В математике , полная категория представляет собой категорию , в которой все малые пределы существуют. То есть, категория С является полным , если каждая диаграмма , F : J → C (где J является малым ) имеет предел в С . Двойственно , кополная категория - это категория, в которой существуют все малые копределы . Bicomplete категория представляет собой категорию , которая является одновременно полной и cocomplete.
Существование всех ограничений (даже если J - правильный класс ) слишком сильно, чтобы иметь практическое значение. Любая категория с этим свойством обязательно является тонкой категорией : для любых двух объектов может быть не более одного морфизма от одного объекта к другому.
Более слабая форма полноты - это форма конечной полноты. Категория является конечно полной, если существуют все конечные пределы (т. Е. Пределы диаграмм, индексированные конечной категорией J ). Двойственно категория конечно кополна, если существуют все конечные копределы.
Теоремы [ править ]
Из теоремы существования пределов следует, что категория является полной тогда и только тогда, когда она имеет эквалайзеры (всех пар морфизмов) и все (малые) произведения . Поскольку эквалайзеры могут быть построены из откатов и бинарных произведений (рассмотрим откат ( f , g ) по диагонали Δ), категория считается полной тогда и только тогда, когда у нее есть откаты и продукты.
Двойственно, категория является cocomplete тогда и только тогда , когда она имеет коуравнитель и все (небольшие) копроизведения , или, что эквивалентно, pushouts и копроизведения.
Конечную полноту можно охарактеризовать по-разному. Для категории C все следующие эквиваленты:
- C конечно полно,
- В C есть эквалайзеры и все конечные продукты,
- В C есть эквалайзеры, бинарные продукты и оконечный объект ,
- У C есть откаты и терминальный объект.
Двойственные утверждения также эквивалентны.
Малая категория C является полным тогда и только тогда , когда это cocomplete. [1] Небольшая полная категория обязательно должна быть тонкой.
Posetal категория бессодержательно имеет все эквалайзеры и коуравнитель, откуда она (конечно) завершить тогда и только тогда , когда она имеет все (конечные) продукты, и дуально для cocompleteness. Без ограничения конечности посетальная категория со всеми произведениями автоматически является кополной и двойственно по теореме о полных решетках.
Примеры и непримеры [ править ]
 | В этом разделе не процитировать любые источники . ( Август 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
- Следующие категории являются двухполными:
- Комплект , категория комплектов
- Вверх , категория топологических пространств
- Grp , категория групп
- Ab , категория абелевых групп
- Кольцо , категория колец
- K -Vect , категория векторных пространств над полем K
- R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R
- CmptH , категория всех компактных хаусдорфовых пространств
- Кошка , категория всех малых категорий
- Whl , категория колес
- sSet , категория симплициальных множеств [2]
- Следующие категории являются конечно полными и конечно кокополными, но ни полными, ни кокополными:
- Категория конечных множеств
- Категория конечных абелевых групп
- Категория конечномерных векторных пространств
- Любая ( пред ) абелева категория конечно полна и конечно кополна.
- Категория полных решеток полная, но не кополная.
- Категория метрических пространств , Met , является конечно полной , но не имеет ни бинарное копроизведение ни бесконечные произведения.
- Категория полей , поле , ни конечно , ни полная конечно cocomplete.
- Посет , рассматриваются как небольшая категория, является полным (и cocomplete) тогда и только тогда , когда она является полной решеткой .
- Частично упорядоченное класс всех порядковых чисел является cocomplete , но не завершено (так как она не имеет терминальный объекта).
- Группа, рассматриваемая как категория с одним объектом, является полной тогда и только тогда, когда она тривиальна . Нетривиальная группа имеет откаты и вытеснения, но не продукты, сопродукты, эквалайзеры, коэквалайзеры, конечные объекты или начальные объекты.
Ссылки [ править ]
- ^ Абстрактные и конкретные категории, Иржи Адамек, Хорст Херрлих и Джордж Э. Стрекер, теорема 12.7, стр. 213
- ^ Риль, Эмили (2014). Категориальная теория гомотопий . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 32. ISBN 9781139960083. OCLC 881162803 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
- Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 ((2-е изд.) Изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
