Внешний продукт

В линейной алгебре , то внешнее произведение двух координатных векторов является матрицей . Если два вектора имеют размерности n и m , то их внешнее произведение представляет собой матрицу размера n × m . В более общем случае, учитывая два тензора (многомерные массивы чисел), их внешний продукт является тензором. Внешнее произведение тензоров также называется их тензорным произведением и может использоваться для определения тензорной алгебры .

Внешний вид изделия контрастирует с

• Скалярное произведение , которое принимает пару координат векторов в качестве входных данных и производит скаляр
• Произведение Кронекера , которое принимает пару матриц в качестве входных данных и производит блочную матрицу
• Стандартное матричное умножение

Определение [ править ]

Учитывая два вектора

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {u} & = \ left (u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {m} \ right) \\\ mathbf {v} & = \ left (v_ {1}, v_ {2}, \ dots, v_ {n} \ right) \ end {выравнивается}}}$

их внешний продукт, обозначенный u ⊗ v , ^[1] , определяется как матрица A размера m × n, полученная умножением каждого элемента u на каждый элемент v : ^[2]

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}$

Или в индексной записи:

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}}$

Внешнее произведение u ⊗ v эквивалентно матричному умножению uv ^T при условии, что u представлено как вектор-столбец m × 1, а v - как вектор-столбец n × 1 (что делает v ^T вектор-строкой). ^{[3] [4]} Например, если m = 4 и n = 3 , то

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}$^[5]

Для комплексных векторов, часто бывает полезно взять сопряженное транспонирование из V , обозначаемый или :${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}$${\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}$ 

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}$.

Контраст с евклидовым внутренним продуктом [ править ]

Если m = n , то можно взять матричное произведение другим способом, получив скаляр (или матрицу 1 × 1 ):

${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }$

который является стандартным скалярным произведением для векторных пространств Евклида , ^[4] более известной как скалярное произведение . Внутренний продукт - это след внешнего продукта. ^[6] В отличие от внутреннего продукта , внешний продукт не коммутативен.

Умножение вектора на матрицу можно записать в терминах внутреннего продукта, используя соотношение .${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$${\displaystyle \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle }$

Внешнее произведение тензоров [ править ]

Для двух тензоров u , v с размерностями и их внешнее произведение представляет собой тензор с размерностями и элементами${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}$${\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}$

Например, если A имеет порядок 3 с размерами (3, 5, 7), а B имеет порядок 2 с размерами (10, 100) , то их внешнее изделие C имеет порядок 5 с размерами (3, 5, 7, 10, 100) . Если A имеет компонент A _{[2, 2, 4]} = 11, а B имеет компонент B _{[8, 88]} = 13 , то компонент C, образованный внешним продуктом, равен C _{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143 .

Связь с продуктом Кронекера [ править ]

Внешний продукт и продукт Кронекера тесно связаны; фактически для обозначения обеих операций обычно используется один и тот же символ.

Если и , имеем:${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

В случае векторов-столбцов произведение Кронекера можно рассматривать как форму векторизации (или сглаживания) внешнего продукта. В частности, для двух векторов-столбцов и мы можем написать:${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )}$

Обратите внимание, что порядок векторов в правой части уравнения обратный.

Еще одна похожая идентичность, которая еще больше подчеркивает сходство между операциями, -

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\mathrm {outer} }\mathbf {v} }$

где порядок векторов не нужно менять. Среднее выражение использует умножение матриц, где векторы рассматриваются как матрицы столбцов / строк.

Свойства [ править ]

Внешнее произведение векторов удовлетворяет следующим свойствам:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}$

Внешнее произведение тензоров удовлетворяет дополнительному свойству ассоциативности :

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )}$

Рейтинг внешнего продукта [ править ]

Если u и v оба отличны от нуля, то матрица внешнего произведения uv ^T всегда имеет ранг матрицы 1. В самом деле, все столбцы внешнего произведения пропорциональны первому столбцу. Таким образом, все они линейно зависят от этого столбца, следовательно, матрица имеет ранг один.

(«Матричный ранг» не следует путать с « тензорным порядком » или «тензорной степенью», которую иногда называют «рангом».)

Определение (аннотация) [ править ]

Пусть V и W два векторных пространства . Внешний продукт и - это элемент .${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle v\otimes w\in V\otimes W}$

Если V представляет собой внутреннее пространство продукта , то можно определить внешний продукт в виде линейного отображения V → W . В этом случае, линейное отображение является элементом сопряженного пространства в V . Тогда внешний продукт V → W имеет вид${\displaystyle x\mapsto \langle v,x\rangle }$

${\displaystyle (v\otimes w)(x)=\langle v,x\rangle w}$

Это показывает, почему в сложном случае обычно используется сопряженное транспонирование v .

На языках программирования [ править ]

В некоторых языках программирования для заданной функции с двумя аргументами f(или бинарного оператора) внешнее произведение fдвух одномерных массивов Aи Bпредставляет собой двумерный массив, Cтакой что C[i, j] = f(A[i], B[j]). Это синтаксически представлено различными способами: в APL как инфиксный бинарный оператор ; в J как постфиксное наречие ; в R как функция или особый ; ^[7] в системе Mathematica , as . В MATLAB функция используется для этого продукта. Они часто обобщаются на многомерные аргументы и более чем на два аргумента.∘.ff/outer(A, B, f)%o%Outer[f, A, B]kron(A, B)

В библиотеке Python NumPy внешний продукт можно вычислить с помощью function np.outer().^[8] Напротив, np.kronполучается плоский массив. Внешний продукт многомерных массивов может быть вычислен с помощью np.multiply.outer.

Приложения [ править ]

Поскольку внешний продукт тесно связан с продуктом Kronecker , в некоторых приложениях продукта Kronecker используются внешние продукты. Эти приложения находятся в квантовой теории, обработке сигналов и сжатии изображений . ^[9]

Спиноры [ править ]

Предположим, что s, t, w, z ∈ ℂ, так что ( s, t ) и ( w, z ) лежат в ℂ ² . Тогда внешнее произведение этих комплексных 2-векторов является элементом M (2, ℂ), комплексных матриц 2 × 2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.}$Определитель этой матрицы swtz - sztw = 0 из-за свойство коммутативности в ℂ.

В теории спиноров в трех измерениях эти матрицы связаны с изотропными векторами из-за этого нулевого свойства. Эли Картан описал эту конструкцию в 1937 г. ^[10], но она была введена Вольфгангом Паули в 1927 г. ^[11], так что M (2, ℂ) стало называться алгеброй Паули .

Концепции [ править ]

Блочная форма внешних продуктов полезна при классификации. Анализ концепции - это исследование, которое зависит от определенных внешних продуктов:

Когда в векторе есть только нули и единицы в качестве элементов, он называется логическим вектором , частным случаем логической матрицы . Логическая операция и заменяет умножение. Внешнее произведение двух логических векторов ( u _i ) и ( v _j ) задается логической матрицей . Этот тип матрицы используется при изучении бинарных отношений и называется прямоугольным отношением или кросс-вектором . ^[12]${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(u_{i}\land v_{j}\right)}$

См. Также [ править ]

• Диадики
• Преобразование домохозяина
• Норма (математика)
• Матрица разброса
• Исчисление Риччи

Продукты [ править ]

• Декартово произведение
• Перекрестный продукт
• Внешний продукт
• Произведение Адамара

Двойственность [ править ]

• Комплексное сопряжение
• Конъюгат транспонировать
• Транспонировать
• Обозначение бюстгальтера для внешнего продукта

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Карлен, Эрик; Кансикао Карвалью, Мария (2006). «Внешние продукты и ортогональные проекции» . Линейная алгебра: с самого начала . Макмиллан. С. 217–218.