 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( ноябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , заостренное пространство является топологическим пространством с отмеченной точкой, с базисным . Выделенная точка - это просто одна конкретная точка, выбранная из пространства и получившая имя, например x 0 , которое остается неизменным во время последующего обсуждения и отслеживается во время всех операций.
Карты точечных пространств ( базовые карты ) - это непрерывные карты, сохраняющие базовые точки, т. Е. Карта f между точечным пространством X с базовой точкой x 0 и точечным пространством Y с базовой точкой y 0 является базовой картой, если она непрерывна по отношению к топологиям из X и Y , и если F ( х 0 ) = у 0 . Обычно это обозначается
Точечные пространства важны в алгебраической топологии , особенно в теории гомотопий , где многие конструкции, такие как фундаментальная группа , зависят от выбора базовой точки.
Концепция остроконечного множества менее важна; в любом случае это случай дискретного пространства с точками .
Точечные пространства часто рассматриваются как частный случай относительной топологии , где подмножество представляет собой единственную точку. Таким образом, большая часть теории гомотопий обычно разрабатывается на точечных пространствах, а затем переходит к относительным топологиям в алгебраической топологии .
Категория заостренных пространств [ править ]
Класс всех заостренных пространств образует категорию Top • с Basepoint сохранения непрерывных отображений в морфизмах . Другой способ думать об этой категории - это категория с запятой , ({•} ↓ Top ), где {•} - любое одно точечное пространство, а Top - категория топологических пространств . (Это также называется категория coslice обозначается {•} / Top .) Объекты в этой категории являются непрерывные отображения {•} → X . Такие морфизмы можно рассматривать как выбирая Basepoint в X . Морфизмы в ({•} ↓ Top ) являются морфизмами в Topдля которого коммутирует следующая диаграмма :
Легко видеть, что коммутативность диаграммы эквивалентна условию, что f сохраняет базовые точки.
Как заостренным пространство, {•} является нулевым объектом в Top • , в то время как это только терминальный объект в Top .
Существует забывчивый функтор Top • → Top, который «забывает», какая точка является базовой. Этот функтор имеет левый сопряженный , которая сопоставляет каждому топологического пространства X несвязное объединение по X и по одной точке пространства А {•}, единственным элементом берется быть Basepoint.
Операции с заостренными пространствами [ править ]
- Подпространство в остроконечном пространстве X является топологическим подпространство ⊆ X , которая разделяет его Basepoint с X так , что отображение включения является Basepoint сохранения.
- Можно образовать фактор точечного пространства X по любому отношению эквивалентности . Базовая точка фактора - это изображение базовой точки в X под картой фактора.
- Можно сформировать произведение двух заостренных пространств ( X , x 0 ), ( Y , y 0 ) как топологическое произведение X × Y с ( x 0 , y 0 ), служащим базовой точкой.
- Копроизведение в категории заостренных пространств является суммой клина , который можно рассматривать как «один-точку объединения» пространств.
- Разбивали произведение двух заостренных пространств, по существу, фактор прямого произведения и суммы клина. Мы хотели бы сказать, что продукт разбиения превращает категорию заостренных пространств в симметричную моноидальную категорию с заостренной 0-сферой в качестве единичного объекта, но это неверно для общих пространств: условие ассоциативности может не выполняться. Но это верно для некоторых более ограниченных категорий пространств, таких как компактно порожденные слабые хаусдорфовы пространства .
- Приведенная надстройка Σ X отмеченного пространства X (с точностью до гомеоморфизма ) является произведением разбиения X и остроконечной окружности S 1 .
- Приведенная подвеска - это функтор из категории отмеченных пространств в себя. Этот функтор остается сопряженным с функтором, переводящим отмеченное пространство в его пространство цикла .
Ссылки [ править ]
- Гамелен, Теодор В .; Грин, Роберт Эверист (1999) [1983]. Введение в топологию (второе изд.). Dover Publications . ISBN 0-486-40680-6.
- Мак-Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
- mathoverflow обсуждение нескольких базовых точек и группоидов
