Матрица трансформации

В линейной алгебре , линейные преобразования могут быть представлены матрицами . Если есть линейное отображение преобразования , чтобы и это вектор - столбец с записями, а затем${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle Т (\ mathbf {x}) = А \ mathbf {x}}$

для некоторой матрицы , называемой матрицы преобразования из ^{[ править ]} . Обратите внимание, что есть строки и столбцы, а преобразование - от в . Некоторые авторы предпочитают альтернативные выражения матриц преобразования, включающие векторы-строки . ^{[1] [2]}${\ Displaystyle м \ раз п}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Использует [ редактировать ]

Матрицы позволяют отображать произвольные линейные преобразования в согласованном формате, подходящем для вычислений. ^[3] Это также позволяет легко составлять преобразования (путем умножения их матриц).

Не только линейные преобразования могут быть представлены матрицами. Некоторые преобразования, которые являются нелинейными на n-мерном евклидовом пространстве R ^n, могут быть представлены как линейные преобразования на n + 1-мерном пространстве R ^{n +1} . К ним относятся как аффинные преобразования (например, перевод ), так и проективные преобразования . По этой причине матрицы преобразования 4 × 4 широко используются в трехмерной компьютерной графике . Эти n + 1-мерные матрицы преобразования называются, в зависимости от их применения, матрицами аффинных преобразований ,матрицы проективного преобразования или, в более общем смысле, матрицы нелинейного преобразования . Что касается n- мерной матрицы, n + 1-мерная матрица может быть описана как расширенная матрица .

В физических науках активное преобразование - это преобразование, которое фактически изменяет физическое положение системы и имеет смысл даже в отсутствие системы координат, тогда как пассивное преобразование - это изменение координатного описания физической системы ( изменение базиса ). Важно различать активные и пассивные преобразования . По умолчанию, с помощью трансформации , математики , как правило , средних активных преобразований, в то время как физика может означать либо.

Иными словами, пассивное преобразование относится к описанию одного и того же объекта с точки зрения двух разных систем координат.

Нахождение матрицы преобразования [ править ]

Если у кого-то есть линейное преобразование в функциональной форме, легко определить матрицу преобразования A , преобразовав каждый из векторов стандартного базиса с помощью T , а затем вставив результат в столбцы матрицы. Другими словами,${\ Displaystyle Т (х)}$

${\ Displaystyle A = {\ begin {bmatrix} T (\ mathbf {e} _ {1}) & T (\ mathbf {e} _ {2}) & \ cdots & T (\ mathbf {e} _ {n}) \ end {bmatrix}}}$

Например, функция представляет собой линейное преобразование. Применение описанного выше процесса (предположим, что в данном случае n = 2) показывает, что${\ Displaystyle Т (х) = 5х}$

${\ Displaystyle T (\ mathbf {x}) = 5 \ mathbf {x} = 5I \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \ end {bmatrix}} \ mathbf {x}}$

Матричное представление векторов и операторов зависит от выбранного базиса; подобный матрица будет результатом альтернативной основе. Тем не менее, метод поиска компонентов остается прежним.

Чтобы уточнить, вектор может быть представлен в базисных векторах с координатами :${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\displaystyle E={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\sum v_{i}\mathbf {e} _{i}=E[\mathbf {v} ]_{E}}$

Теперь, выразить результат преобразования матрицы А , на , в данном базисе:${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}A(\mathbf {v} )&=A\left(\sum v_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum {v_{i}A(\mathbf {e} _{i})}\\&={\begin{bmatrix}A(\mathbf {e} _{1})&A(\mathbf {e} _{2})&\cdots &A(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}[\mathbf {v} ]_{E}=A\cdot [\mathbf {v} ]_{E}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Эти элементы матрицы А определяются для данного базиса Е , применяя А к каждому , и наблюдая вектор отклика${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &(v_{j}=1)&\cdots &0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle A\mathbf {e} _{j}=a_{1,j}\mathbf {e} _{1}+a_{2,j}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n,j}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}.}$

Это уравнение определяет хотел элементы, , из J -го столбца матрицы A . ^[4]${\displaystyle a_{i,j}}$

Собственный базис и диагональная матрица [ править ]

Тем не менее, существует специальный базис для оператора, в котором компоненты образуют диагональную матрицу и, таким образом, сложность умножения уменьшается до n. Диагональность означает, что все коэффициенты, кроме нуля, оставляют только один член в приведенной выше сумме . Уцелевшие диагональные элементы известны как собственные значения и обозначаются значком в определяющем уравнении, которое сводится к . Полученное уравнение известно как уравнение на собственные значения . ^[5] Собственные векторы и собственные значения выводятся из него с помощью характеристического полинома .${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle a_{i,i}}$${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle a_{i,i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$

С диагонализацией , то часто можно на перевод и из eigenbases.

Примеры в 2-х измерениях [ править ]

Наиболее распространенные геометрические преобразования, сохраняющие фиксированное начало координат, являются линейными, включая вращение, масштабирование, сдвиг, отражение и ортогональную проекцию; если аффинное преобразование не является чистым переносом, оно сохраняет некоторую точку фиксированной, и эту точку можно выбрать в качестве начала координат, чтобы преобразование было линейным. В двух измерениях линейные преобразования могут быть представлены с помощью матрицы преобразования 2 × 2.

Растяжка [ править ]

Растяжение в плоскости xy - это линейное преобразование, которое увеличивает все расстояния в определенном направлении на постоянный коэффициент, но не влияет на расстояния в перпендикулярном направлении. Мы рассматриваем только растяжки по осям x и y. Растяжение по оси x имеет вид x ' = kx ; y ' = y для некоторой положительной постоянной k . (Обратите внимание, что если k > 1, то это действительно "растяжение"; если k <1, технически это "сжатие", но мы по-прежнему называем его растяжением. Кроме того, если k = 1, тогда преобразование является тождеством, т. е. не имеет никакого эффекта.)

Матрица, связанная с растяжением в k раз по оси x, имеет вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Аналогично, растяжение в k раз по оси y имеет вид x ' = x ; y ' = ky , поэтому матрица, связанная с этим преобразованием, имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}}$

Сжатие [ править ]

Если два вышеуказанных отрезка объединены с обратными значениями, тогда матрица преобразования представляет отображение сжатия :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.}$

Квадрат со сторонами, параллельными осям, преобразуется в прямоугольник, имеющий ту же площадь, что и квадрат. Взаимное растяжение и сжатие оставляют площадь неизменной.

Вращение [ править ]

Для поворота на угол θ по часовой стрелке вокруг начала координат функциональная форма - и . В матричной форме это выглядит следующим образом: ^[6]${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Точно так же для вращения против часовой стрелки относительно начала координат функциональная форма и матричная форма:${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Эти формулы предполагают, что ось x направлена ​​вправо, а ось y - вверх.

Стрижка [ править ]

Для картирования сдвига (визуально похожего на наклон) есть две возможности.

Сдвиг, параллельный оси x, имеет и . Записанный в матричной форме, это становится:${\displaystyle x'=x+ky}$${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Сдвиг, параллельный оси y, имеет и , имеющий матричную форму:${\displaystyle x'=x}$${\displaystyle y'=y+kx}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Отражение [ править ]

Для отражения относительно линии, проходящей через начало координат, пусть будет вектор в направлении линии. Затем используйте матрицу преобразования:${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{x}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{y}^{2}-l_{x}^{2}\end{bmatrix}}}$

Ортогональная проекция [ править ]

Чтобы спроецировать вектор ортогонально на линию, проходящую через начало координат, позвольте быть вектором в направлении линии. Затем используйте матрицу преобразования:${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$

Как и в случае с отражениями, ортогональная проекция на линию, не проходящую через начало координат, является аффинным, а не линейным преобразованием.

Параллельные проекции также являются линейными преобразованиями и могут быть представлены просто матрицей. Однако перспективных проекций нет, и для их представления в виде матрицы можно использовать однородные координаты .

Примеры в 3D компьютерной графике [ править ]

Вращение [ править ]

Матрицу для поворота угол & thetas относительно любой оси , определяемой единичным вектором ( л , м , п ) является ^[7]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ll(1-\cos \theta )+\cos \theta &ml(1-\cos \theta )-n\sin \theta &nl(1-\cos \theta )+m\sin \theta \\lm(1-\cos \theta )+n\sin \theta &mm(1-\cos \theta )+\cos \theta &nm(1-\cos \theta )-l\sin \theta \\ln(1-\cos \theta )-m\sin \theta &mn(1-\cos \theta )+l\sin \theta &nn(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Отражение [ править ]

Чтобы отразить точку через плоскость (которая проходит через начало координат), можно использовать , где - единичная матрица 3 × 3, а - трехмерный единичный вектор для вектора нормали к плоскости. Если норма L2 для , и равна единице, матрица преобразования может быть выражена как:${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что это частные случаи отражения Хаусхолдера в двух и трех измерениях. Отражение относительно линии или плоскости, которое не проходит через начало координат, не является линейным преобразованием - это аффинное преобразование - в виде матрицы аффинного преобразования 4 × 4 оно может быть выражено следующим образом (при условии, что нормаль является единичным вектором) :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$

где для некоторой точки на плоскости, или , что эквивалентно, .${\displaystyle d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

Если 4-й компонент вектора равен 0 вместо 1, то отражается только направление вектора, а его длина остается неизменной, как если бы он был отражен через параллельную плоскость, проходящую через начало координат. Это полезное свойство, поскольку оно позволяет преобразовывать как позиционные векторы, так и векторы нормали с одной и той же матрицей. См. Однородные координаты и аффинные преобразования ниже для дальнейшего объяснения.

Составление и инвертирование преобразований [ править ]

Одним из основных мотивов использования матриц для представления линейных преобразований является то, что преобразования могут быть легко составлены и инвертированы.

Композиция осуществляется умножением матриц . Векторы строк и столбцов обрабатываются матрицами, строки слева и столбцы справа. Поскольку текст читается слева направо, при составлении матриц преобразования предпочтительнее использовать векторы-столбцы:

Если A и B являются матрицами двух линейных преобразований, то эффект от первого применения A, а затем B к вектору-столбцу определяется следующим образом:${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {A} \mathbf {x} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} .}$

Другими словами, матрица комбинированного преобразования A, за которой следует B, является просто произведением отдельных матриц.

Когда A является обратимой матрицей, существует матрица A ^-1, которая представляет преобразование, которое «отменяет» A, поскольку его композиция с A является единичной матрицей . В некоторых практических приложениях инверсия может быть вычислена с использованием общих алгоритмов инверсии или путем выполнения обратных операций (которые имеют очевидную геометрическую интерпретацию, например, вращение в противоположном направлении), а затем их составления в обратном порядке. Матрицы отражения представляют собой особый случай, потому что они сами по себе инвертируют и не требуют отдельного расчета.

Другие виды преобразований [ править ]

Аффинные преобразования [ править ]

Чтобы представить аффинные преобразования с помощью матриц, мы можем использовать однородные координаты . Это означает представление 2-вектора ( x , y ) как 3-вектора ( x , y , 1) и аналогично для более высоких измерений. Используя эту систему, перевод можно выразить умножением матриц. Функциональная форма становится:${\displaystyle x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$

Все обычные линейные преобразования входят в набор аффинных преобразований и могут быть описаны как упрощенная форма аффинных преобразований. Следовательно, любое линейное преобразование также может быть представлено общей матрицей преобразования. Последнюю получают путем разложения соответствующую линейную матрицу преобразования одной строки и столбца, заполняя дополнительное пространство с нулями для нижнего правого угла, который должен быть установлен в 1. Например , за исключением, против часовой стрелки матрица поворота сверху становится :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Используя матрицы преобразования, содержащие однородные координаты, переводы становятся линейными и, таким образом, могут легко смешиваться со всеми другими типами преобразований. Причина в том, что реальная плоскость отображается в плоскость w = 1 в реальном проективном пространстве, и поэтому перенос в реальном евклидовом пространстве можно представить как сдвиг в реальном проективном пространстве. Хотя перенос - это нелинейное преобразование в двумерном или трехмерном евклидовом пространстве, описываемое декартовыми координатами (т. Е. Его нельзя комбинировать с другими преобразованиями при сохранении коммутативности и других свойств), оно становится в трехмерном пространстве. D или 4-D проективное пространство, описываемое однородными координатами, простое линейное преобразование (aсдвиг ).

Больше аффинных преобразований можно получить путем композиции двух или более аффинных преобразований. Например, дан перевод T» с вектором поворот R на угол & thetas против часовой стрелки , масштабирования S с факторами и перевод т вектора результата М из T'RST является: ^[8]${\displaystyle (t'_{x},t'_{y}),}$${\displaystyle (s_{x},s_{y})}$${\displaystyle (t_{x},t_{y}),}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

При использовании аффинных преобразований однородный компонент координатного вектора (обычно называемый w ) никогда не будет изменен. Поэтому можно с уверенностью предположить, что он всегда равен 1, и игнорировать его. Однако это неверно при использовании перспективных проекций.

Перспективная проекция [ править ]

Другой тип трансформации, важный в компьютерной 3D-графике , - это перспективная проекция . В то время как параллельные проекции используются для проецирования точек на плоскость изображения по параллельным линиям, перспективная проекция проецирует точки на плоскость изображения по линиям, исходящим из одной точки, называемой центром проекции. Это означает, что объект имеет меньшую проекцию, когда он находится далеко от центра проекции, и большую проекцию, когда он находится ближе (см. Также обратную функцию ).

В простейшей перспективной проекции начало координат используется в качестве центра проекции, а плоскость - в качестве плоскости изображения. Функциональная форма этого преобразования затем ; . Мы можем выразить это в однородных координатах как:${\displaystyle z=1}$${\displaystyle x'=x/z}$${\displaystyle y'=y/z}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$

После выполнения матричного умножения однородный компонент будет равен значению, а остальные три не изменятся. Следовательно, чтобы отобразить реальную плоскость, мы должны выполнить однородное деление или перспективное деление , разделив каждый компонент на :${\displaystyle w_{c}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w_{c}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}}$

Более сложные перспективные проекции могут быть составлены путем комбинирования этой проекции с поворотами, масштабами, перемещениями и сдвигами для перемещения плоскости изображения и центра проекции в нужное место.

См. Также [ править ]

• 3D проекция
• Смена основы
• Исправление изображения
• Жесткое преобразование
• Преобразование (функция)
• Геометрия трансформации

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Страница матрицы Практические примеры в POV-Ray
• Справочная страница - Вращение осей
• Калькулятор линейного преобразования
• Апплет преобразования - создание матриц из 2D-преобразований и наоборот.
• Преобразование координат при вращении в 2D
• Excel Fun - создание трехмерной графики из электронной таблицы