Несвязный союз

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Disjoint union»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , в несвязном объединении (или размеченного объединении ) семейства множеств представляет собой набор с инъективным функции каждого в А , таких , что объединение образов этих инъекций образует перегородку из A (то есть, каждый элемент A принадлежит ровно одному из этих изображений). Несвязное объединение семейства попарно непересекающихся множеств - это их объединение множеств. С точки зрения теории категорий , несвязная является копроизведение из категории множеств${\ displaystyle (A_ {i} \ двоеточие i \ in I)}$${\ Displaystyle A = \ bigsqcup _ {я \ in I} A_ {я},}$${\ displaystyle A_ {i}}$. Таким образом, дизъюнктное объединение определяется с точностью до биекции.

Стандартный способ построения несвязное объединение является определение А как множество упорядоченных пар ( х , я ) такие , что и инъективных функций по${\ displaystyle x \ in A_ {i},}$${\ displaystyle A_ {i} \ to A}$${\ Displaystyle х \ mapsto (х, я).}$

Пример [ править ]

Рассмотрим множества и . Мы можем индексировать элементы набора в соответствии с источником набора, формируя связанные наборы${\ displaystyle A_ {0} = \ {5,6,7 \}}$${\ Displaystyle A_ {1} = \ {5,6 \}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} A_ {0} ^ {*} & = \ {(5,0), (6,0), (7,0) \} \\ A_ {1} ^ {*} & = \ {(5,1), (6,1) \}, \ end {выровнены}}}$

где второй элемент в каждой паре соответствует нижнему индексу исходного набора (например, in соответствует нижнему индексу in и т. д.). Непересекающееся объединение может быть вычислено следующим образом:${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (5,0)}$${\ displaystyle A_ {0}}$${\ Displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1}}$

${\ displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1} = A_ {0} ^ {*} \ cup A_ {1} ^ {*} = \ {(5,0), (6,0), (7, 0), (5,1), (6,1) \}.}$

Определение теории множеств [ править ]

Формально, пусть { _я  : я ∈ I } является семейство множеств проиндексированных I . Несвязная этого семейства есть множество

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i):x\in A_{i}\}.}$

Элементами непересекающегося объединения являются упорядоченные пары ( x , i ). Здесь i служит вспомогательным индексом, который указывает, из какого A _i произошел элемент x .

Каждое из множеств A _i канонически изоморфно множеству

${\displaystyle A_{i}^{*}=\{(x,i):x\in A_{i}\}.}$

Благодаря этому изоморфизму можно считать, что A _i канонически вложено в дизъюнктное объединение. Для i ≠ j множества A _i * и A _j * не пересекаются, даже если множества A _i и A _j не пересекаются .

В крайнем случае , когда каждый из А _я равна некоторой фиксированной множества A для каждого I ∈ I , несвязное объединение является декартово произведение из A и I :

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$

Иногда можно увидеть обозначения

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$

для несвязного объединения семейства множеств или обозначение A + B для несвязного объединения двух множеств. Это обозначение должно наводить на мысль о том, что мощность непересекающегося союза - это сумма мощностей членов семейства. Сравните это с обозначением декартова произведения семейства множеств.

Непересекающиеся союзы также иногда пишутся или .${\displaystyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \ \cdot \!\!\!\!\!\bigcup _{i\in I}A_{i}}$

На языке теории категорий дизъюнктное объединение - это копроизведение в категории множеств . Следовательно, он удовлетворяет ассоциированному универсальному свойству . Это также означает, что дизъюнктное объединение является категоричным двойственным конструкцией декартова произведения . См. Дополнительные сведения в разделе « Копродукт» .

Для многих целей конкретный выбор вспомогательного индекса не важен, и, упрощая злоупотребление обозначениями , индексированное семейство можно рассматривать просто как набор наборов. В этом случае упоминается как копия из и обозначения иногда используется.${\displaystyle A_{i}^{*}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$

Точка зрения теории категорий [ править ]

В теории категорий дизъюнктное объединение определяется как копроизведение в категории множеств.

Таким образом, дизъюнктное объединение определено с точностью до изоморфизма, и приведенное выше определение является лишь одной реализацией копроизведения среди других. Когда множества попарно не пересекаются, обычное объединение является другой реализацией копроизведения. Это оправдывает второе определение в начале.

Этот категориальный аспект дизъюнктного союза объясняет, почему часто используется вместо обозначения копроизведения .${\displaystyle \coprod }$${\displaystyle \bigsqcup }$

См. Также [ править ]

• Копродукт
• Несвязное объединение (топология)
• Непересекающееся объединение графов
• Перегородка набора
• Тип суммы
• Tagged union
• Союз (информатика)

Ссылки [ править ]

• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Вайсштейн, Эрик В. «Несвязный союз» . MathWorld .