Векторы строк и столбцов

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники . Поиск источников:  «Строки и векторы столбцов»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2021 г. )

В линейной алгебре , вектор - столбец представляет собой столбец записей, например,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Точно так же вектор-строка - это строка записей ^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}\,.}$

Повсюду полужирный шрифт используется как для векторов строк, так и для векторов столбцов. Транспонирования (обозначено Т) из вектора - строки есть вектор - столбец

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}\,,}$

а транспонирование вектора-столбца - это вектор-строка

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}\,.}$

Набор всех векторов-строк с n элементами образует n -мерное векторное пространство ; аналогично, набор всех векторов-столбцов с m элементами образует m -мерное векторное пространство.

Пространство векторов-строк с n элементами можно рассматривать как двойственное пространство к пространству векторов-столбцов с n элементами, поскольку любой линейный функционал на пространстве векторов-столбцов можно представить как левое умножение уникального вектора-строки.

Обозначение [ править ]

Чтобы упростить запись векторов-столбцов в строке с другим текстом, иногда они записываются как векторы-строки с примененной к ним операцией транспонирования.

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$

или же

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$

Некоторые авторы также используют соглашение о записи векторов-столбцов и векторов-строк в виде строк, но разделяя элементы вектора-строки запятыми и элементы вектора-столбца точкой с запятой (см. Альтернативное обозначение 2 в таблице ниже). ^{[ необходима цитата ]}

	Вектор строки	Столбец вектор
Стандартная матричная запись (пробелы в массивах, без запятых, транспонированные знаки)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
Альтернативное обозначение 1 (запятые, знаки транспонирования)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
Альтернативное обозначение 2 (запятые и точки с запятой, без знаков транспонирования)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}}$

Операции [ править ]

Умножение матриц включает в себя действие умножения каждого вектора-строки одной матрицы на каждый вектор-столбец другой матрицы.

Скалярное произведение двух векторов колонка , и б эквивалентна матричного произведения транспонированного с Ь ,

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$

По симметрии скалярного произведения скалярное произведение двух векторов-столбцов a и b также эквивалентно матричному произведению транспонирования b на a ,

${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$

Матричное произведение столбца и вектора-строки дает внешнее произведение двух векторов a и b , пример более общего тензорного произведения . Матричное произведение векторного представления столбца a и представления вектора-строки b дает компоненты их диадического произведения,

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$

который является транспонированием матричного произведения векторного представления столбца элемента b и представления вектора-строки элемента a ,

${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$

Матричные преобразования [ править ]

П × п матрица М может представлять собой линейную карту и действовать на строк и столбцов векторов , как линейное отображение в матрице преобразования . Для вектора-строки v произведение vM является другим вектором-строкой p :

${\displaystyle vM=p\,.}$

Другая матрица Q размера n × n может действовать на p ,

${\displaystyle pQ=t\,.}$

Тогда можно записать t = p Q = v MQ , так что преобразование матричного произведения MQ отображает v прямо в t . Продолжая с векторами-строками, преобразования матриц с дальнейшим изменением конфигурации n -пространства могут быть применены справа от предыдущих выходных данных.

Когда вектор-столбец преобразуется в другой вектор-столбец под действием матрицы размера n × n , операция выполняется слева,

${\displaystyle p^{\mathrm {T} }=Mv^{\mathrm {T} }\,,\quad t^{\mathrm {T} }=Qp^{\mathrm {T} }}$,

что приводит к алгебраическому выражению QM v ^T для скомпонованного выхода из входа v ^T. При таком использовании вектора-столбца для ввода в преобразование матрицы матричные преобразования монтируются вверх слева.

См. Также [ править ]

• Ковариация и контравариантность векторов
• Обозначение индекса
• Вектор из них
• Одноразовый вектор
• Стандартный единичный вектор
• Единичный вектор

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Акслер, Шелдон Джей (1997), Linear Algebra Done Done Right (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, Архивируются с оригинала на 1 марта 2001
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-99845-3
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл