В математике категория с запятой (особый случай - категория среза ) - это конструкция в теории категорий . Он предоставляет другой способ взглянуть на морфизмы : вместо того, чтобы просто связывать объекты категории друг с другом, морфизмы становятся объектами сами по себе. Это понятие было введено в 1963 году FW Ловера (Ловера, 1963 стр. 36), хотя этот метод не [ править ] стали , как правило , пока не известно много лет спустя. Некоторые математические концепции можно рассматривать как категории с запятыми. Категории запятых также гарантируют наличие некоторых ограничений икопределы . Название происходит от обозначения, первоначально использовавшегося Ловером, в котором использовался знак препинания - запятая . Название сохраняется, даже несмотря на то, что стандартная нотация изменилась, поскольку использование запятой в качестве оператора потенциально сбивает с толку, и даже Ловеру не нравится малоинформативный термин «категория запятой» (Lawvere, 1963, p. 13).
Определение
Самая общая конструкция категории запятых включает два функтора с одной и той же областью области. Часто один из них будет иметь область 1 (категория одного морфизма с одним объектом). В некоторых статьях теории категорий рассматриваются только эти частные случаи, но термин «категория с запятой» на самом деле гораздо более общий.
Общая форма
Предположим, что , , а также категории, и а также (для источника и цели) являются функторами :
Мы можем сформировать категорию запятой следующим образом:
- Объекты все тройки с участием объект в , объект в , а также морфизм в .
- Морфизмы из к все пары где а также морфизмы в а также соответственно, так что следующая диаграмма коммутирует :
Морфизмы составляются взятием быть , всякий раз, когда определено последнее выражение. Морфизм идентичности на объекте является .
Категория среза
Первый частный случай возникает, когда , функтор - тождественный функтор , а (категория с одним объектом и один морфизм). потом для какого-то объекта в .
В этом случае категория запятой пишется , и часто называется категорией срезов надили категория объектов выше. Объекты можно упростить до пар , где . Иногда, обозначается . Морфизм из к в категории срезов можно упростить до стрелки сделать следующую диаграмму коммутируют:
Категория Coslice
Двойная концепция к категории ломтика категория coslice. Здесь,, есть домен а также является функтором тождества.
В этом случае часто пишется категория запятой , где является объектом выбран . Она называется кослической категорией по отношению к, или категорию объектов под. Объекты парные с участием . Дано а также , морфизм в категории кослиц - это отображение сделать следующую диаграмму коммутируют:
Категория стрелки
а также являются функторами тождества на (так ).
В данном случае категория запятой - это категория стрелки. . Его объекты - морфизмы, а его морфизмы - коммутирующие квадраты в . [1]
Другие варианты
В случае категории среза или среза тождественный функтор может быть заменен каким-либо другим функтором; это дает семейство категорий, особенно полезных при изучении сопряженных функторов . Например, если- функтор забывчивости, отображающий абелеву группу в ее базовое множество , и- некоторое фиксированное множество (рассматриваемое как функтор из 1 ), то категория запятой есть объекты, которые являются картами из к набору, лежащему в основе группы. Это относится к левому сопряженному элементу, который является функтором, который отображает набор в свободную абелеву группу, имеющую этот набор в качестве своей основы. В частности, исходный объект из каноническая инъекция , где свободная группа, порожденная .
Объект называется морфизмом из к или -структурированная стрелка с доменом . [1] Объектназывается морфизмом из к или -коструктурированная стрелка с содоменом . [1]
Другой особый случай возникает, когда оба а также являются функторами с областью . Если а также , то категория запятой , написано , - дискретная категория , объекты которой являются морфизмами из к .
Категория вставки является (не полный) подкатегория категории запятая где а также являются обязательными. Категория запятая также может рассматриваться как средство вставки а также , где а также являются двумя проекционными функторами из категории продуктов .
Характеристики
Для каждой категории запятой есть забывчивые функторы от нее.
- Функтор домена, , который отображает:
- объекты: ;
- морфизмы: ;
- Функтор кодомена, , который отображает:
- объекты: ;
- морфизмы: .
- Функтор стрелки, , который отображает:
- объекты: ;
- морфизмы: ;
Примеры использования
Некоторые известные категории
Несколько интересных категорий имеют естественное определение в терминах категорий запятых.
- Категория отмеченных множеств - это категория запятых, с участием быть (выбирающим функтором) любым синглтонным набором и(тождественный функтор) категории множеств . Каждый объект этой категории представляет собой набор вместе с функцией, выбирающей какой-либо элемент набора: «базовую точку». Морфизмы - это функции на множествах, которые сопоставляют базовые точки с базовыми точками. Аналогичным образом можно сформировать категорию точечных пространств .
- Категория ассоциативных алгебр над кольцом категория coslice , поскольку любой гомоморфизм колец вызывает ассоциативный -алгебра на , и наоборот. Морфизмы тогда являются отображениями которые заставляют диаграмму коммутировать.
- Категория графов является, с участием функтор, принимающий набор к . Объекты затем состоят из двух наборов и функции; набор индексации, - это набор узлов, а выбирает пары элементов для каждого входа из . Это, выбирает определенные края из набора возможных краев. Морфизм в этой категории состоит из двух функций, одна из которых относится к набору индексации, а другая - к набору узлов. Они должны «согласиться» в соответствии с общим определением, приведенным выше, что означает, что должен удовлетворить . Другими словами, край, соответствующий определенному элементу набора индексации, при преобразовании должен быть таким же, как край для переведенного индекса.
- Многие операции «увеличения» или «маркировки» могут быть выражены в категориях запятых. Позволять - функтор, переводящий каждый граф в набор его ребер, и пусть быть (выбирающим функтором) определенным множеством: тогда - категория графов, ребра которых помечены элементами из . Эта форма категории запятых часто называется объектами.-над - тесно связан с «объектами над "обсуждалось выше. Здесь каждый объект принимает форму , где это график и функция из краев к . Узлы графа могут быть помечены практически таким же образом.
- Категория называется локально декартово замкнутой, если каждый ее срез декартово замкнут (см. Выше понятие среза ). Локально декартовы замкнутые категории являются классификационными категориями из теорий зависимого типа .
Пределы и универсальные морфизмы
Пределы и двоеточия в категориях запятых могут быть «унаследованы». Если а также являются полными ,- непрерывный функтор , а - еще один функтор (не обязательно непрерывный), то категория запятой произведено полно, [2] и проекционные функторы а также непрерывны. Аналогично, если а также неполные, и является cocontinuous , то коколонна, а проекционные функторы коконепрерывны.
Например, обратите внимание, что в приведенной выше конструкции категории графов как категории запятых категория множеств полна и коколонна, а тождественный функтор непрерывен и коконепрерывен. Таким образом, категория графов полна и коколонна.
Понятие универсального морфизма до определенного копредела или от предела может быть выражено в терминах категории запятой. По сути, мы создаем категорию, объектами которой являются конусы, а ограничивающим конусом - конечный объект ; тогда каждый универсальный морфизм для предела - это просто морфизм конечного объекта. Это работает в двойном случае, когда категория коконов имеет начальный объект. Например, пусть быть категорией с функтор, принимающий каждый объект к и каждая стрелка к . Универсальный морфизм из к состоит по определению из объекта и морфизм с универсальным свойством, что для любого морфизма есть уникальный морфизм с участием . Другими словами, это объект из категории запятой.имеющий морфизм к любому другому объекту в этой категории; это изначально. Это служит для определения сопродукта в, когда он существует.
Дополнения
Ловер показал, что функторы а также являются сопряженными тогда и только тогда, когда категории запятых а также , с участием а также тождественные функторы на а также соответственно, изоморфны, и эквивалентные элементы в категории запятой могут быть спроецированы на тот же элемент . Это позволяет описывать дополнения без привлечения множеств, и фактически было первоначальной мотивацией для введения категорий запятых.
Природные трансформации
Если домены равны, то диаграмма, определяющая морфизмы в с участием идентична диаграмме, которая определяет естественное преобразование . Разница между этими двумя понятиями состоит в том, что естественное преобразование - это особый набор морфизмов типа вида, а объекты категории запятая содержат все морфизмы типа такой формы. Функтор категории запятая выбирает этот конкретный набор морфизмов. Это кратко описывается наблюдением SA Huq [3] о том, что естественное преобразование, с участием , соответствует функтору который отображает каждый объект к и отображает каждый морфизм к . Это взаимно однозначное соответствие между естественными преобразованиями. и функторы которые являются секциями обоих забывчивых функторов из.
Рекомендации
- ^ a b c Адамек, Иржи; Герлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
- ^ Ридхард, Дэвид Э .; Берстолл, Род М. (1988). Вычислительная теория категорий (PDF) . Прентис Холл.
- ^ Mac Lane, Saunders (1998), Категории для работающих математиков , Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 48, ISBN 0-387-98403-8
- Категория запятых в nLab
- Ловер, Вт (1963). «Функториальная семантика алгебраических теорий» и «Некоторые алгебраические проблемы в контексте функциональной семантики алгебраических теорий». http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf
Внешние ссылки
- Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
- WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
- Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.