу A в матрицу вращения. Фактически, за исключением отмеченных исключений, таким способом мы можем создать любую матрицу вращения. Хотя в практических приложениях мы вряд ли можем позволить себе игнорировать поворот на 180 °, преобразование Кэли по-прежнему является потенциально полезным инструментом, позволяющим параметризовать большинство матриц поворота без тригонометрических функций.

Например, в трех измерениях мы имеем ( Cayley 1846 )

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\mapsto \\[3pt]\quad {\frac {1}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}&{\begin{bmatrix}1+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2xy-2z&2y+2xz\\2xy+2z&1-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2yz-2x\\2xz-2y&2x+2yz&1-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Если мы конденсируем элементы перекоса в вектор ( x , y , z ) , то мы производим поворот на 90 ° вокруг оси x для (1, 0, 0), вокруг оси y для (0, 1, 0) и вокруг оси z для (0, 0, 1). Поворот на 180 ° просто недосягаем; ибо, в пределе при х → ∞ , ( х , 0, 0) имеет приближаться к 180 ° вращения вокруг х оси, а так же для других направлений.

Разложение на ножницы [ править ]

Для двумерного случая матрица вращения может быть разложена на три матрицы сдвига ( Paeth 1986 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\\sin \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Это полезно, например, в компьютерной графике, поскольку сдвиги можно реализовать с меньшим количеством инструкций умножения, чем при прямом вращении растрового изображения. На современных компьютерах это может не иметь значения, но может быть актуальным для очень старых или недорогих микропроцессоров.

Вращение также можно записать как два сдвига и масштабирование ( Daubechies & Sweldens 1998 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&0\\\tan \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\sin \theta \cos \theta \\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &0\\0&{\frac {1}{\cos \theta }}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Теория групп [ править ]

Ниже приведены некоторые основные факты о роли совокупности всех матриц вращения фиксированного измерения (здесь в основном 3) в математике и, в частности, в физике, где симметрия вращения является требованием каждого действительно фундаментального закона (из-за предположения об изотропии пространства. ), и где та же самая симметрия, если она присутствует, является упрощающим свойством многих проблем менее фундаментального характера. Примеры изобилуют классической механикой и квантовой механикой . Знание части решений, относящейся к этой симметрии, применимо (с оговорками) ко всемтакие проблемы, и это может быть исключено из конкретной проблемы, что снижает ее сложность. Ярким примером - в математике и физике - может быть теория сферических гармоник . Их роль в групповой теории групп вращений состоит в том, что они являются пространством представления для всего множества конечномерных неприводимых представлений группы вращений SO (3). По этой теме см. Группа вращения SO (3) § Сферические гармоники .

Основные статьи, перечисленные в каждом подразделе, упоминаются для более подробной информации.

Группа Ли [ править ]

П × п матрица поворота для каждого п образует группу , в специальной ортогональную группу , SO ( п ) . Эта алгебраическая структура соединена с топологической структурой, унаследованной от GL _n (ℝ) таким образом, что операции умножения и взятия обратного являются аналитическими функциями элементов матрицы. Таким образом, SO ( n ) является для каждого n группой Ли. Он компактен и связан , но не просто связан. Это также полупростая группа , фактически простая группа за исключением SO (4). ^[5] Актуальность этого состоит в том, что все теоремы и весь аппарат теории аналитических многообразий (аналитические многообразия - это, в частности, гладкие многообразия ) применимы, и хорошо разработанная теория представлений компактных полупростых групп готова к использованию.

Алгебра Ли [ править ]

Алгебра Ли so ( n ) группы SO ( n ) задается формулой

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)={\mathfrak {o}}(n)=\left\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\left|X=-X^{\mathsf {T}}\right\}\right.,}$

и это пространство кососимметрических матриц размерности п , см классической группы , где О ( п ) есть алгебра Ли О ( п ) , в ортогональной группы . Для справки, наиболее распространенным основанием для so (3) является

${\displaystyle L_{\mathbf {x} }=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{matrix}}\right],\quad L_{\mathbf {y} }=\left[{\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{matrix}}\right],\quad L_{\mathbf {z} }=\left[{\begin{matrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right].}$

Экспоненциальная карта [ править ]

Подключение алгебры Ли группы Ли является экспоненциальное отображение , которое определяется с использованием стандартных матричных экспоненциальных рядов для е ^{А [6]} Для любого кососимметрической матрицы А , ехр ( ) всегда является матрица поворота. ^{[№ 3]}

Важным практическим примером является случай 3 × 3 . В группе вращений SO (3) показано, что можно отождествить каждое A ∈ so (3) с вектором Эйлера ω = θ u , где u = ( x , y , z ) - вектор единичной величины.

По свойствам идентификации су (2) ≅ ℝ ³ , у находится в нулевом пространстве A . Таким образом, u остается инвариантным по exp ( A ) и, следовательно, является осью вращения.

Согласно формуле вращения Родригеса в матричной форме , получаем,

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&=\exp {\bigl (}\theta (\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ){\bigr )}\\&=\exp \left(\left[{\begin{matrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{matrix}}\right]\right)\\&=I+\sin \theta \ \mathbf {u} \cdot \mathbf {L} +(1-\cos \theta )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} )^{2},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} &=\left[{\begin{matrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{matrix}}\right]\end{aligned}}.}$

Это матрица поворота вокруг оси u на угол θ . Для получения полной информации см. Экспоненциальную карту SO (3) .

Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа [ править ]

Формула ВСН дает явное выражение для Z = Log ( е ^Х е ^У ) с точки зрения разложения в ряд вложенных друг в друга коммутаторов X и Y . ^[7] Это общее расширение разворачивается как ^{[nb 4]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}X,[X,Y]{\bigr ]}-{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}Y,[X,Y]{\bigr ]}+\cdots .}$

В случае 3 × 3 общее бесконечное разложение имеет компактный вид ^[8]

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

для подходящих коэффициентов тригонометрической функции, подробно описанных в формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для SO (3) .

Как групповое тождество, вышесказанное справедливо для всех точных представлений , включая дублет (спинорное представление), которое является более простым. Таким образом, та же явная формула прямо следует через матрицы Паули; см. вывод 2 × 2 для SU (2) . Для общего случая n × n можно использовать Ref. ^[9]

Группа вращений [ править ]

Группа Ли n × n матриц вращения, SO ( n ) , не односвязна , поэтому теория Ли говорит нам, что это гомоморфный образ универсальной накрывающей группы . Часто покрывающая группа, которая в данном случае называется спиновой группой и обозначается Spin ( n ) , проще и естественнее работать. ^[10]

В случае плоских вращений, SO (2) имеет топологический круг , S ¹ . Его универсальной накрывающей, Spin (2), изоморфно вещественной прямой , R , при сложении. Когда используются углы произвольной величины, используется удобство универсальной крышки. Каждая матрица вращения 2 × 2 создается счетной бесконечностью углов, разделенных целыми числами, кратными 2 π . Соответственно, фундаментальная группа из SO (2) изоморфна целых чисел, Z .

В случае пространственных вращений, SO (3) топологически эквивалентно трехмерного вещественного проективного пространства , RP ³ . Его универсальной накрывающей, Spin (3), изоморфно 3-сферы , S ³ . Каждая матрица вращения 3 × 3 создается двумя противоположными точками на сфере. Соответственно, фундаментальная группа SO (3) изоморфна двухэлементной группе Z ₂ .

Мы также можем описать Spin (3) как изоморфный кватернионам единичной нормы при умножении, или некоторым вещественным матрицам 4 × 4 , или комплексным специальным унитарным матрицам 2 × 2 , а именно SU (2). Карты покрытия для первого и последнего случая имеют вид

${\displaystyle \mathbb {H} \supset \{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\}\ni w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\mapsto \left[{\begin{matrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{matrix}}\right]\in \mathrm {SO} (3),}$

и

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\ni \left[{\begin{matrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{matrix}}\right]\mapsto \left[{\begin{matrix}{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}})&{\frac {i}{2}}(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}})&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\tfrac {i}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}})&{\frac {i}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}})&-i(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }})\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta )&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{matrix}}\right]\in \mathrm {SO} (3).}$

Подробное описание SU (2) -покрытия и кватернионного покрытия см. В спиновой группе SO (3) .

Многие особенности этих корпусов одинаковы для более высоких размеров. Все накрытия взаимно однозначны, SO ( n ) , n > 2 , имеет фундаментальную группу Z ₂ . Естественное окружение для этих групп находится в алгебре Клиффорда . Один тип действия вращений производится своего рода «бутербродом», обозначаемым qvq ^∗ . Что еще более важно в приложениях к физике, соответствующее спиновое представление алгебры Ли находится внутри алгебры Клиффорда. Его можно возвести в степень обычным способом, чтобы получить 2-значное представление, также известное как проективное представлениегруппы вращения. Так обстоит дело с SO (3) и SU (2), где двузначное представление можно рассматривать как "обратное" покрывающему отображению. По свойствам покрывающих карт обратное может быть выбрано однозначно как локальное сечение, но не глобально.

Бесконечно малые вращения [ править ]

Матрицы в алгебре Ли не являются вращениями; кососимметричные матрицы - это производные, пропорциональные разности поворотов. Фактическое "дифференциальное вращение" или матрица бесконечно малого вращения имеет вид

${\displaystyle I+A\,d\theta ,}$

где dθ исчезающе мало и A ∈ so (n) , например, при A = L _x ,

${\displaystyle dL_{x}=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{matrix}}\right].}$

Правила вычислений такие же, как обычно, за исключением того, что бесконечно малые второго порядка обычно отбрасываются. С этими правилами эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном рассмотрении бесконечно малых. ^[11] Оказывается, порядок, в котором применяются бесконечно малые вращения, не имеет значения . Чтобы увидеть это в качестве примера, обратитесь к бесконечно малым вращениям SO (3) .

Конверсии [ править ]

Мы видели существование нескольких декомпозиций, применимых к любому измерению, а именно независимых плоскостей, последовательных углов и вложенных измерений. Во всех этих случаях мы можем либо разложить матрицу, либо построить ее. Мы также уделили особое внимание матрицам вращения 3 × 3 , и они требуют дальнейшего внимания в обоих направлениях ( Stuelpnagel 1964 ).

Кватернион [ править ]

Учитывая единичный кватернион q = w + x i + y j + z k , эквивалентная левосторонняя (пост-умноженная) матрица вращения 3 × 3 имеет вид

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$

Теперь каждый кватернионный компонент появляется умноженным на два в члене степени два, и если все такие члены равны нулю, то остается единичная матрица. Это приводит к эффективному и надежному преобразованию любого кватерниона - как единичного, так и неединичного - в матрицу вращения 3 × 3 . Данный:

${\displaystyle {\begin{aligned}n&=w\times w+x\times x+y\times y+z\times z\\s&={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0\\{\frac {2}{n}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\wx&=s\times w\times x,&wy&=s\times w\times y,&wz&=s\times w\times z\\xx&=s\times x\times x,&xy&=s\times x\times y,&xz&=s\times x\times z\\yy&=s\times y\times y,&yz&=s\times y\times z,&zz&=s\times z\times z\end{aligned}}}$

мы можем рассчитать

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-(yy+zz)&xy-wz&xz+wy\\xy+wz&1-(xx+zz)&yz-wx\\xz-wy&yz+wx&1-(xx+yy)\end{bmatrix}}}$

Освободившись от потребности в единичном кватернионе, мы обнаруживаем, что ненулевые кватернионы действуют как однородные координаты для матриц вращения 3 × 3 . Преобразование Кэли, обсуждавшееся ранее, получается путем масштабирования кватерниона так, чтобы его составляющая w была равна 1. Для поворота на 180 ° вокруг любой оси w будет равно нулю, что объясняет ограничение Кэли.

Сумма значений по главной диагонали ( след ) плюс один равняется 4–4 ( x ² + y ² + z ² ) , что составляет 4 w ² . Таким образом, мы можем записать сам след как 2 w ² + 2 w ² - 1 ; и из предыдущей версии матрицы мы видим, что сами диагональные элементы имеют тот же вид: 2 x ² + 2 w ² - 1 , 2 y ² + 2 w ² - 1 и2 z ² + 2 вес ² - 1 . Таким образом, мы можем легко сравнить величины всех четырех компонентов кватерниона, используя диагональ матрицы. Фактически, мы можем получить все четыре величины, используя суммы и квадратные корни, и выбрать согласованные знаки, используя кососимметричную часть недиагональных элементов:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\quad ({\text{the trace of }}Q)\\r&={\sqrt {1+t}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\operatorname {copysign} \left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\,,\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)\right)\\y&=\operatorname {copysign} \left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}+Q_{yy}-Q_{zz}}}\,,\left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)\right)\\z&=\operatorname {copysign} \left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}-Q_{yy}+Q_{zz}}}\,,\left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)\right)\end{aligned}}}$