Тензорная алгебра

В математике , то тензор алгебра из векторного пространства V , обозначается T ( V ) или Т ^• ( V ), является алгебра из тензоров на V (любого ранга) с умножением является тензорное произведение . Это свободная алгебра на V в том смысле, что она сопряжена слева к функтору забывчивости от алгебр к векторным пространствам: это «самая общая» алгебра, содержащая V , в смысле соответствующего универсального свойства(см. ниже ).

Тензором алгебра имеет важное значение , так как многие другие алгебры возникают как фактор - алгебр из T ( V ). К ним относятся внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебры Клиффорда , алгебра Вейля и универсальные обертывающие алгебры .

Тензорная алгебра также имеет две структуры коалгебры ; одна простая, которая не делает ее биалгеброй, но ведет к концепции кокосвободной коалгебры , и более сложная, которая дает биалгебру , и может быть расширена путем предоставления антипода для создания структуры алгебры Хопфа .

Примечание . В этой статье предполагается, что все алгебры являются унитальными и ассоциативными . Единица явно требуется для определения сопродукта.

Строительство [ править ]

Пусть V является векторное пространство над полем K . Для любого неотрицательного целого числа к , определим K - й тензор мощности из V быть тензорное произведение из V с собой K раз:

${\ displaystyle T ^ {k} V = V ^ {\ otimes k} = V \ otimes V \ otimes \ cdots \ otimes V.}$

То есть, Т ^к V состоит из всех тензоров на V от порядка к . По соглашению T ⁰ V является основным полем K (как одномерное векторное пространство над собой).

Затем мы строим Т ( V ) в качестве прямой суммы из T ^K V для к = 0,1,2, ...

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

Умножение в T ( V ) определяется каноническим изоморфизмом

${\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}$

задается тензорным произведением, которое затем распространяется по линейности на все T ( V ). Из этого правила умножения следует, что тензорная алгебра T ( V ) естественным образом является градуированной алгеброй с T ^k V, служащим подпространством степени k . Эту градуировку можно расширить до Z- градуировки, добавив подпространства для отрицательных целых чисел k .${\displaystyle T^{k}V=\{0\}}$

Конструкция прямо обобщается на тензорную алгебру любого модуля M над коммутативным кольцом . Если R является не-коммутативным кольцом , все еще можно выполнить конструкцию для любого R - R бимодуля M . (Это не работает для обычных R -модулей, потому что повторенные тензорные произведения не могут быть сформированы.)

Примыкание и универсальное свойство [ править ]

Тензорная алгебра T ( V ) также называется свободной алгеброй на векторном пространстве V и является функториальной. Как и в случае других свободных конструкций , функтор Т является левым сопряженным к некоторому забывания функтора . В данном случае это функтор, который отправляет каждую K -алгебру в соответствующее векторное пространство.

Явно тензорная алгебра удовлетворяет следующему универсальному свойству , которое формально выражает утверждение, что это наиболее общая алгебра, содержащая V :

Любое линейное преобразование f  : V → A из V в алгебру A над K можно однозначно продолжить до гомоморфизма алгебр из T ( V ) в A, как показано следующей коммутативной диаграммой :

Здесь я есть каноническое вложение в V в T ( V ) (в единицу) примыкания. Фактически можно определить тензорную алгебру T ( V ) как единственную алгебру, удовлетворяющую этому свойству (в частности, она единственна с точностью до единственного изоморфизма), но все же необходимо доказать, что объект, удовлетворяющий этому свойству, существует.

Указанное универсальное свойство показывает, что построение тензорной алгебры носит функториальный характер. То есть T - функтор из K -Vect , категории векторных пространств над K , в K -Alg , категорию K -алгебр. Функториальность T означает, что любое линейное отображение между K- векторными пространствами U и W однозначно продолжается до гомоморфизма K -алгебр из T ( U ) в T ( W ).

Некоммутативные многочлены [ править ]

Если V имеет конечную размерность п , другой способ смотреть на тензорной алгебры как «алгебры многочленов над К в п некоммутирующих переменных». Если мы возьмем базисные векторы для V , они станут некоммутирующими переменными (или неопределенными ) в T ( V ), без ограничений, кроме ассоциативности , закона распределения и K- линейности.

Обратите внимание, что алгебра многочленов на V не является , а скорее : (однородная) линейная функция на V является элементом, например, координаты в векторном пространстве являются ковекторами , поскольку они принимают вектор и выдают скаляр (данный координата вектора).${\displaystyle T(V)}$${\displaystyle T(V^{*})}$${\displaystyle V^{*},}$${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}}$

Коэффициенты [ править ]

Из - за общности тензорной алгебры, многие другие алгебры интересов могут быть построены, начиная с тензорной алгеброй , а затем навязывая определенные отношения на генераторах, т.е. путем построения некоторого фактор - алгебру из T ( V ). Примерами этого являются внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебры Клиффорда , алгебра Вейля и универсальные обертывающие алгебры .

Коалгебра [ править ]

Тензорная алгебра имеет две различные структуры коалгебры . Один из них совместим с тензорным произведением и, таким образом, может быть расширен до биалгебры и может быть расширен с помощью антипода к структуре алгебры Хопфа . Другая структура, хотя и более простая, не может быть распространена на биалгебру. Первая структура развивается непосредственно ниже; вторая структура дана в разделе, посвященном cofree коалгебре , ниже.

Представленное ниже развитие может быть также хорошо применено к внешней алгебре , используя символ клина вместо символа тензора ; знак также необходимо отслеживать при перестановке элементов внешней алгебры. Это соответствие продолжается и в определении биалгебры, и в определении алгебры Хопфа. То есть внешней алгебре также может быть задана структура алгебры Хопфа.${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \otimes }$

Точно так же симметрической алгебре можно точно так же придать структуру алгебры Хопфа, заменив всюду тензорное произведение симметризованным тензорным произведением , т. Е. Тем произведением , где${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$${\displaystyle v\otimes _{\mathrm {Sym} }w=w\otimes _{\mathrm {Sym} }v.}$

В каждом случае это возможно, потому что чередующееся произведение и симметричное произведение подчиняются требуемым условиям согласованности для определения биалгебры и алгебры Хопфа; это можно явно проверить следующим образом. Всякий раз, когда у кого-то есть продукт, удовлетворяющий этим условиям согласованности, конструкция идет тщательно; поскольку такое произведение привело к фактор-пространству, фактор-пространство наследует структуру алгебры Хопфа.${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$

На языке теории категорий говорят, что существует функтор T из категории K -векторных пространств в категорию K- ассоциированных алгебр. Но есть также функтор Λ, переводящий векторные пространства в категорию внешних алгебр, и функтор Sym, переводящий векторные пространства в симметрические алгебры. Существует естественная карта от T до каждого из них. Проверка того, что факторизация сохраняет структуру алгебры Хопфа, аналогична проверке того, что отображения действительно естественны.

Копродукт [ править ]

Коалгебра получается путем определения копроизведения или диагонального оператора

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

Здесь используется как сокращение, чтобы избежать взрыва скобок. Этот символ используется для обозначения «внешнего» тензорного произведения, необходимого для определения коалгебры. Он используется, чтобы отличить его от «внутреннего» тензорного произведения , которое уже «взято» и используется для обозначения умножения в тензорной алгебре (см. Ниже раздел « Умножение» для дальнейшего разъяснения этого вопроса). Чтобы избежать путаницы между этими двумя символами, большинство текстов будет заменено простой точкой или даже полностью исключено, с пониманием того, что это подразумевается из контекста. Это позволяет использовать символ вместо${\displaystyle TV}$${\displaystyle T(V)}$${\displaystyle \boxtimes }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \boxtimes }$символ. Ниже этого не делается, и два символа используются независимо и явно, чтобы показать правильное расположение каждого из них. Результат будет немного более подробным, но его будет легче понять.

Определение оператора проще всего построить поэтапно, сначала определив его для элементов, а затем гомоморфно расширив его на всю алгебру. Тогда подходящим выбором для побочного продукта является${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle v\in V\subset TV}$

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v}$

и

${\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1}$

где - единица поля . По линейности очевидно, что${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

для всех Несложно проверить, что это определение удовлетворяет аксиомам коалгебры: то есть, что${\displaystyle k\in K.}$

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta }$

где находится карта идентичности . Действительно, получается${\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x}$${\displaystyle TV}$

${\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v}$

то же самое и с другой стороны. В этот момент можно вызвать лемму, и сказать , что расширяет тривиальный по линейности на все , потому что это свободный объект и является генератором свободной алгебры, и является гомоморфизмом. Тем не менее, полезно предоставлять явные выражения. Итак, при имеется (по определению) гомоморфизм${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle TV}$${\displaystyle TV}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

Расширяя, есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

В приведенном выше расширении нет необходимости когда-либо писать, поскольку это просто старое скалярное умножение в алгебре; то есть, очевидно, что${\displaystyle 1\otimes v}$${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

Приведенное выше расширение сохраняет градуировку алгебры. То есть,

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{(2-k)}V}$

Продолжая таким образом, можно получить явное выражение для копроизведения, действующего на однородный элемент порядка m :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{0}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,m-p+1)}\;\left(v_{\sigma (0)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

где символ, который должен выглядеть как ш, ша, обозначает произведение в случайном порядке . Это выражается во втором суммировании, которое проводится по всем (p, m-p + 1) -тасованию . Вышеупомянутое написано с помощью нотации, чтобы отслеживать элемент поля 1: уловка состоит в том, чтобы писать , и это перетасовывается в различные места во время расширения суммы путем перемешивания. Перетасовка непосредственно вытекает из первой аксиомы со-алгебры: относительный порядок элементов будет сохранен в Riffle перетасовки: с винтовками перетасовать просто делит упорядоченную последовательность на две упорядоченных последовательности, один слева и один справа . Любой заданный случайный порядок подчиняется${\displaystyle \omega }$${\displaystyle v_{0}=1}$${\displaystyle v_{k}}$

${\displaystyle \sigma (0)<\cdots <\sigma (p)\quad {\mbox{ and }}\quad \sigma (p+1)<\cdots <\sigma (m)}$

Как и прежде, сохраняется алгебра градуировки:

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

Граф [ править ]

Счетчик задается проекцией компоненты поля из алгебры. Это можно записать как для, так и для . По гомоморфизму относительно тензорного произведения это продолжается на ${\displaystyle \epsilon :TV\to K}$${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

для всех Это простой вопрос, чтобы убедиться, что эта коучда удовлетворяет необходимой аксиоме для коалгебры:${\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }$

${\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .}$

Работая с этим явно, можно

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

где на последнем шаге использовался изоморфизм , соответствующий определяющей аксиоме счетчика.${\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}$

Биалгебра [ править ]

Биалгебра определяет как умножение и коумножение, и требует , чтобы они были совместимы.

Умножение [ править ]

Умножение дается оператором

${\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV}$

которое в данном случае уже было задано как «внутреннее» тензорное произведение. То есть,

${\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

То есть, из приведенного выше должно быть понятно, почему необходимо использовать символ: на самом деле это одно и то же, что и ; а небрежность в обозначениях привела бы к полному хаосу. Чтобы усилить это: тензорное произведение тензорной алгебры соответствует умножению, используемому в определении алгебры, тогда как тензорное произведение - то, которое требуется в определении коумножения в коалгебре. Эти два тензорных произведения - не одно и то же!${\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.}$${\displaystyle \boxtimes }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \boxtimes }$

Единица [ править ]

Единица алгебры

${\displaystyle \eta :K\to TV}$

это просто вложение, так что

${\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

То, что единица измерения совместима с тензорным произведением , «тривиально»: это просто часть стандартного определения тензорного произведения векторных пространств. То есть для элемента поля k и более подробно аксиомы ассоциативной алгебры требуют двух гомоморфизмов (или коммутирующих диаграмм):${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle k\otimes x=kx}$${\displaystyle x\in TV.}$

${\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}$

на , и симметрично, на , что${\displaystyle K\boxtimes TV}$${\displaystyle TV\boxtimes K}$

${\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta }$

где правую часть этих уравнений следует понимать как скалярное произведение.

Совместимость [ править ]

Единица и счетчик, умножение и коумножение должны удовлетворять условиям совместимости. Несложно увидеть, что

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

Точно так же единица совместима с коумножением:

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta }$

Вышесказанное требует использования изоморфизма , чтобы работать; без этого теряется линейность. По компонентам,${\displaystyle K\boxtimes K\cong K}$

${\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

с правой частью, использующей изоморфизм.

Умножение и счет совместимы:

${\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0}$

всякий раз, когда x или y не являются элементами , и в противном случае на поле имеется скалярное умножение: труднее всего проверить совместимость умножения и коумножения:${\displaystyle K}$${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}$

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )}$

где обменивается элементами. Требуется только проверка условия совместимости ; полная совместимость следует как гомоморфное расширение для всего . Проверка многословна, но прямолинейна; здесь он не приводится, за исключением окончательного результата:${\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x}$${\displaystyle V\subset TV}$${\displaystyle TV.}$

${\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)}$

Для явного выражения для этого было дано в разделе коалгебре выше.${\displaystyle v,w\in V,}$

Алгебра Хопфа [ править ]

Алгебра Хопфа добавляет антипод Биалгебра аксиомы. Антипод на дается${\displaystyle S}$${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$

${\displaystyle S(k)=k}$

Иногда это называют «антиидентичностью». Антипод дается${\displaystyle v\in V=T^{1}V}$

${\displaystyle S(v)=-v}$

и по${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle S(v\otimes w)=S(w)\otimes S(v)=w\otimes v}$

Это продолжается гомоморфно на

${\displaystyle {\begin{aligned}S(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=S(v_{m})\otimes \cdots \otimes S(v_{1})\\&=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}\end{aligned}}}$

Совместимость [ править ]

Совместимость антипода с умножением и коумножением требует, чтобы

${\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta }$

Это легко проверить покомпонентно :${\displaystyle k\in K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

Аналогично :${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

Напомним, что

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k}$

и это

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0}$

для любого, что не в${\displaystyle x\in TV}$${\displaystyle K.}$

Можно поступить аналогичным образом, путем гомоморфизма, проверяя, что антипод вставляет соответствующие отменяющие знаки в тасование, начиная с условия совместимости и продолжая по индукции.${\displaystyle T^{2}V}$

Cofree совместная коалгебра [ править ]

Можно определить другое копроизведение на тензорной алгебре, более простое, чем приведенное выше. Это дается

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})}$

Здесь, как и раньше, используется нотация (напомним тривиально).${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in K}$${\displaystyle v\otimes 1=v}$

Это копроизведение порождает коалгебру. Она описывает коалгебру, которое двойное к структуре алгебры на Т ( V ^* ), где V ^* обозначает двойное векторное пространство линейных отображений V → F . Точно так же, как тензорная алгебра является свободной алгеброй , соответствующая коалгебра называется кокомполной ко-свободной. С обычным продуктом это не биалгебра. Его можно превратить в биалгебру с произведением где (i, j) обозначает биномиальный коэффициент для . Эта биалгебра известна как алгебра Хопфа с разделенными степенями .${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$

Разницу между этой и другой коалгеброй легче всего увидеть в этом термине. Вот это${\displaystyle T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1}$

для , в котором явно отсутствует перетасованный термин по сравнению с предыдущим.${\displaystyle v,w\in V}$

См. Также [ править ]

• Плетеное векторное пространство
• Плетеная алгебра Хопфа
• Моноидальная категория
• Полилинейная алгебра
• Любовь Станислава Лема и тензорная алгебра
• Пространство фока

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (1989). Алгебра I. Главы 1-3 . Элементы математики. Springer-Verlag . ISBN 3-540-64243-9. (См. Главу 3 §5)

• Серж Ланг (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (3-е изд.), Springer Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4