Выталкивание (теория категорий)

В теории категорий филиал математики , A Кодекартова Квадрата (также называемый расслаиваются копроизведением или расслаиваются суммой или cocartesian квадратом или объединенная суммой ) является копределом из диаграммы , состоящей из двух морфизмов F  : Z → X и г  : Z → Y с а общий домен . Вытеснение состоит из объекта P вместе с двумя морфизмами X → P иY → P, которые дополняют коммутативный квадрат двумя данными морфизмами f и g . Фактически, определяющее универсальное свойство выталкивания (приведенное ниже) по существу говорит, что выталкивание - это «самый общий» способ завершить этот коммутативный квадрат. Обычные обозначения для выталкивания - и .${\ displaystyle P = X \ sqcup _ {Z} Y}$${\ displaystyle P = X + _ {Z} Y}$

Кодекартов Квадрат является категоричным двойной в откате .

Универсальная собственность [ править ]

Явно выталкивание морфизмов f и g состоит из объекта P и двух морфизмов i ₁  : X → P и i ₂  : Y → P таких, что диаграмма

коммутирует и такая, что ( P , i ₁ , i ₂ ) универсален относительно этой диаграммы. То есть для любого другого такого множества ( Q , j ₁ , j ₂ ), для которого коммутирует следующая диаграмма, должен существовать единственный u  : P → Q, который также коммутирует диаграмму:

Как и все универсальные конструкции, выталкивание, если оно существует, уникально с точностью до единственного изоморфизма .

Примеры выталкивания [ править ]

Вот несколько примеров выталкивания из знакомых категорий . Обратите внимание, что в каждом случае мы предоставляем только конструкцию объекта в классе изоморфизма выталкиваний; как упоминалось выше, хотя могут быть и другие способы его создания, все они эквивалентны.

• Предположим, что X , Y и Z, как указано выше, являются множествами , а f  :  Z  →  X и g  :  Z  →  Y - функциями множеств. Кодекартов Квадрат из е и г является объединением непересекающегося из X и Y , где элементы , имеющие общий прообраз (в Z идентифицированы), вместе с морфизмами я ₁ , я ₂ из X и Y , т.е.${\ displaystyle P = \ left (X \ coprod Y \ right) {\ Big /} \ sim \}$где ~ является лучшим отношением эквивалентности (сравните также с этим ) такие , что F ( г ) ~  г ( г ) для всех г в Z . В частности, если X и Y являются подмножествами некоторого большего множества W, а Z - их пересечение , а f и g - отображения включения Z в X и Y , то выталкивание можно канонически отождествить с объединением .${\ Displaystyle X \ чашка Y \ substeq W}$
• Построение смежных пространств является примером вытеснения в категории топологических пространств . Более точно, если Z является подпространством из Y и г  : Z → Y является включение карте мы можем «клей» Y в другое пространство X вдоль Z с использованием «Установка карты» ф  : Z → X . В результате получается пространство примыкания , которое является просто выталкиванием f и g.${\displaystyle X\cup _{f}Y}$. В более общем плане, таким образом, все идентификационные пространства можно рассматривать как выталкиваемые.
• Частным случаем вышеизложенного является сумма клина или одноточечное объединение; здесь мы берем X и Y как отмеченные пространства, а Z как одноточечное пространство. Тогда это Кодекартов Квадрат , пространство , полученное приклеиванием Basepoint из X в базисной части Y .${\displaystyle X\vee Y}$
• В категории абелевых групп выталкивания можно рассматривать как « прямую сумму со склейкой», так же как мы думаем о присоединенных пространствах как « несвязное объединение со склейкой». Нулевая группа является подгруппой каждой группы , так и для любых абелевых групп А и В , мы имеем гомоморфизмы и . Кодекартов Квадрат этих карт является прямой суммой A и B . Обобщая на случай, когда f и g - произвольные гомоморфизмы из общей области Z , получаем для выталкивания a${\displaystyle f:0\to A}$${\displaystyle g:0\to B}$фактор-группа прямой суммы; а именно, мы модифицируем подгруппу, состоящую из пар ( f ( z ), - g ( z )). Таким образом, мы «приклеили» образы Z под f и g . Аналогичный подход дает Кодекартов Квадрат в категории R - модули для любого кольца R .
• В категории групп вытеснение называется бесплатным продуктом с объединением . Это проявляется в теореме Зайферт-ван Кампен в алгебраической топологии (см . Ниже)
• В CRING , категория коммутативных колец (а полная подкатегория в категории колец ), то Кодекартов Квадрат дается тензорное произведение колец с морфизмов и которые удовлетворяют . В самом деле, так как Кодекартов Квадрат является копределом из диапазона и откат является пределом cospan , мы можем думать о тензорном произведении колец и расслаиваются произведения колец (смотрите раздел примеров) как двойственные понятия друг с другом. В частности, пусть A , B и C${\displaystyle A\otimes _{C}B}$${\displaystyle g':A\rightarrow A\otimes _{C}B}$${\displaystyle f':B\rightarrow A\otimes _{C}B}$${\displaystyle f'\circ g=g'\circ f}$- объекты (коммутативные кольца с единицей) в CRing, и пусть f  : C → A и g  : C → B - морфизмы ( гомоморфизмы колец ) в CRing . Тогда тензорное произведение:

${\displaystyle A\otimes _{C}B=\left\{\sum _{i\in I}(a_{i},b_{i})\;{\big |}\;a_{i}\in A,b_{i}\in B\right\}{\Bigg /}{\bigg \langle }(f(c)a,b)-(a,g(c)b)\;{\big |}\;a\in A,b\in B,c\in C{\bigg \rangle }}$

• См. Свободное произведение ассоциативных алгебр для случая некоммутативных колец.
• В мультипликативной моноид положительных целых чисел , рассматриваемых как категорию с одним объектом, то Кодекартов Квадрат из двух положительных целых чисел т и п просто пара , где числители являются как наименьшее общее кратное из м и н . Обратите внимание, что эта же пара также является откатом.${\displaystyle \mathbf {Z} _{+}}$${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)}$

Свойства [ править ]

• Всякий раз , когда Кодекартов Квадрат ⊔ _С Б существует, то B ⊔ _С также существует и существует естественный изоморфизм  ∪ _C B ≅ B  ∪ _C .
• В абелевой категории все выталкивания существуют, и они сохраняют коядра в следующем смысле: если ( P , i ₁ , i ₂ ) является выталкиванием f  : Z → X и g  : Z → Y , то естественное отображение coker ( f ) → coker ( i ₂ ) является изоморфизмом, как и естественное отображение coker ( g ) → coker ( i ₁ ).
• Существует естественный изоморфизм ( ⊔ _С Б ) ⊔ _Б Д ≅ ⊔ _C D . В явном виде это означает:
  • если заданы отображения f  : C → A , g  : C → B и h  : B → D и
  • выталкивание f и g задается как i  : A → P и j  : B → P , и
  • выталкивание j и h задается как k  : P → Q и l  : D → Q ,
  • то Кодекартов Квадрат из F и Hg задается ки  : → Q и L  : D → Q .

Графически это означает, что два выталкивающих квадрата, размещенные бок о бок и разделяющие один морфизм, образуют больший выталкивающий квадрат при игнорировании внутреннего общего морфизма.

Построение с помощью сопродуктов и соэквалайзеров [ править ]

Pushouts эквивалентны копроизведений и коуравнителю (если есть исходный объект ) в том смысле , что:

• Копродукции - это выталкивание из исходного объекта, а коэквалайзер для f , g  : X → Y - это выталкивание [ f , g ] и [1 _X , 1 _X ], поэтому, если есть выталкивания (и начальный объект), затем есть соэквалайзеры и сопутствующие продукты;
• Выталкивающие элементы могут быть построены из сопродуктов и соуравнителей, как описано ниже (вытеснение является соуравнивателем сопоставлений с сопродуктом).

Все приведенные выше примеры можно рассматривать как частные случаи следующей очень общей конструкции, которая работает в любой категории C, удовлетворяющей:

• Для любых объектов A и B из C их копроизведение существует в C ;
• Для любых морфизмов j и k языка C с одной и той же областью определения и целью в C существует уравнитель j и k .

В этой установке, мы получаем Кодекартов Квадрат морфизмов ф  : Z → X и г  : Z → Y сначала формирований копроизведения целей X и Y . Тогда у нас есть два морфизма из Z в это копроизведение. Мы можем либо перейти от Z к X через f , затем включить в копроизведение, либо мы можем перейти от Z к Y через g , а затем включить. Вытеснение f и g является уравнителем этих новых карт.

Применение: теорема Зейферта – ван Кампена [ править ]

Теорема Зейферта – ван Кампена дает ответ на следующий вопрос. Предположим, у нас есть линейно связное пространство X , покрытое линейно связными открытыми подпространствами A и B , пересечение которых D также линейно связно. (Предположим также , что Basepoint * лежит в пересечении A и B ) . Если мы знаем , что основные группы из A , B , и их пересечения D , мы можем восстановить фундаментальную группу X ? Ответ - да, при условии, что мы также знаем индуцированные гомоморфизмы, и теорема говорит, что фундаментальная группа${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(A,*)}$${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(B,*).}$X - это выталкивание этих двух индуцированных отображений. Конечно, Х представляет собой Кодекартов Квадрат из двух карт включения D во A и B . Таким образом, мы можем интерпретировать теорему как подтверждающую, что фундаментальный групповой функтор сохраняет выталкивание включений. Можно было бы ожидать , что это самый простой , когда D является односвязной , так как тогда оба гомоморфизма выше имеют тривиальное домен. В самом деле, это так, поскольку тогда вытеснение (групп) сводится к свободному продукту , который является копроизведением в категории групп. В самом общем случае мы будем говорить о бесплатном продукте с объединением .

Подробное изложение этого в несколько более общем контексте ( охватывающих группоиды ) приведено в книге JP May, указанной в ссылках.

Ссылки [ править ]

• Мэй, Дж. П. Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета, 1999.

  Введение в категориальные подходы к алгебраической топологии: акцент делается на алгебре и предполагает топологический фон.

• Рональд Браун «Топология и группоиды» доступен в формате pdf Дает отчет о некоторых категориальных методах в топологии, использует фундаментальный группоид на множестве базовых точек, чтобы дать обобщение теоремы Зейферта-ван Кампена.

• Филип Дж. Хиггинс, "Категории и группоиды " скачать бесплатно. Объясняет некоторые применения группоидов в теории групп и топологии.

Внешние ссылки [ править ]

• выталкивание в nLab