Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья о композиции функций в математике. О композиции функций в информатике см. Композиция функций (информатика) .
"оператор кольца" перенаправляется сюда. Не следует путать с звонком оператора или поддержкой оператора .

Функция
х ↦ е  ( х )
Примеры по домену и codomain
 Классы / свойства 
  Конструкции
  Обобщения  

В математике , композиция функций является операцией , которая принимает два функции е и г и производит функцию час такое , что ч ( х ) = г ( е ( х )) . В этой операции, функция г будет применяться к результату применения функции п к й . То есть, функции F  : X → Y и G  : Y → Z имеют в составедля получения функции , которая отображает й в X к г ( п ( х )) в Z .

Интуитивно, если z является функцией y , а y является функцией x , то z является функцией x . Полученный композит функция обозначается г  ∘  F  : X → Z , определяемое ( г  ∘  е  ) ( х ) = г ( е ( х )) для всех х в  X . [nb 1] Обозначение g  ∘  f читается как "g, круг f »,« g вокруг f »,« g о f »,« g, составленный с f »,« g после f »,« g после f »,« g of f »,« f, затем g », или« g на f ". Интуитивно, составление функций - это процесс связывания, в котором выход функции f подает вход функции g .

Композиция функций - это частный случай композиции отношений , иногда также обозначаемой . [1] В результате все свойства композиции отношений верны для композиции функций, [2] хотя композиция функций имеет некоторые дополнительные свойства.

Составление функций отличается от умножения функций и имеет совершенно другие свойства; [3], в частности, композиция функций не коммутативна .

Примеры [ править ]

Конкретный пример композиции двух функций.
  • Композиция функций на конечном множестве: если f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} и g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , тогда g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , как показано на фигура.
  • Композиция функций на бесконечном множестве : если f : ℝ → ℝ (где ℝ - множество всех действительных чисел ) задается формулой f ( x ) = 2 x + 4, а g : ℝ → ℝ задается g ( x ) = x 3 , тогда:
( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x )) = f ( x 3 ) = 2 x 3 + 4 , и
( г ∘ е ) ( х ) знак равно г ( е ( х )) = г (2 х + 4) = (2 х + 4) 3 .
  • Если высота самолета в момент времени  t равна a ( t ) , а давление воздуха на высоте x равно p ( x ) , то ( p ∘ a ) ( t ) - это давление вокруг самолета в момент времени  t .

Свойства [ править ]

Композиция функций всегда ассоциативна - свойство, унаследованное от композиции отношений . [2] То есть, если f , g и h составные, то f ∘ ( g  ∘  h ) = ( f  ∘  g ) ∘ h . [4] Поскольку круглые скобки не меняют результат, они обычно опускаются.

В строгом смысле композиция g  ∘  f имеет смысл только в том случае, если область области f равна области определения g ; в более широком смысле достаточно, чтобы первое было подмножеством второго. [nb 2] Более того, часто удобно неявно ограничить область определения f , так что f производит только значения в области g . Например, композиция g  ∘  f функций f  : ℝ → (−∞, + 9], определенная формулой f ( x ) = 9 - x 2и g  : [0, + ∞) → ℝ, определенный с помощью, может быть определен на интервале [−3, + 3] .

Композиции двух вещественных функций, модуля и кубической функции в разных порядках показывают некоммутативность композиции.

Говорят, что функции g и f коммутируют друг с другом, если g  ∘  f = f  ∘  g . Коммутативность - это особое свойство, достигаемое только определенными функциями и часто при особых обстоятельствах. Например, | х | + 3 = | х + 3 | только когда x ≥ 0 . На картинке показан еще один пример.

Композиция взаимно-однозначных функций всегда однозначна. Точно так же композиция on- функций всегда находится на. Отсюда следует, что композиция двух биекций также является биекцией. Обратная функция композиции (предполагается , обратит) обладает тем свойством , что ( е  ∘  г ) -1 = г -1 ∘ ф -1 . [5]

Производные композиций, включающих дифференцируемые функции, могут быть найдены с помощью цепного правила . Высшие производные таких функций даются формулой Фаа ди Бруно . [4]

Композиционные моноиды [ править ]

Основная статья: Моноид трансформации

Предположим, что у одной есть две (или более) функции f : X → X , g : X → X, имеющие одинаковую область определения и область значений; их часто называют преобразованиями . Тогда можно составить цепочку преобразований, составленных вместе, например, f ∘ f ∘ g ∘ f . Такие цепи имеют алгебраическую структуру из в моноиде , называется преобразование моноид или (гораздо реже) а состав моноидного. В общем случае моноиды преобразования могут иметь очень сложную структуру. Одним из ярких примеров является кривая де Рама . Множество всех функций F : X → X называется полугруппа полного преобразования [6] или симметричная полугруппа [7] на  X . (Фактически можно определить две полугруппы в зависимости от того, как определить полугрупповую операцию как левую или правую композицию функций. [8] )

Сходство , которое преобразует треугольник ОДВ в треугольнике ATB является композиция гомотетии H   и вращения  R , из которых общий центр является  S.  Например, изображение из  А  под вращения  R является  U , которое может быть записано  R ( ) = У.  и  H ( U ) = B  означает , что отображение  H преобразования U   в B.  Таким образом  ,Н ( Р ()) = ( Н ∘ R ) () = B .

Если преобразования биективны (и, следовательно, обратимы), то множество всех возможных комбинаций этих функций образует группу преобразований ; и один говорит, что группа порождается этими функциями. Фундаментальный результат теории групп, теорема Кэли , по сути, утверждает, что любая группа на самом деле является просто подгруппой группы перестановок (с точностью до изоморфизма ). [9]

Множество всех биективных функций f : X → X (называемых перестановками ) образует группу по отношению к композиции функций. Это симметричная группа , также иногда называемая композиционной группой .

В симметрической полугруппе (всех преобразований) можно также найти более слабое, неединственное понятие обратного (называемого псевдообратным), потому что симметрическая полугруппа является регулярной полугруппой . [10]

Функциональные полномочия [ править ]

Основная статья: Итерированная функция

Если Y ⊆ X , то f : X → Y может составить само с собой; это иногда обозначается как f 2 . То есть:

( е ∘ е ) (х) = е ( е ( х )) = е  2 ( х )
( е ∘ е ∘ е ) (x) = f ( f ( f ( x ))) = f  3 ( x )
( е ∘ е ∘ f ∘ f ) (x) = f ( f ( f ( f ( x )))) = f  4 ( x )

В более общем смысле, для любого натурального числа n ≥ 2 , n- я функциональная мощность может быть определена индуктивно с помощью f  n = f ∘ f  n −1 = f  n −1 ∘ f , обозначение, введенное Гансом Генрихом Бюрманном [ цитата необходима ] [ 11] [12] и Джон Фредерик Уильям Гершель . [13] [11] [14] [12] Повторная композиция такой функции с самой собой называется повторной функцией..

  • По соглашению, е  0 определяются как тождественное отображение на й  «ы домена, ид X .
  • Если даже Y = X и f : X → X допускает обратную функцию f  −1 , отрицательные функциональные мощности f  - n определены для n > 0 как инвертированная мощность обратной функции: f  - n = ( f  −1 ) n . [13] [11] [12]

Примечание: если f принимает свои значения в кольце (в частности, для действительного или комплексного значения f  ), существует риск путаницы, поскольку f  n также может означать n- кратное произведение  f , например f  2 ( x ) = е ( х ) · е ( х ) . [12] Для тригонометрических функций обычно подразумевается последнее, по крайней мере, для положительных показателей. [12] Например, в тригонометрии этот верхний индекс обозначает стандартное возведение в степень.при использовании с тригонометрическими функциями : sin 2 ( x ) = sin ( x ) · sin ( x ) . Тем не менее, для отрицательных показателей степени (особенно -1), это, тем не менее, обычно относится к обратной функции, например, tan −1 = arctan ≠ 1 / tan .

В некоторых случаях, когда для данной функции f уравнение g ∘ g = f имеет единственное решение g , эту функцию можно определить как функциональный квадратный корень из f , а затем записать как g = f  1/2 .

В более общем смысле, когда g n = f имеет единственное решение для некоторого натурального числа n > 0 , тогда f  m / n можно определить как g m .

При дополнительных ограничениях эту идею можно обобщить так, чтобы счетчик итераций стал непрерывным параметром; в этом случае такая система называется потоком , заданным через решения уравнения Шредера . Итерированные функции и потоки естественным образом возникают при изучении фракталов и динамических систем .

Чтобы избежать двусмысленности, некоторые математики [ необходима цитата ] предпочитают использовать ∘ для обозначения композиционного значения, записывая f ∘ n ( x ) для n -й итерации функции f ( x ) , как, например, в f ∘3 ( x ) означает f ( f ( f ( x ))) . С той же целью f [ n ] ( x ) использовал Бенджамин Пирс.[15] [12], тогда как Альфред Прингсхайм и Жюль Мольк предложиливместо этого n f ( x ) . [16] [12] [nb 3]

Альтернативные обозначения [ править ]

Многие математики, особенно в теории групп , опускать символ композиции, написание гса для г ∘ е . [17]

В середине 20 века некоторые математики решили, что написание « g ∘ f  » для обозначения «сначала примените f , затем примените g » слишком запутанно, и решили изменить обозначения. Они пишут « xf  » вместо « f ( x ) » и « ( xf ) g » для « g ( f ( x )) ». [18] Это может быть более естественным , и , кажется , проще , чем писать функции на левом в некоторых областях - в линейной алгебре , например,когда x - вектор-строкаи f и g обозначают матрицы, а композиция получается путем умножения матриц . Это альтернативное обозначение называется постфиксным обозначением . Порядок важен, потому что композиция функций не обязательно коммутативна (например, матричное умножение). Последовательные преобразования, применяемые и составляющие справа, согласуются с последовательностью чтения слева направо.

Математики, использующие постфиксную нотацию, могут писать « fg », что означает сначала применить f, а затем применить g , в соответствии с порядком, в котором символы встречаются в постфиксной записи, что делает запись « fg » неоднозначной. Специалисты по информатике могут написать для этого « f  ; g » [19], тем самым устраняя неоднозначность порядка композиции. Чтобы отличить левый оператор композиции от точки с запятой в тексте, в нотации Z символ ⨾ используется для левой композиции отношения . [20] Поскольку все функции являются бинарными отношениями, правильно использовать точку с запятой [жир] и для композиции функций ( подробнее об этой нотации см. в статье о композиции отношений ).

Оператор композиции [ править ]

Основная статья: Оператор композиции

Для данной функции  г , то композиция оператора С г определяется как оператор , который отображает функции на функции , как

Операторы композиции изучаются в области теории операторов .

На языках программирования [ править ]

Основная статья: Функциональная композиция (информатика)

Композиция функций появляется в той или иной форме во многих языках программирования .

Многомерные функции [ править ]

Частичная композиция возможна для многомерных функций . Функция, возникающая, когда некоторый аргумент x i функции f заменяется функцией g , называется композицией f и g в некоторых контекстах компьютерной инженерии и обозначается f | х я = г

Когда g - простая константа b , композиция вырождается в (частичную) оценку, результат которой также известен как ограничение или кофактор . [21]

В общем, композиция многомерных функций может включать несколько других функций в качестве аргументов, как в определении примитивной рекурсивной функции . Для f , n -арной функции и n m -арных функций g 1 , ..., g n , композиция f с g 1 , ..., g n является m -арной функцией

.

Иногда это называют обобщенной комбинацией f с g 1 , ..., g n . [22] Частичная композиция только в одном аргументе, упомянутом ранее, может быть реализована из этой более общей схемы, установив все функции аргумента, кроме одной, которая должна быть подходящим образом выбранными функциями проекции . Здесь г 1 , ..., г п можно рассматривать как единый вектор / кортеж значной функции в этой обобщенной схеме, и в этом случае это именно стандартное определение функции композиции. [23]

Набор финитарных операций на некотором базовом множестве X называется клоном, если он содержит все проекции и замкнут относительно обобщенной композиции. Обратите внимание , что клон обычно содержит операции различных арностей . [22] Понятие коммутации также находит интересное обобщение в многомерном случае; Говорят, что функция f арности n коммутирует с функцией g арности m, если f является гомоморфизмом, сохраняющим g , и наоборот, то есть: [22]

.

Унарная операция всегда коммутирует сама с собой, но это не обязательно так для двоичной (или более высокой) операции. Бинарная операция (или операция с более высокой степенью арности), которая коммутирует сама с собой, называется медиальной или энтропийной . [22]

Обобщения [ править ]

Композицию можно обобщить на произвольные бинарные отношения . Если R ⊆ X × Y и S ⊆ Y × Z две бинарные отношения, то их состав R ∘ S есть отношение определяется как {( х , г ) ∈ X × Z  : ∃ у ∈ Y . ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ S }. Рассматривая функцию как частный случай бинарного отношения (а именно функциональных отношений ), композиция функций удовлетворяет определению композиции отношения. Маленький кружок R ∘ S использовался для инфиксной записи композиции отношений , а также функций. Однако при использовании для представления композиции функций последовательность текста инвертируется, чтобы соответствующим образом проиллюстрировать различные последовательности операций.

Аналогичным образом композиция определяется для частичных функций, и у теоремы Кэли есть аналог, называемый теоремой Вагнера – Престона . [24]

Категория множеств с функциями как морфизмов является Прототипом категории . Аксиомы категории на самом деле основаны на свойствах (а также определении) композиции функций. [25] Структуры, задаваемые композицией, аксиоматизированы и обобщены в теории категорий с концепцией морфизма как теоретико-категориальной замены функций. Обратный порядок композиции в формуле ( f  ∘  g ) −1 = ( g −1 ∘ f  −1 ) применяется для композиции отношенийиспользуя обратные соотношения , и, следовательно, в теории групп . Эти структуры образуют категории кинжалов .

Типография [ править ]

Символ композиции ∘ кодируется как U + 2218 ∘ RING OPERATOR (HTML  ∘ · ∘, ∘ ); см. статью о символах степени, чтобы узнать о похожих символах Unicode. В TeX это написано \circ.

См. Также [ править ]

  • Паутинный сюжет - графический прием функциональной композиции
  • Комбинаторная логика
  • Кольцо композиции , формальная аксиоматизация операции композиции
  • Поток (математика)
  • Функциональная композиция (информатика)
  • Функция случайной величины , распределение функции случайной величины
  • Функциональная декомпозиция
  • Функциональный квадратный корень
  • Функция высшего порядка
  • Бесконечные композиции аналитических функций
  • Итерированная функция
  • Лямбда-исчисление

Примечания [ править ]

  1. ^ Некоторые авторывместо этогоиспользуют f  ∘  g  : X → Z , определяемую формулой ( f  ∘  g  ) ( x ) = g ( f ( x )) . Это обычное дело, когда используется постфиксная нотация , особенно если функции представлены показателями, как, например, при изучении групповых действий . См. Dixon, John D .; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок . Springer. п. 5 . ISBN 0-387-94599-7.
  2. ^ Строгое значение используется, например , в теории категорий , где отношение подмножества явно моделируется функцией включения .
  3. ^ Нотацию n f ( x ) Альфреда Прингсхайма и Жюля Молка (1907)для обозначения функциональных композиций не следует путать с обозначением n x Рудольфа фон Биттера Рукера (1982), введенным Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луи Гудстайн (1947) для тетрации , или собозначением корней n x перед индексом Дэвида Паттерсона Эллермана (1995).

Ссылки [ править ]

  1. ^ «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 28 августа 2020 .
  2. ^ a b Веллеман, Дэниел Дж. (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета . п. 232. ISBN. 978-1-139-45097-3.
  3. ^ «3.4: Состав функций» . Математика LibreTexts . 2020-01-16 . Проверено 28 августа 2020 .
  4. ^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Композиция" . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 .
  5. ^ Роджерс, Нэнси (2000). Учимся рассуждать: введение в логику, множества и отношения . Джон Вили и сыновья . С. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9.
  6. ^ Холлингс, Кристофер (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество . п. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.
  7. ^ Грийе, Пьер А. (1995). Полугруппы: Введение в теорию структуры . CRC Press . п. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
  8. ^ Dömösi, Пал; Неханив, Кристофер Л. (2005). Алгебраическая теория сетей автоматов: Введение . СИАМ. п. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
  9. ^ Картер, Натан (2009-04-09). Визуальная теория групп . MAA. п. 95. ISBN 978-0-88385-757-1.
  10. ^ Ганюшкин, Олександр; Мазорчук, Владимир (2008). Классические полугруппы конечных преобразований: Введение . Springer Science & Business Media . п. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.
  11. ^ a b c Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода различий» . Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Напечатано Дж. Смитом, продается J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано 4 августа 2020 года . Проверено 4 августа 2020 . [1] (NB. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более раннюю работу Ганса Генриха Бюрмана .)
  12. ^ a b c d e f g Каджори, Флориан (1952 г.) [март 1929 г.]. «§472. Степень логарифма / §473. Итерированные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Полномочия тригонометрических функций». История математических обозначений . 2 (3-е исправленное издание 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания Open Court . С. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Проверено 18 января 2016 . […] §473. Итерированные логарифмы […] Здесь мы отмечаем символизм, использованный Прингсхаймом и Мольком в их совместной статье в Энциклопедии : « 2 log b  a = log b (log b  a ),…, k +1 log b  a = log b ( k log b  а ) ". [а] […] §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций, sin −1  x , tan −1 x и т. д., была опубликована им в Philosophical Transactions of London за 1813 год. Он говорит ( стр. 10 ): «Это обозначение cos. −1  e не следует понимать как обозначающее 1 / cos.  e , но то, что обычно пишут так, arc (cos. = e ) ». Он допускает, что некоторые авторы используют cos. m  A для (cos.  A ) m , но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d 2  x , Δ 3  x , Σ 2  x означают dd  x , ΔΔΔ  x , ΣΣ  x, мы должны написать грех. 2  х за грех. грех.  х , журнал. 3  х для бревна. бревно. бревно.  х . Подобно тому, как мы пишем d - n  V = ∫ n  V, мы можем писать аналогично sin. −1  x = дуга (sin. = X ), лог. −1  х . = С х . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f n ( x ), f - n ( x ), sin. −1  x и т. Д. ", Как он тогда предположил впервые. Работа немецкого аналитика,Тем не менее, Бурманн в течение этих нескольких месяцев пришел к своему знанию, в котором то же самое объясняется значительно раньше. Он [Бурманн], однако, похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan −1 и т. Д., А также, похоже, он совсем не осведомлен об обратном исчислении функций, к которым она приводит ". Гершель добавляет: «Симметрия этой нотации и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций, кажется, санкционируют ее универсальное принятие» [b] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции . - […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения у Бенджамина Пирса.книги, чтобы снять главное возражение против них; Пирс писал: «cos [−1]  x », «log [−1]  x ». [c] […] §537. Степени тригонометрических функций. - Для обозначения, скажем, квадрата sin x использовались три основных обозначения  , а именно (sin  x ) 2 , sin  x 2 , sin 2  x . Преобладающее обозначение в настоящее время - sin 2  x , хотя первое, вероятно, будет неправильно истолковано. В случае греха 2  x напрашиваются две интерпретации; во-первых, sin  x · sin  x; во-вторых, [d] sin (sin  x ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации намного меньше, чем в случае log 2  x , где log  x · log  x и log (log  x ) часто встречаются при анализе. […] Обозначение sin n  x для (sin  x ) n широко использовалось и сейчас является преобладающим. […] (xviii + 367 + 1 страница, включая 1 страницу дополнений) (NB. ISBN и ссылка для перепечатки 2-го издания компанией Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
  13. ^ a b Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «Об одном замечательном применении теоремы Котеса» . Философские труды Лондонского королевского общества . Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано Дж. И У. Николь, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. DOI : 10,1098 / rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .  
  14. ^ Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). IV . п. 229.
  15. ^ Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Я (новое изд.). Бостон, США. п. 203.
  16. ^ Pringsheim, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых математических наук и аппликаций (на французском языке). Я . п. 195. Часть I.
  17. ^ Иванов, Олег А. (2009-01-01). Оживление математики: Руководство для учителей и студентов . Американское математическое общество . С. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.
  18. ^ Gallier, Жан (2011). Дискретная математика . Springer. п. 118. ISBN 978-1-4419-8047-2.
  19. ^ Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для компьютерных наук (PDF) . п. 6. Архивировано из оригинального (PDF) 04.03.2016 . Проверено 23 августа 2014 . (NB. Это обновленная и бесплатная версия книги, первоначально опубликованной Prentice Hall в 1990 году под ISBN 978-0-13-120486-7 .) 
  20. ^ ISO / IEC 13568: 2002 (E), стр. 23
  21. Перейти ↑ Bryant, RE (август 1986). «Алгоритмы логической минимизации для синтеза СБИС» (PDF) . Транзакции IEEE на компьютерах . С-35 (8): 677–691. DOI : 10.1109 / tc.1986.1676819 . S2CID 10385726 .  
  22. ^ а б в г Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . CRC Press . стр.  79 -80, 90 -91. ISBN 978-1-4398-5129-6.
  23. ^ Турлакис, Джордж (2012). Теория вычислений . Джон Вили и сыновья . п. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.
  24. Перейти ↑ Lipscomb, S. (1997). Симметричные обратные полугруппы . Математические обзоры и монографии AMS. п. XV. ISBN 0-8218-0627-0.
  25. ^ Хилтон, Питер; Ву, Ель-Чианг (1989). Курс современной алгебры . Джон Вили и сыновья . п. 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

Внешние ссылки [ править ]

  • "Составная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • « Композиция функций » Брюса Этвуда, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007 г.