Координатный вектор

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Координатный вектор»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В линейной алгебре , координатный вектор является представлением вектора в виде упорядоченного списка чисел , который описывает вектор в терминах конкретной упорядоченной основы . ^[1] Координаты всегда указываются относительно упорядоченного базиса. Основания и связанное с ними представление координат пусть один понимать , векторные пространства и линейные преобразования конкретно , как вектор - столбцов , векторы - строк и матрицы ; следовательно, они полезны в расчетах.

Идея координатного вектора может также использоваться для бесконечномерных векторных пространств, как описано ниже.

Определение [ править ]

Пусть V является векторное пространство по размерности п над полем Р и пусть

${\ displaystyle B = \ {b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} \}}$

быть упорядоченным базисом для V . Тогда для каждого существует уникальная линейная комбинация базисных векторов, равная v :${\ displaystyle v \ in V}$

${\ displaystyle v = \ alpha _ {1} b_ {1} + \ alpha _ {2} b_ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n} b_ {n}.}$

Координат вектора из об относительно B представляет собой последовательность из координат

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}$

Это также называется представлением v относительно B или B-представлением v . Α-s называются координатами v . Здесь важен порядок базиса, поскольку он определяет порядок, в котором коэффициенты перечислены в координатном векторе.

Координатные векторы конечномерных векторных пространств могут быть представлены матрицами как векторы- столбцы или векторы-строки . В приведенных выше обозначениях можно написать

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

или же

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}.}$

Стандартное представление [ править ]

Мы можем механизировать выше преобразование путем определения функции , называется стандартное представление V относительно B , который принимает каждый вектор его координатное представление: . Тогда происходит линейное преобразование из V в F ⁿ . На самом деле это изоморфизм , а его обратное - просто${\displaystyle \phi _{B}}$${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}$

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

В качестве альтернативы, мы могли бы с самого начала определить функцию, указанную выше, понять, что это изоморфизм, и определить как обратную.${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$${\displaystyle \phi _{B}}$

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

Пусть P3 - пространство всех алгебраических многочленов степени не выше 3 (т. Е. Старший показатель x может быть равен 3). Это пространство линейно и натянуто на следующие многочлены:

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$

соответствие

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

то координатный вектор, соответствующий многочлену

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

является

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

В соответствии с этим представлением оператор дифференцирования d / dx, который мы отметим D, будет представлен следующей матрицей :

${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

Используя этот метод, легко исследовать свойства оператора, такие как обратимость , эрмитово или антиэрмитово или ни одно из них , спектр и собственные значения и многое другое.

Пример 2 [ править ]

В матрицы Паули , которые представляют собой спиновый оператор при преобразовании спиновых собственных состояний в вектор координат.

Базовая матрица преобразования [ править ]

Пусть В и С две различные основы векторного пространства V , и давайте маркировать в матрице , которая имеет столбцы , состоящие из C представлении базисных векторов б ₁ , б ₂ , ..., б _н : ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

Эта матрица называется матрицей трансформации основания из B в C . Это можно рассматривать как автоморфизм над V . Любой вектор v, представленный в B, может быть преобразован в представление в C следующим образом:

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

Если E является стандартным базисом , обозначение можно упростить, опустив его, с представлением преобразования из B в E :

${\displaystyle v=\lbrack M\rbrack ^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.\,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\lbrack v\rbrack _{E},\\\lbrack M\rbrack ^{B}&=\lbrack M\rbrack _{E}^{B}.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что при преобразовании базиса верхний индекс матрицы преобразования M и нижний индекс вектора координат v совпадают и, по-видимому, отменяются, оставив оставшийся нижний индекс. Хотя это может служить вспомогательным средством памяти, важно отметить, что такого отмена или аналогичных математических операций не происходит.

Следствие [ править ]

Матрица М является обратимой матрицей и М ^-1 является матрицей основания преобразования из C в B . Другими словами,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$

Бесконечномерные векторные пространства [ править ]

Предположим , что V представляет собой бесконечную-мерное векторное пространство над полем F . Если размерность κ , то для V существует некоторый базис из κ элементов . После того, как заказ сделан, основу можно считать заказной. Элементы V - это конечные линейные комбинации элементов в базисе, которые приводят к уникальным координатным представлениям точно так, как описано ранее. Единственное изменение состоит в том, что набор индексации для координат не является конечным. Поскольку данный вектор v является конечной линейной комбинацией базисных элементов, единственные ненулевые элементы координатного вектора для vбудут ненулевыми коэффициентами линейной комбинации, представляющей v . Таким образом, вектор координат для v равен нулю, за исключением конечного числа элементов.

Линейные преобразования между (возможно) бесконечномерными векторными пространствами можно моделировать, аналогично конечномерному случаю, с помощью бесконечных матриц . Частный случай преобразований из V в V описан в статье о полном линейном кольце .

См. Также [ править ]

• Смена основы

Ссылки [ править ]