Теория колеса

Колесо представляет собой тип алгебры в смысле универсальной алгебры, где деление всегда определенно. В частности, имеет смысл деление на ноль . Эти реальные цифры могут быть распространены на колесо, как и любое коммутативное кольцо .

Термин колесо навеян топологической картины на проективной прямой вместе с дополнительной точкой . ^[1]${\ displaystyle \ odot}$${\ displaystyle \ bot = 0/0}$

Определение [ править ]

Колесо - это алгебраическая структура , в которой${\ Displaystyle (W, 0,1, +, \ cdot, /)}$

• ${\ displaystyle W}$ это набор,
• ${\ displaystyle 0}$и являются элементами этого множества,${\ displaystyle 1}$
• ${\ displaystyle +}$и являются бинарными операторами,${\displaystyle \cdot }$
• ${\displaystyle /}$ - унарный оператор,

и удовлетворяющие следующему:

• Сложение и умножение коммутативно и ассоциативно , с и в их соответствующих идентичностей .${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle //x=x}$(/ - инволюция )
• ${\displaystyle /(xy)=/y/x}$(/ является мультипликативным )
• ${\displaystyle xz+yz=(x+y)z+0z}$
• ${\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}$
• ${\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}$
• ${\displaystyle 0/0+x=0/0}$

Алгебра колес [ править ]

Колеса заменяют обычное деление как бинарный оператор умножением с унарным оператором, применяемым к одному аргументу, подобному (но не идентичному) мультипликативному обратному , так что он становится сокращением , но не является ни в целом, ни в целом, и изменяет правила алгебры, такие как который${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$${\displaystyle a\cdot b^{-1}}$${\displaystyle b^{-1}\cdot a}$

• ${\displaystyle 0x\neq 0}$ в общем случае
• ${\displaystyle x-x\neq 0}$ в общем случае
• ${\displaystyle x/x\neq 1}$в общем случае, так как это не то же самое , как мультипликативные обратные из .${\displaystyle /x}$${\displaystyle x}$

Если есть элемент такой , что , то мы можем определить отрицание путем и .${\displaystyle a}$${\displaystyle 1+a=0}$${\displaystyle -x=ax}$${\displaystyle x-y=x+(-y)}$

Другие личности, которые могут быть получены, следующие:

• ${\displaystyle 0x+0y=0xy}$
• ${\displaystyle x-x=0x^{2}}$
• ${\displaystyle x/x=1+0x/x}$

А для с и получаем обычное${\displaystyle x}$${\displaystyle 0x=0}$${\displaystyle 0/x=0}$

• ${\displaystyle x-x=0}$
• ${\displaystyle x/x=1}$

Если отрицание можно определить, как указано выше, то подмножество является коммутативным кольцом , и каждое коммутативное кольцо является таким подмножеством колеса. Если - обратимый элемент коммутативного кольца, то . Таким образом, всякий раз, когда это имеет смысл, оно равно , но последнее всегда определяется, даже когда .${\displaystyle \{x\mid 0x=0\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{-1}=/x}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle /x}$${\displaystyle x=0/0}$

Примеры [ править ]

Колесо дробей [ править ]

Пусть коммутативное кольцо и мультипликативный подмоноид из . Определите отношение конгруэнтности на переходе${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sim _{S}}$${\displaystyle A\times A}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}$означает, что существуют такие, что .${\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}$${\displaystyle (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}$

Определить колесо фракций по отношению к как частное от деления (и обозначая класс эквивалентности , содержащий в качестве ) с операциями${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A\times A~/\sim _{S}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$

${\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}$           (аддитивная идентичность)

${\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}$           (мультипликативная идентичность)

${\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}$           (обратная операция)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (операция сложения)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (операция умножения)

Проективная линия и сфера Римана [ править ]

В частном случае вышеизложенного, начиная с поля, получается проективная линия, продолженная до колеса путем присоединения элемента , где . Проективная линия сама по себе является расширением исходного поля на элемент , где для любого элемента в поле. Однако он все еще не определен на проективной линии, но определен в его продолжении до колеса.${\displaystyle \bot }$${\displaystyle 0/0=\bot }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle z/0=\infty }$${\displaystyle z\neq 0}$${\displaystyle 0/0}$

Начиная с действительных чисел , соответствующая проективная «линия» геометрически представляет собой круг, а затем дополнительная точка дает форму, которая является источником термина «колесо». Или вместо этого, начиная с комплексных чисел , соответствующая проективная «линия» представляет собой сферу ( сфера Римана ), а затем дополнительная точка дает трехмерную версию колеса.${\displaystyle 0/0}$

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Сетцер, Антон (1997), Колеса (PDF) (черновик)
• Карлстрём, Jesper (2004), "Колеса - На Деление на ноль", Математические структуры в области компьютерных наук , Cambridge University Press , 14 (1): 143-184, DOI : 10.1017 / S0960129503004110(также доступно онлайн здесь ).
• A, BergstraJ; V, TuckerJ (1 апреля 2007 г.). «Рациональные числа как абстрактный тип данных» . Журнал ACM . 54 (2): 7. DOI : 10,1145 / 1219092,1219095 . S2CID  207162259 .
• Бергстра, Ян А .; Понс, Албан (2015). «Деление на ноль на обыкновенных лугах» . Программное обеспечение, услуги и системы: эссе, посвященные Мартину Вирсингу по случаю его ухода с кафедры программирования и разработки программного обеспечения . Конспект лекций по информатике. Издательство Springer International. 8950 : 46–61. DOI : 10.1007 / 978-3-319-15545-6_6 . ISBN 978-3-319-15544-9. S2CID  34509835 .