Универсальная собственность

Типовая схема определения универсального морфизма.

В теории категорий , разделе математики , универсальное свойство является важным свойством, которому удовлетворяет универсальный морфизм (см. Формальное определение). Универсальные морфизмы также можно рассматривать более абстрактно , как начальные или терминальные объекты одного категории разделителей (см Связи с запятой Категорией). Универсальные свойства встречаются в математике почти повсюду, и поэтому точная теоретико-категориальная концепция помогает указать на сходство между различными разделами математики, некоторые из которых могут даже показаться несвязанными.

Универсальные свойства могут неявно использоваться в других областях математики, но абстрактное и более точное определение их можно изучить в теории категорий.

В этой статье дается общее описание универсальных свойств. Чтобы понять концепцию, полезно сначала изучить несколько примеров, которых много: все свободные объекты , прямое произведение и прямая сумма , свободная группа , свободная решетка , группа Гротендика , пополнение Дедекинда – МакНейла , топология произведения , Стоун – Чех компактификация , тензорное произведение , обратный предел и прямой предел , ядро и коядро , откат , выталкивание иэквалайзер .

Мотивация [ править ]

Прежде чем дать формальное определение универсальных свойств, мы предложим некоторые мотивы для изучения таких конструкций.

• Конкретные детали данной конструкции могут быть беспорядочными, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, можно забыть обо всех этих деталях: все, что нужно знать о конструкции, уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся короткими и элегантными, если использовать универсальное свойство, а не конкретные детали. Например, тензорная алгебра из векторного пространства немного больно на самом деле построить, но используя его универсальное свойство делает его гораздо легче иметь дело с.
• Универсальные свойства определяют объекты однозначно с точностью до уникального изоморфизма . ^[1] Следовательно, один из способов доказать, что два объекта изоморфны, - это показать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.
• Универсальные конструкции функториальны в природе: если один может осуществлять строительство для каждого объекта в категории С , то получается функтор на C . Кроме того, этот функтор является сопряженным справа или слева функтору U, используемому в определении универсального свойства. ^[2]
• Универсальные свойства встречаются в математике повсюду. Понимая их абстрактные свойства, можно получить информацию обо всех этих конструкциях и избежать повторения одного и того же анализа для каждого отдельного случая.

Формальное определение [ править ]

Чтобы понять определение универсальной конструкции, важно посмотреть на примеры. Универсальные конструкции не были определены на пустом месте, а были, скорее, определены после того, как математики начали замечать закономерности во многих математических конструкциях (см. Примеры ниже). Следовательно, определение может сначала не иметь смысла для одного, но станет ясным, когда его свяжут с конкретными примерами.

Позвольте быть функтором между категориями и . Далее пусть быть объектом , в то время как и являются объектами . ${\ displaystyle F: C \ to D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle C}$

Таким образом, функтор карты , и в к , и в .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle F (A)}$${\ Displaystyle F (А ')}$${\ displaystyle F (h)}$${\ displaystyle D}$

Универсальный морфизм из в${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$ единственной паре , в котором имеет следующее свойство, обычно называемое как универсальное свойство . Для любого морфизма вида in существует единственный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутирует :${\ Displaystyle (А, и: Х \ к F (А))}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle f: X \ to F (A ')}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle h: от A \ до A '}$

Мы можем дуализировать это категориальное понятие. Универсальный морфизм в${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$ единственной паре , которая удовлетворяет следующее универсальное свойство. Для любого морфизма вида in существует единственный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутирует:${\ Displaystyle (А, и: F (А) \ к Х)}$${\displaystyle f:F(A')\to X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle h:A'\to A}$

Обратите внимание, что в каждом определении стрелки перевернуты. Оба определения необходимы для описания универсальных конструкций, которые появляются в математике; но они также возникают из-за присущей теории категорий двойственности. В любом случае мы говорим, что пара, которая ведет себя, как указано выше, удовлетворяет универсальному свойству. ${\displaystyle (A,u)}$

В качестве примечания некоторые авторы представляют вторую диаграмму следующим образом.

Конечно, схемы такие же; выбор способа написания - дело вкуса. Они просто отличаются поворотом на 180 °. Однако исходная диаграмма предпочтительнее, потому что она иллюстрирует двойственность между двумя определениями, поскольку ясно, что стрелки в каждом случае меняются местами.

Связь с категориями запятых [ править ]

Универсальные морфизмы можно описать более кратко как начальные и конечные объекты в категории запятых.

Позвольте быть функтором и объектом . Затем напомним, что категория запятой - это категория, где ${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (X\downarrow F)}$

• Объекты - это пары формы , где - объект в${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$
• Морфизмом To задается морфизма в такой , что диаграмма коммутирует:${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$${\displaystyle (B',f':X\to F(B'))}$${\displaystyle h:B\to B'}$${\displaystyle C}$

Теперь предположим , что объект в является начальным. Тогда для каждого объекта существует уникальный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутирует. ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$${\displaystyle (X\downarrow F)}$${\displaystyle (A',f:X\to F(A'))}$${\displaystyle h:A\to A'}$

Обратите внимание, что равенство здесь просто означает, что диаграммы совпадают. Также обратите внимание, что диаграмма в правой части равенства точно такая же, как и диаграмма, предложенная при определении универсального морфизма от до${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$ . Таким образом, мы видим, что универсальный морфизм из в эквивалентен исходному объекту в категории запятой .${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (X\downarrow F)}$

Напротив, напомним, что категория запятой - это категория, в которой ${\displaystyle (F\downarrow X)}$

• Объекты - это пары формы, где находится объект в${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$
• Морфизмом To задается морфизма в такой , что диаграмма коммутирует:${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$${\displaystyle (B',f':F(B')\to X)}$${\displaystyle h:B\to B'}$${\displaystyle C}$

Предположим , это конечный объект в . Тогда для каждого объекта существует уникальный морфизм такой, что следующие диаграммы коммутируют. ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$${\displaystyle (F\downarrow X)}$${\displaystyle (A',f:F(A')\to X)}$${\displaystyle h:A'\to A}$

Диаграмма в правой части равенства - это та же диаграмма, что и при определении универсального морфизма от до${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$ . Следовательно, универсальный морфизм из в соответствует терминальному объекту в категории запятой .${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (F\downarrow X)}$

Примеры [ править ]

Ниже приведены несколько примеров, чтобы подчеркнуть общую идею. Читатель может построить множество других примеров, обратившись к статьям, упомянутым во введении.

Тензорные алгебры [ править ]

Позвольте быть категорией векторных пространств -Vect над полем и пусть быть категорией алгебр -Alg над (предполагается, что они унитальные и ассоциативные ). Позволять${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle U}$ : -Alg → -Vect${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

быть забывчивым функтором, который присваивает каждой алгебре ее базовое векторное пространство.

По любому векторному пространству над ним можно построить тензорную алгебру . Тензорная алгебра характеризуется тем, что:${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(V)}$

«Любое линейное отображение из в алгебру может быть однозначно расширено до гомоморфизма алгебр из в ».${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T(V)}$${\displaystyle A}$

Это утверждение является исходным свойством тензорной алгебры, поскольку оно выражает тот факт, что пара , где - отображение включения, является универсальным морфизмом из векторного пространства в функтор .${\displaystyle (T(V),i)}$${\displaystyle i:V\to U(T(V))}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$

Поскольку эта конструкция работает для любого векторного пространства , мы заключаем, что это функтор от -Vect до -Alg . Это означает, что он сопряжен слева к функтору забывания (см. Раздел ниже о сопряженных функторах ).${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$

Продукты [ править ]

Категоричен продукт может характеризоваться универсальной конструкцией. Для конкретности можно рассматривать декартово произведение в Set , прямое произведение в Grp или топологию продукта в Top , где продукты существуют.

Позвольте и быть объектами категории с конечными продуктами. Произведение и является объектом × вместе с двумя морфизмами${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \pi _{1}}$ : ${\displaystyle X\times Y\to X}$

${\displaystyle \pi _{2}}$ : ${\displaystyle X\times Y\to Y}$

такие , что для любого другого объекта из и морфизмов и существует единственный морфизм такой , что и .${\displaystyle Z}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f:Z\to X}$${\displaystyle g:Z\to Y}$${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$

Чтобы понять эту характеристику как универсальное свойство, возьмите категорию за категорию продукта и определите диагональный функтор${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D\times D}$

${\displaystyle \Delta :C\to C\times C}$

пользователем и . Тогда это универсальный морфизм к объекту из : если есть любой морфизм к , то оно должно быть равно морфизм из к последующим .${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle D\times D}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle (Z,Z)}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$${\displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)}$${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$

Пределы и коллимиты [ править ]

Категориальные продукты - это особый вид ограничений в теории категорий. Приведенный выше пример можно обобщить на произвольные пределы и копределы.

Пусть и быть категории с более малой категории индекса , и пусть будет соответствующий функтор категории . Диагональный функтор${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C^{J}}$

${\displaystyle \Delta :C\to C^{J}}$

- это функтор, который отображает каждый объект в постоянный функтор в (т.е. для каждого in ).${\displaystyle N}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \Delta (N):J\to C}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta (N)(X)=N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J}$

Учитывая функтор (мыслится как объект ), то предел в , если она существует, не что иное , как универсальный морфизм в . Двойственно, то копредел из универсального морфизма в .${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle C^{J}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Delta }$

Свойства [ править ]

Существование и уникальность [ править ]

Определение количества не гарантирует его существования. Учитывая функтор и объект из , может существовать или не существовать универсальный морфизм из в . Если же универсальный морфизм действительно существует, то он по сути уникален. В частности, он является уникальным до более уникального изоморфизма : если есть еще одна пара, то существует единственный изоморфизм такой , что . В этом легко убедиться, подставив в определение универсальный морфизм.${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle (A',u')}$${\displaystyle k:A\to A'}$${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$${\displaystyle (A,u')}$

Это пара, которая в этом смысле уникальна. Сам объект уникален только с точностью до изоморфизма. В самом деле, если является универсальным морфизмом и является любым изоморфизмом, то пара , где также является универсальным морфизмом.${\displaystyle (A,u)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,u)}$${\displaystyle k:A\to A'}$${\displaystyle (A',u')}$${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$

Эквивалентные формулировки [ править ]

Определение универсального морфизма можно перефразировать по-разному. Позвольте быть функтором и позвольте быть объектом . Тогда следующие утверждения эквивалентны:${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle (A,u)}$универсальный морфизм от до${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$представляет собой исходный объект из категории запятой ${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,u)}$является представление о${\displaystyle {\text{Hom}}_{D}(X,F(-))}$

Двойные утверждения также эквивалентны:

• ${\displaystyle (A,u)}$универсальный морфизм от до${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$является конечным объектом категории запятая${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u)}$ представляет собой представление ${\displaystyle {\text{Hom}}_{D}(F(-),X)}$

Отношение к присоединенным функторам [ править ]

Предположим , это универсальный морфизм от до и универсальный морфизм от до . По универсальному свойству универсальных морфизмов для любого морфизма существует единственный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутирует:${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}}$${\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}}$

Если каждый объект из допускает универсальный морфизм в , то присваивание и определяет функтор . Затем карты определяют естественное преобразование из (тождественного функтора ) в . Тогда функторы являются парой сопряженных функторов , сопряженных слева и справа к .${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$${\displaystyle h\mapsto g}$${\displaystyle G:D\to C}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle 1_{C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F\circ G}$${\displaystyle (F,G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Аналогичные утверждения применимы к двойственной ситуации терминальных морфизмов из . Если такие морфизмы существуют для каждого в одном, получается функтор, сопряженный справа (то есть сопряженный слева ).${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Действительно, таким образом все пары сопряженных функторов возникают из универсальных конструкций. Пусть и - пара сопряженных функторов с единицей и ко-единицей (определения см. В статье о сопряженных функторах ). Тогда у нас есть универсальный морфизм для каждого объекта в и :${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

• Для каждого объекта в , есть универсальный морфизм от до . То есть для всех существует единственный, для которого коммутируют следующие диаграммы.${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f:X\to G(Y)}$${\displaystyle g:F(X)\to Y}$
• Для каждого объекта в , есть универсальный морфизм от до . То есть для всех существует единственный, для которого коммутируют следующие диаграммы.${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle g:F(X)\to Y}$${\displaystyle f:X\to G(Y)}$

Универсальные конструкции более общие, чем пары сопряженных функторов: универсальная конструкция подобна задаче оптимизации; она порождает присоединенную пару тогда и только тогда, когда эта проблема имеет решение для каждого объекта (эквивалентно, для каждого объекта ).${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

История [ править ]

Универсальные свойства различных топологических конструкций были представлены Пьером Самуэлем в 1948 году. Позже они широко использовались Бурбаки . Близкое понятие сопряженных функторов было независимо введено Дэниелом Каном в 1958 году.

См. Также [ править ]

• Бесплатный объект
• Естественная трансформация
• Присоединенный функтор
• Монада (теория категорий)
• Разнообразие алгебр
• Декартова закрытая категория

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Пол Кон , Универсальная алгебра (1981), D.Reidel Publishing, Голландия. ISBN  90-277-1213-1 .
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Борсё, Ф. Справочник по категориальной алгебре: том 1 Базовая теория категорий (1994) Cambridge University Press, (Энциклопедия математики и ее приложений) ISBN 0-521-44178-1 
• Н. Бурбаки, Livre II: Algèbre (1970), Герман, ISBN 0-201-00639-1 . 
• Милиес, Сезар Польчино; Сегал, Сударшан К. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 
• Якобсон. Базовая алгебра II. Дувр. 2009. ISBN 0-486-47187-X. 

Внешние ссылки [ править ]

• nLab , вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения
• Андре Жоял , CatLab , вики-проект, посвященный демонстрации категориальной математики
• Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX  10.1.1.24.3264 : Cite journal requires |journal= (help) формальное введение в теорию категорий.
• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
• Стэнфордская энциклопедия философии : « Теория категорий » - Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баэз, Джон, 1996, « Сказка о n- категориях ». Неформальное введение в категории высшего порядка.
• WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
• The catsters , YouTube-канал о теории категорий.
• Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.