Прямая сумма

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Прямая сумма»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Прямая сумма является операцией из абстрактной алгебры , филиал математики . Например, прямая сумма , где в реальном пространстве координат , является декартовой плоскости , . Чтобы увидеть, как прямая сумма используется в абстрактной алгебре, рассмотрим более элементарную структуру абстрактной алгебры - абелеву группу . Прямая сумма двух абелевых групп и является другой абелевой группой, состоящей из упорядоченных пар где и . (Неопределенно эта упорядоченная пара также называется декартовым произведением${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$. из двух групп) Для того, чтобы добавить упорядоченные пары, мы определяем сумму , чтобы быть ; другими словами, сложение определяется по координатам. Подобный процесс можно использовать для формирования прямой суммы двух векторных пространств или двух модулей .${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$${\displaystyle (a+c,b+d)}$

Мы также можем формировать прямые суммы с любым конечным числом слагаемых, например , при условии, что они являются одними и теми же типами алгебраических структур (например, все абелевы группы или все векторные пространства). Это основано на том, что прямая сумма ассоциативна с точностью до изоморфизма . То есть, для любых алгебраических структур , и того же рода. Прямая сумма также коммутативна с точностью до изоморфизма, т. Е. Для любых алгебраических структур и однотипных.${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

В случае двух слагаемых или любого конечного числа слагаемых прямая сумма совпадает с прямым произведением . Если арифметическая операция записывается как +, как это обычно бывает в абелевых группах, то мы используем прямую сумму. Если арифметическая операция записана как × или ⋅ или используется сопоставление (как в выражении ), мы используем прямое произведение.${\displaystyle xy}$

В случае, когда объединяется бесконечно много объектов, большинство авторов различают прямую сумму и прямой продукт. В качестве примера рассмотрим прямую сумму и прямое произведение бесконечного числа вещественных прямых. Элемент в прямом произведении представляет собой бесконечную последовательность, например (1,2,3, ...), но в прямой сумме должно быть требование, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю, поэтому последовательность (1, 2,3, ...) будет элементом прямого произведения, но не прямой суммы, а (1,2,0,0,0, ...) будет элементом обоих. В более общем смысле, если используется знак +, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю, тогда как при использовании некоторой формы умножения все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны 1. Говоря техническим языком, если слагаемые равны , прямая сумма${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$определяется как набор кортежей с такими, что для всех, кроме конечного числа i . Прямая сумма содержится в прямом произведении , но обычно строго меньше, когда набор индексов бесконечен, потому что прямые произведения не имеют ограничения, что все координаты, кроме конечного числа, должны быть нулевыми. ^[1]${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Примеры [ править ]

Ху плоскости, двумерное векторное пространство , можно рассматривать как прямую сумму двух одномерных векторных пространств, а именно х и у осей. В этой прямой сумме оси x и y пересекаются только в начале координат (нулевом векторе). Сложение определяется по координатам, то есть аналогично сложению векторов.${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

Для двух структур и их прямая сумма записывается как . Учитывая проиндексированное семейство структур , проиндексированных с , можно записать прямую сумму . Каждый _я называется прямое слагаемое в А . Если набор индексов конечен, прямая сумма такая же, как и прямой продукт. В случае групп, если групповая операция записана как "прямая сумма", используется фраза, а если групповая операция написана${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle *}$используется фраза «прямой продукт». Когда набор индексов бесконечен, прямая сумма не совпадает с прямым произведением, поскольку прямая сумма имеет дополнительное требование, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю.

Внутренние и внешние прямые суммы [ править ]

Различают внутренние и внешние прямые суммы, хотя они изоморфны. Если сначала определены факторы, а затем прямая сумма определяется в терминах факторов, у нас есть внешняя прямая сумма. Например, если мы определяем действительные числа, а затем определяем прямую сумму, говорят, что она является внешней.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

Если, с другой стороны, мы сначала определяем некоторую алгебраическую структуру, а затем записываем как прямую сумму двух подструктур и , тогда прямая сумма называется внутренней. В этом случае каждый элемент из уникальным образом выражается как алгебраическая комбинация элемента из и элемента из . В качестве примера внутренней прямой суммы рассмотрим (целые числа по модулю шесть), элементы которой равны . Это выражается как внутренняя прямая сумма .${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$

Виды прямой суммы [ править ]

Прямая сумма абелевых групп [ править ]

Прямая сумма абелевых групп является прототипом примером прямой суммы. Учитывая две абелевы группы и , их прямая сумма совпадает с их прямым произведением , то есть базовое множество является декартовым произведением, а групповая операция определяется покомпонентно:${\displaystyle (A,\circ )}$${\displaystyle (B,\bullet )}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2})}$.

Это определение обобщается на прямые суммы конечного числа абелевых групп.

Для бесконечного семейства абелевых групп A _i для i ∈ I прямая сумма

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$

- собственная подгруппа прямого произведения. Он состоит из таких элементов , что a _i является единичным элементом A _i для всех, кроме конечного числа i . ^[2]${\displaystyle \textstyle (a_{i})\in \prod _{j\in I}A_{j}}$

Прямая сумма модулей [ править ]

Прямая сумма модулей представляет собой конструкцию , которая сочетает в себе несколько модулей в новый модуль.

Наиболее известные примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств , которые являются модулями над полем . Конструкция также может быть распространена на банаховы и гильбертовые пространства .

Прямая сумма представлений групп [ править ]

Прямая сумма представлений групп обобщает прямую сумму лежащих в основе модулей , добавив действие группы к нему. В частности, дана группа G и два представления V и W группы G (или, в более общем смысле, два G- модуля ), прямая сумма представлений равна V ⊕ W с действием g ∈ G, заданным покомпонентно, т. Е.

g · ( v , w ) = ( g · v , g · w ).

Другой эквивалентный способ определения прямой суммы:

Даны два представления и векторное пространство прямой суммы, а гомоморфизм задается выражением , где - естественное отображение, полученное покоординатным действием, как указано выше.${\displaystyle (V,\rho _{V})}$${\displaystyle (W,\rho _{W})}$${\displaystyle V\oplus W}$${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W})}$${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\otimes W)}$

Кроме того, если конечномерны, то, учитывая базис , и являются матричными. В этом случае задается как${\displaystyle V,\,W}$${\displaystyle V,\,W}$${\displaystyle \rho _{V}}$${\displaystyle \rho _{W}}$${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$

$${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

Более того, если рассматривать и как модули над групповым кольцом , где - поле, то прямая сумма представлений и равна их прямой сумме как модулям.${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle kG}$

Прямая сумма колец [ править ]

Некоторые авторы будут говорить о прямой сумме двух колец, когда имеют в виду прямое произведение , но этого следует избегать ^[3], поскольку не получает естественных гомоморфизмов колец от R и S : в частности, отображение, отправляющее r в ( r , 0 ) не является гомоморфизмом колец, поскольку он не может передать 1 в (1,1) (при условии, что 0 ≠ 1 в S ). Таким образом, это не копроизведение в категории колец , и его не следует записывать в виде прямой суммы. (Копроизведение в категории коммутативных колец - тензорное произведение колец . ^[4]${\displaystyle R\oplus S}$ ${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle R\to R\times S}$${\displaystyle R\times S}$В категории колец копроизведение задается конструкцией, аналогичной свободному произведению групп.)

Использование терминологии и обозначений прямой суммы особенно проблематично при работе с бесконечными семействами колец: если это бесконечный набор нетривиальных колец, то прямая сумма основных аддитивных групп может быть оснащена почленным умножением, но это дает rng , т. , кольцо без мультипликативной единицы.${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$

Прямая сумма в категориях [ править ]

Аддитивная категория представляет собой абстракцию свойств категории модулей. ^{[5] [6]} В такой категории конечные произведения и копроизведения согласуются, и прямая сумма равна любому из них, ср. побочный продукт .

Общий случай: ^[7] В теории категорий прямая сумма часто, но не всегда, является копродуктом в категории рассматриваемых математических объектов. Например, в категории абелевых групп прямая сумма является копроизведением. То же самое и в категории модулей.

Гомоморфизмы [ править ]

^{[ требуется разъяснение ]}

Прямая сумма оснащена проекционный гомоморфизмом для каждого J в I и coprojection для каждого J в I . ^[8] Для другой алгебраической структуры (с такой же дополнительной структурой) и гомоморфизмов для каждого j в I существует единственный гомоморфизм , называемый суммой g _j , такой, что для всех j . Таким образом, прямая сумма является копродуктом в соответствующей категории .${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g_{j}\colon A_{j}\to B}$${\displaystyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$${\displaystyle g\alpha _{j}=g_{j}}$

См. Также [ править ]

• Прямая сумма групп
• Прямая сумма перестановок
• Прямая сумма топологических групп
• Запрещенный продукт
• Сумма Уитни

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001